中澳小學數(shù)學教材難易度表現(xiàn)的比較研究

李忠如

摘 要：從教材的內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度、習題難度比較研究我國人教版與澳大利亞“新路標數(shù)學”小學四年級數(shù)學教材的難易度，發(fā)現(xiàn)：（1）內(nèi)容廣度上，“人教版”知識點個數(shù)比“新路標數(shù)學”知識點個數(shù)少，前者更側(cè)重數(shù)與代數(shù)領域且著重計算；（2）在教材內(nèi)容深度方面，“人教版”相對更加偏重知識的掌握層次；（3）在教材習題的安排方面，“人教版”教材中習題題量小得多，以模仿與遷移為主，而“新路標數(shù)學”教材中的習題多得多，大多是模仿型任務，類似于一本習題集。

關(guān)鍵詞：小學數(shù)學教材；四年級；比較中國和澳大利亞

一般而言，各國數(shù)學教育既有不分地域、民族的共性，也有不同文化背景、不同社會發(fā)展等因素導致的個性。數(shù)學教材亦如此。為落實《國家中長期教育改革和發(fā)展規(guī)劃綱要（2010—2020年）》中“調(diào)整教材內(nèi)容，科學設計課程難度”的要求，切實解決中小學生負擔過重的問題，本文擬對我國人教版和澳大利亞“新路標數(shù)學”的難易度加以深入分析，為我國小學數(shù)學教材的進一步修訂提供借鑒。

1. 研究設計

1.1 研究對象

（1）中國小學數(shù)學教材——“人教版”

目前，國內(nèi)根據(jù)《全日制義務教育階段國家數(shù)學課程標準（實驗稿）》（以下簡稱《標準》）編寫的小學數(shù)學教材中通過教材鑒定的已超過6種版本。本文選取使用面較廣的人民教育出版社義務教育課程標準試驗教科書（以下簡稱“人教版”）。

（2）澳大利亞小學數(shù)學教材——“新路標數(shù)學”

“新路標數(shù)學”（New Signpost Maths for Victoria）是澳大利亞皮爾森教育出版社（Pearson Education Australia）出版的系列叢書，該套教材依據(jù)《維多利亞地區(qū)基本學習標準》而編寫，是維多利亞地區(qū)預備級至六年級學生的數(shù)學用書。

1.2 研究思路與方法

借用作者參與開發(fā)的小學數(shù)學教材難易度理論模型，采用內(nèi)容分析法對中澳教材的在內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度及習題難度方面進行分類編碼，利用模型對教材難度定量計算并逐一定性分析，最后歸納對比得到兩版本教材在上述三個維度的共性及差異，得出兩版本教科書的編寫特點。

1.3 小學數(shù)學教材難易度的刻畫

本研究參考《中小學教材難易程度的國際比較研究》教材難易程度模型中提出的分析框架，對中澳兩套小學四年級數(shù)學教材的難易度加以編碼分析，即教材的內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度、習題難度。

2. 內(nèi)容廣度維度的比較

本研究中，內(nèi)容廣度主要由“知識點”的多少來體現(xiàn)，且知識點劃分標準完全參考《中國小學數(shù)學教科書的難度分析——國際比較的視角》一文中的做法，將教材的各部分內(nèi)容歸屬為三大知識領域——數(shù)與代數(shù)、圖形與幾何、統(tǒng)計與概率。（一般情況下，我國課標規(guī)定的“實踐與綜合運用”領域?qū)嶋H上是其他三方面內(nèi)容的綜合運用）

2.1 知識點的劃分差異

2.1.1 “人教版”四年級教材中的知識點劃分情況

（1）數(shù)與代數(shù)

數(shù)的認識（14個）：計數(shù)單位，數(shù)位順序表，十進制計數(shù)法，用萬、億為單位表示數(shù)，大數(shù)的比較，近似數(shù)（萬、億作單位），自然數(shù)的含義和特點，小數(shù)的意義，小數(shù)的數(shù)位順序表和讀寫法，小數(shù)的性質(zhì)，小數(shù)點位置移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律，小數(shù)的大小比較，小數(shù)和十進復名數(shù)的相互改寫，小數(shù)的近似數(shù)表示。

數(shù)的運算（17個）：計算工具的認識，用計算器計算，三位數(shù)乘一位數(shù)（口算），三位數(shù)乘兩位數(shù) （筆算），三位數(shù)乘兩位數(shù)（估算），除數(shù)是整十數(shù)的除法（口算），除數(shù)是兩位數(shù)的除法（筆算），生活中的策略優(yōu)化問題，加減乘除混合運算（有括號），加減乘除混合運算（無括號），加法運算定律，乘法運算定律，加乘運算定律的運用，小數(shù)的加減混合運算，兩位小數(shù)的加法與減法，積的變化規(guī)律，時間、速度、路程的關(guān)系。

（2）圖形與幾何

圖形的認識（11個）：認識直線與射線、總數(shù)和間隔數(shù)之間的關(guān)系問題（如植樹、棋盤）、認識垂直與平行、畫垂線與平行線、認識平行四邊形與梯形、三角形的特性、三角形三邊關(guān)系、三角形的分類（按邊、角）、三角形的內(nèi)角和、三角形拼圖、認識角（概念、表示、分類）。

測量（3個）：角的度量、角的分類、用量角器畫角。

圖形與位置（1個）：確定位置（相對于參照點的方向、距離）。

（3）統(tǒng)計與概率

共2個知識點，分別為：條形統(tǒng)計圖（復式）、折線統(tǒng)計圖（認識、繪制）。

2.1.2 “新路標數(shù)學”四年級教材中的知識點劃分情況

（1）數(shù)與代數(shù)

數(shù)的認識（16個）：除法的認識、乘法表、數(shù)位順序表、小數(shù)的數(shù)位順序表和讀寫法、小數(shù)點位置移動引起小數(shù)大小變化的規(guī)律、小數(shù)的大小比較、小數(shù)的近似數(shù)表示、等值分數(shù)、分數(shù)的意義、分數(shù)的比較、分數(shù)的認識、分數(shù)與小數(shù)、萬以內(nèi)數(shù)的認識、萬以內(nèi)的數(shù)的估算、平方數(shù)、因數(shù)。

數(shù)的運算（13個）：按規(guī)律填數(shù)、除數(shù)是個位數(shù)的除法、帶余除法、萬以內(nèi)數(shù)的加減法、加減乘除混合運算、加乘運算定律的運用、兩位小數(shù)的加與減法、千以內(nèi)的加減法、整十數(shù)乘法、整數(shù)加法（百位數(shù)的加法）、分數(shù)的加法與減法（同分母相加減）、加倍與減半、用計算器計算。

（2）圖形與幾何

圖形的認識（8個）：認識角（概念、表示）、認識平行四邊形與梯形、棱錐與棱柱、認識多邊形、垂直與平行、立體圖形、圓柱圓錐和球、三角形的特性（穩(wěn)定性）。

測量（7個）：長度單位厘米、米、毫米，質(zhì)量單位（克），容積單位（升、毫升），面積的估算與測量，體積單位（立方厘米），體積的計算，角的度量。

圖形的運動（2個）：平移、旋轉(zhuǎn)和翻轉(zhuǎn)，對稱圖形。

圖形與位置（2個）：確定位置（相對于參照點的方向、距離）、平面上位置的表示方法（數(shù)對、網(wǎng)格中找點）。

常見的量（3個）：鐘表的認識、年月日（日歷）、認識時間表。

其他（1個）：嵌套圖形。

（3）統(tǒng)計與概率

共4個知識點，分別為：條形統(tǒng)計圖、統(tǒng)計圖表的認識、可能性的大小、列出所有可能的結(jié)果。

2.1.3 知識點所屬領域的對比

總體而言，“人教版”四年級教材的知識點個數(shù)是48個，“新路標數(shù)學”四年級教材的知識點為56個，兩者相差8個，并且在不同領域上的分布也有一定的差異。

（1）兩國教材中各領域所包含的知識點個數(shù)（如圖1）。

在各領域“新路標數(shù)學”的知識點個數(shù)都比“人教版”的知識點個數(shù)多。

（2）“人教版”和“新路標數(shù)學”的知識點所屬領域分布情況（如圖2）。

“人教版”與“新路標數(shù)學”四年級數(shù)學教材都重視數(shù)與代數(shù)領域，兩教材數(shù)與代數(shù)領域的知識點個數(shù)占其知識點總數(shù)的比例分別為65%和57%，同時，“人教版”此領域占比略高于“新路標數(shù)學”，與我國小學數(shù)學重視“算”不無關(guān)系。

在圖形與幾何領域中，“人教版”中相關(guān)知識點所占比例為31%；“新路標數(shù)學”中相關(guān)知識點所占比例為36%，略高于“人教版”所占比例。

“人教版”與“新路標數(shù)學”在統(tǒng)計與概率領域中的知識點比例都比較小，分別為4%和7%，但“新路標數(shù)學”所占比例稍高于“人教版”。

3. 內(nèi)容深度維度的比較

內(nèi)容深度指的是中澳兩國四年級教材中知識點的呈現(xiàn)方式和認知要求的程度。其中，呈現(xiàn)方式分為直觀、歸納、抽象，認知要求分為了解、理解、掌握。

3.1 呈現(xiàn)方式的對比

兩套教材在知識點的呈現(xiàn)方式方面的表現(xiàn)如圖3所示?！叭私贪妗焙汀靶侣窐藬?shù)學”中知識點均未以抽象方式進行呈現(xiàn)?！叭私贪妗焙汀靶侣窐藬?shù)學”中知識點的呈現(xiàn)方式均以歸納為主。但是歸納的呈現(xiàn)方式在“人教版”中的比例為85%，遠高于“新路標數(shù)學”的54%。在直觀的呈現(xiàn)方式中，“人教版”所占比例是15%，遠低于“新路標數(shù)學”的46%。

總體而言，人教版”四年級數(shù)學教材中知識點的呈現(xiàn)方式要比“新路標數(shù)學”更復雜。

3.2 認知要求的對比

兩套教材在知識點的認知要求上的表現(xiàn)如圖4所示?！叭私贪妗睂χR點的認知要求以掌握為主，掌握程度的知識點占所有知識點數(shù)的比例為44%，理解程度的知識點占了37%，而了解程度的知識點占了19%，是比例最小的部分。

而“新路標數(shù)學”對知識點的認知要求以理解為主，理解程度的知識點占所有知識點數(shù)的55%，其次是掌握程度，比例為36%，而了解程度的知識點比例最小，為9%。

總體而言，“人教版”四年級數(shù)學教材中對知識點的認知要求以掌握為主，而“新路標數(shù)學”則強調(diào)理解，可見“人教版”在知識點的認知要求上對學生要求更高。

4. 習題難度

這里的習題是指兩套教材中出現(xiàn)的習題。其中“人教版”教材中出現(xiàn)的習題個數(shù)為479；“新路標數(shù)學”教材中出現(xiàn)的習題個數(shù)為3503。而習題難度主要是由習題水平和習題背景來反映。習題水平分為模仿、遷移、探究。習題背景分為無背景、生活背景、科學情景。

4.1 習題水平對比

對“人教版”和“新路標數(shù)學”中的習題按照習題水平的三個維度編碼，基本情況見圖5。

不難發(fā)現(xiàn)“人教版”和“新路標數(shù)學”都以模仿為主，其次是遷移，探究的比例占得最小。其中“人教版”習題中模仿類型的比例為46%，低于“新路標數(shù)學”相應的比例；遷移類型習題的比例為43%，與“新路標數(shù)學”的40%較為接近；而探究類型的習題比例為11%，高于“新路標數(shù)學”的7%。

4.2 習題背景對比

對兩國教材中習題背景進行比較，結(jié)果如圖6所示?？梢园l(fā)現(xiàn)“人教版”和“新路標數(shù)學”中的習題大多數(shù)是無背景呈現(xiàn)的。但“人教版”無背景習題的比例小于“新路標數(shù)學”。

在“人教版”和“新路標數(shù)學”中，習題有生活背景的比例分別為35%和25%，可見“人教版”更為重視習題生活背景的呈現(xiàn)，以幫助學生更易理解題目，從而解決問題。

在有背景的習題類型中，學生理解有科學背景的題型更為困難，“人教版”中有科學背景的習題占總題量的5%，而“新路標數(shù)學”中有科學背景的習題幾乎沒有出現(xiàn)。

綜上，在習題難度方面，“人教版”在習題水平和習題背景這兩個維度都高于“新路標數(shù)學”。

5. 結(jié)論

從教材的內(nèi)容廣度、內(nèi)容深度、習題難度三個維度對兩套教材的難易度分析發(fā)現(xiàn)：

（1）在內(nèi)容廣度上，“人教版”知識點個數(shù)比“新路標數(shù)學”知識點個數(shù)少?！叭私贪妗北取靶侣窐藬?shù)學”更側(cè)重數(shù)與代數(shù)領域，注重計算；在圖形與幾何領域，“人教版”著重介紹三角形的相關(guān)內(nèi)容，而“新路標數(shù)學”著重于三維圖形的認識及鐘表的認識；在統(tǒng)計與概率方面，兩國教材介紹的內(nèi)容都不多。

（2）在教材內(nèi)容深度方面，“人教版”相對更強調(diào)對知識的理解和掌握，“新路標數(shù)學”以理解知識為主，并不特別強調(diào)掌握。在數(shù)與代數(shù)中，兩國教材都介紹了小數(shù)與分數(shù)且強調(diào)對知識的掌握，“人教版”的重點在于大數(shù)的運算和運算技巧，強調(diào)運用，而“新路標數(shù)學”的要求主要是掌握；兩國教材對于圖形與幾何領域的知識主要強調(diào)理解與掌握；在概率與統(tǒng)計板塊中，兩國教材主要要求對知識有初步認識和了解。

（3）在教材習題的安排方面，“人教版”四年級教材中習題總數(shù)為479，題量并不大，習題以模仿與遷移為主；而“新路標數(shù)學”四年級教材的特點是教材中習題較多，共有3503道小題，類似于一本習題集，習題類型大多是模仿。這可能也反映出兩套教材在習題編排功能上的差異。

6. 兩套教材的其他特點與啟示

6.1 章節(jié)劃分與組織的序

“新路標數(shù)學”四年級教材按照數(shù)與代數(shù)、測量與幾何、概率與統(tǒng)計三大領域相對獨立劃分章節(jié)。實際上，“新路標數(shù)學”系列教材中，每個年級都涉及數(shù)與代數(shù)、測量與幾何、概率與統(tǒng)計的相關(guān)章節(jié)。而中國人教版小學數(shù)學教材章節(jié)的劃分采用的是一種交叉并行模式，可能不利于學生整體把握各領域。例如“人教版”小學四年級數(shù)學上冊教材中，第一單元是大數(shù)的認識，第二單元是角的度量，而第三單元是三位數(shù)乘兩位數(shù)，這樣知識點所屬領域的跨度太大，學生難以把握。

6.2 教材組織方式

兩套小學數(shù)學教材的課程組織方式存在差異，“新路標數(shù)學”四年級教材的章節(jié)內(nèi)容編排呈螺旋式上升，即在章節(jié)的不同階段中課程內(nèi)容重復出現(xiàn)，并且逐漸擴大范圍，加深程度?！叭私贪妗苯滩囊脖憩F(xiàn)為螺旋式編排，但在章節(jié)內(nèi)還是更接近于直線式編寫，可以認為是直線式與螺旋式的中間模式。

6.3 文字題的設計

長期以來，文字題（有時候又被大多數(shù)小學教師稱為應用題）在我國小學數(shù)學中分量較重，并形成了獨特的教學體系，在培養(yǎng)學生思維能力方面發(fā)揮了較好的作用，但在培養(yǎng)學生運用數(shù)學知識解決簡單的實際問題的能力方面還顯得不足?！靶侣窐藬?shù)學”教材中“解決問題”的思想是通過教材直接展示的，教材中呈現(xiàn)的應用題多符合生活實際，能激發(fā)學生的參與興趣，在復雜的應用題旁有一些“解題策略”的點撥，有助于學生自主解決問題。這樣的做法往往見于我國的教輔用書，教材編寫者也可以適當吸納。