中學生幾何題目的分析視角演變

劉翰文

重慶市第一中學 重慶 400000

幾何知識是人們在日常生活中不斷發(fā)現(xiàn)并積累起來的一門具有實用性的數(shù)學知識，在初中、高中階段的數(shù)學知識學習過程中，幾何知識不僅內(nèi)容復雜，且相關(guān)題目的難度較大，多以計算、求證類型題目為主，且平面幾何與立體幾何在難度上也存在著一定的差異[1]。因此，通過對幾何問題的演變進行相關(guān)討論，可以了解幾何類型題目的不同變式，從而對幾何知識有一個更為系統(tǒng)的掌握。

1 基于平面關(guān)系的幾何證明題分析

在幾何類型題目的實際解題過程中，我們會經(jīng)常遇到一些特殊的三角形，其中，在給出部分已知條件的情況下，則需要進行特殊三角形之間關(guān)系的判定，最具有代表性的則是全等三角形的證明與應用[2]。

例1 在圖1中，已知△ABC為直角三角形，且AB=AC，在這種情況下，線段AC上有一點D，連接BD，使得BD為∠ABC的平分線，延長 BD至點E，且BD⊥EC。此時，求證BD=2CE。

圖1

解析：在分析此類題目的過程中，需要意識到平面幾何圖形中的相關(guān)角度關(guān)系，通常情況下，若要證明線段之間的長度關(guān)系，則多轉(zhuǎn)移至對其所在三角形全等、相似進行解題。此處使用的是通過邊角關(guān)系證明三角形全等，并結(jié)合特殊三角形的中垂線最終確定BD=2CE。

解：如圖1所示，反向延長AB，并與CE的延長線交于一點F。

已知，△ABC為直角等腰三角形，AB=BC，且∠ABD=∠ECD=22.5°，∠ BAC=∠ FAC=90°。

根據(jù)三角形全等的判定條件，△ABD和△ACF為全等三角形（角邊角）。

因此，BD=FC。

由于BE為∠FBC的平分線，且，BE⊥FC，所以，△BFC為等腰三角形，BE為△BFC的中垂線，點E為FC的中點，即CE=EF。

所以，BD=FC=2CE。

2 以幾何變形為突破點的牛頓定理分析

牛頓不僅是著名的物理學家，他在眾多領(lǐng)域都有這一定的造詣，其中就包括牛頓在幾何領(lǐng)域提出的三大定理。在定理1中，牛頓對完全四邊形的點、線關(guān)系，進行了深入分析，并通過作輔助線的方式發(fā)現(xiàn)了“牛頓線”的存在，具體如圖2所示。

圖2 牛頓第一定理的集合示意圖

例2 在以ABCD圍成的四邊形內(nèi)，AB、CD的延長線交于點E，且P、Q為BE、CE的中點，延長BC與AD交于一點F，連接EF，延長PQ并與EF交于一點N，R為BC的中點，連接PR、QR分別于BD、AC交于點M、L，所謂“牛頓線”，即M、L、N在一條直線上。

解析：在四邊形ABCD中，由于點L在線段RQ上，因此QL*AB=EA*LR，且點M、R、P同樣在一條直線上，因此，同理存在RM*DE=CD*MP；如此可以繼續(xù)獲得N、P、Q三點在一條直線上，且滿足PN*FC=BF*NQ。

在此情況下，則將三個等式左右兩邊同時相乘，可得到如下結(jié)果：

（QL*AB）*（RM*DE）*（PN*FC）=（EA*LR）*（CD*MP）*（BF*NQ）①

基于梅涅勞斯定理，存在AB*DE*FC=EA*CD*BF，對式①變形后可得：QL*RM*PN=LR*MP*NQ，即QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1。

同理，根據(jù)梅涅勞斯定理，點L、M、N分別在△QPR的QR、PR、QP上，且同時滿足QL/LR*RM/MP*PN/NQ=1，因此可以判定L、M、N三在同一直線上。

3 總結(jié)

在數(shù)學的知識體系中，幾何知識的變形較多，且難度較大，我們應當掌握多元化的幾何題目解題方法，并通過深化解題方式，提高對不同題目類型的應對能力。除平面幾何以外，關(guān)于立體幾何的問題分析，還要求我們高中生具有較強的空間思維能力和邏輯分析能力，這也是現(xiàn)階段高考幾何題目中的考察重點。因此，在高中幾何相關(guān)知識的學習過程中，應當加強在這一方面的訓練，從而實現(xiàn)個人數(shù)學綜合素養(yǎng)的提升。