基于馬爾科夫鏈模型對河流徑流量預(yù)測探析

(遼寧省鞍山水文局，遼寧 鞍山　114039)

1　概　述

中長期洪水預(yù)報(bào)是建立在洪水的形成和運(yùn)動的基礎(chǔ)上，利用歷史和實(shí)時的水文氣象資料，來預(yù)測未來某一段時間的洪水發(fā)展趨勢，是防災(zāi)減災(zāi)的一項(xiàng)重要的非工程措施。在多年的研究和實(shí)際的防洪工作中，丹東的洪水預(yù)報(bào)在理論和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)方面取得了很大的成就。針對東部地區(qū)洪水預(yù)報(bào)模型的特點(diǎn)，編制了主要河道控制站的實(shí)時洪水預(yù)報(bào)方案，開發(fā)了許多實(shí)用的在線實(shí)時洪水預(yù)報(bào)系統(tǒng)，為防洪決策提供了科學(xué)依據(jù)。近年來，對水文預(yù)報(bào)的要求越來越高，不僅需要正確的短期預(yù)測和周期較長的中期和長期的預(yù)測，更需要定性的預(yù)測和定量的預(yù)測。

馬爾科夫預(yù)測模型是應(yīng)用馬爾科夫鏈的基本原理和方法來分析研究時間序列的變化規(guī)律，從而預(yù)測其未來變化趨勢的一種技術(shù)，適合于隨機(jī)波動較大的預(yù)報(bào)問題。本文根據(jù)大洋河年徑流系列數(shù)據(jù)，應(yīng)用馬爾科夫鏈定性預(yù)測模型，預(yù)報(bào)未來年份的年徑流總量的趨勢。

大洋河發(fā)源于鞍山市岫巖縣的唐帽山，流經(jīng)岫巖、鳳城、東港3縣(市)，在東港市大孤山馬家坨子附近注入黃海，全長201.7km，流域面積6208km2。河床構(gòu)造，上游多為卵石、粗砂，中游砂礫，下游為中細(xì)砂。河道平均坡度1.1‰，一般河寬300～400m。

沙里寨水文站是大洋河流域重要控制站，其積水面積為4810km2，干流河長157km，該站距河口44.7km，河道平均比降為1.4‰，1957年6月建站，具有實(shí)測水位、流量資料。據(jù)調(diào)查歷史上該斷面曾經(jīng)發(fā)生較大洪水有3次，分別為：1888年8月、1937年8月及1960年8月，最高洪水位分別為104.79m、102.93m、102.83m，推求最大洪峰流量分別為15600m3/s、11800m3/s、12900m3/s。該站斷面河道順直，河床為細(xì)沙組成，具備了高洪測流的條件。

2　馬爾科夫預(yù)測模型

馬爾科夫過程是一種較普遍的隨機(jī)過程，其特點(diǎn)是后效性。

如果對時間t的任意n個數(shù)值(n≥3)，在條件X(ti)=xi(i=1,2,…,n-1)下，X(tn)的分布函數(shù)恰好等于在條件X(tn-1)=xn-1下X(tn)的分布函數(shù)，即

F(xn;tn|xn-1,xn-2,…,x1′;tn-1,tn-2,…,t1)

=F(xn;tn|xn-1;tn-1)(n=3,4,…)

(1)

則稱X(tn)為馬爾科夫過程，簡稱馬氏過程。

馬爾科夫過程的統(tǒng)計(jì)特性是由轉(zhuǎn)移概率和初始分布所確定。狀態(tài)和時間參數(shù)都是離散的馬氏過程稱為馬爾科夫鏈或馬氏鏈，它是馬爾科夫過程的一種特殊情況。

馬爾科夫預(yù)測模型是一種定性預(yù)測，表明未來發(fā)生狀態(tài)的水文時間序列，首先進(jìn)行時間序列劃分是建立模型的關(guān)鍵。

設(shè)有預(yù)報(bào)對象素值序列x1,x2,…,xn,與其多年均值之差除以多年均值的百分?jǐn)?shù)(距平值)為

(2)

式中di——xi的距平值,%；

xi——要素值；

(3)

Ni——狀態(tài)E1出現(xiàn)的總次數(shù)。

由轉(zhuǎn)移概率構(gòu)成的k步狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣為

(4)

其中，p(k)=pk。

設(shè)第0步處于狀態(tài)Si的概率為Ai(0)，從狀態(tài)Si轉(zhuǎn)移到狀態(tài)Sj的概率為pij，在第一步處于狀態(tài)Sj的概率為Ai(1)，按照貝葉斯公式

P(A,B)=P(A)P(B/A)

(5)

Aj(1)=Ai(0)pij

(6)

若從第n步推廣到n+1，則有

Ai(n+1)=Aj(n)pij

(7)

此式被稱為馬爾科夫預(yù)測模型，它表示只要知道狀態(tài)轉(zhuǎn)移概率矩陣，就可根據(jù)初始時刻處于各狀態(tài)的概率來預(yù)測以后任一時刻各狀態(tài)的概率。

隨著過程發(fā)展，初始階段的影響將逐漸消失，系統(tǒng)在n時刻處于狀態(tài)Sj的概率與初始狀態(tài)無關(guān)，僅取決于轉(zhuǎn)移概率矩陣，因此，當(dāng)n→時，絕對概率分布p(n)收斂于一個極限概率p，

(8)

這時，系統(tǒng)趨于一個穩(wěn)定狀態(tài)。

3　年徑流總量的動態(tài)預(yù)測

大洋河是鞍山和丹東地區(qū)的重點(diǎn)防汛區(qū)域，該區(qū)域?qū)Ψ篮椤⒎姥吹囊笫牵捍_保下游兩岸河堤在設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)20年一遇的堤防安全，因此，做好沙里寨站徑流預(yù)報(bào)就顯得非常重要。本文選取沙里寨站1985—2014年共30年的年徑流總量數(shù)據(jù)，利用馬爾科夫預(yù)測模型進(jìn)行預(yù)測。大洋河沙里寨站歷年徑流量過程見下圖。

年徑流量過程圖

為了讓預(yù)測數(shù)據(jù)更加真實(shí)可靠，根據(jù)丹東地區(qū)的實(shí)際情況，對大洋河歷年徑流過程情況進(jìn)行定性分析，劃分5個等級，即豐水、偏豐、正常、偏枯、枯水，具體各個等級定量值見表1。

表1　丹東地區(qū)年徑流總量等級參考

根據(jù)沙里寨站1985—2014年的年徑流總量數(shù)據(jù)，計(jì)算多年平均徑流量值以及距平值，按照表1將每年上、下半年分為兩個階段進(jìn)行豐平枯分類統(tǒng)計(jì)，其中枯水14個、偏枯10個、正常12個、偏豐12個、半水12個,見表2。

表2　數(shù)據(jù)分類

利用轉(zhuǎn)移概率矩陣計(jì)算方法，建立一步轉(zhuǎn)移概率矩陣如下：

根據(jù)一步轉(zhuǎn)移概率矩陣，可求得二步轉(zhuǎn)移矩陣和三步轉(zhuǎn)移矩陣如下:

由貝葉斯公式可以計(jì)算出2015年年徑流總量的狀態(tài)概率向量為

同理，利用二步轉(zhuǎn)移矩陣與三步轉(zhuǎn)移矩陣，可以計(jì)算出2012年與2013年年徑流量狀態(tài)概率(見表3)，它表明預(yù)測年徑流量可能出現(xiàn)各等級的可能性。

表3　預(yù)測年徑流量狀態(tài)概率

表3的預(yù)測結(jié)果表明，2014年預(yù)計(jì)出現(xiàn)枯水，2015年預(yù)計(jì)出現(xiàn)豐水，2016年預(yù)計(jì)出現(xiàn)枯水。這些結(jié)果與實(shí)際情況基本相符?？梢姡民R爾科夫鏈模型定性預(yù)測年徑流量等級是可行的。

4　結(jié)　語

本文利用馬爾科夫鏈模型進(jìn)行大洋河徑流預(yù)測，作為一個中長期預(yù)報(bào)的方法進(jìn)行了嘗試，可以發(fā)現(xiàn)，馬爾科夫鏈預(yù)測模型對過程的狀態(tài)預(yù)測效果良好。鑒于此方法的可行性，今后在防洪調(diào)度、水利、水電、灌溉工程管理調(diào)度中，都可以應(yīng)用上述方法進(jìn)行中長期預(yù)報(bào)。馬爾科夫鏈模型既可應(yīng)用于流域定性預(yù)報(bào)預(yù)測，也可應(yīng)用于趨勢預(yù)報(bào)。

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