容器勻加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下液體大幅晃動(dòng)的解析計(jì)算

張海濤　 孫蓓蓓

(1東南大學(xué)機(jī)械工程學(xué)院, 南京 211189)(2南昌大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院, 南昌 330031)

液體晃動(dòng)是一種常見的流體運(yùn)動(dòng)現(xiàn)象.在油氣儲(chǔ)運(yùn)、航空航天等工業(yè)領(lǐng)域,液體晃動(dòng)可能會(huì)對(duì)結(jié)構(gòu)安全性和系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)穩(wěn)定性產(chǎn)生較大的影響,因此液體晃動(dòng)特性分析及其抑制措施已成為工程實(shí)際中的重要問題.小幅線性晃動(dòng)的研究起步較早,現(xiàn)已形成非常成熟的理論[1].而液體大幅晃動(dòng)通常具有較強(qiáng)的非線性,運(yùn)動(dòng)形式趨于多樣化,研究難度較大.目前關(guān)于液體晃動(dòng)的研究主要集中于大幅非線性晃動(dòng).

罐式車輛在啟動(dòng)或制動(dòng)過程中,慣性作用可能會(huì)引起液體產(chǎn)生大幅晃動(dòng),并對(duì)罐壁造成較大沖擊.Shahravi等[2]采用ALE有限元法和基于等效力學(xué)模型的多體動(dòng)力學(xué)方法計(jì)算容器內(nèi)的液體晃動(dòng),并對(duì)結(jié)果進(jìn)行了比較，同時(shí)模擬了罐車在轉(zhuǎn)彎和加減速等工況下的晃動(dòng)現(xiàn)象,分析了一些重要晃動(dòng)參數(shù)的影響作用.Yu等[3]研究了罐車在急剎和急轉(zhuǎn)彎等危險(xiǎn)工況下的行駛穩(wěn)定性,討論了晃動(dòng)力與罐體形狀、充液率和晃動(dòng)固有頻率等因素之間的關(guān)聯(lián)性.尚春雨等[4]用Fluent軟件計(jì)算了容器做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí)的液面波動(dòng)曲線.Nicolsen等[5]建立了一種可與多體系統(tǒng)相融合的新型拉格朗日連續(xù)介質(zhì)晃動(dòng)模型,其中液體位移和形狀改變的核心計(jì)算方法是有限元絕對(duì)坐標(biāo)法.他們使用該模型分析了罐車在轉(zhuǎn)彎和減速等工況下的動(dòng)力學(xué)行為和車輛穩(wěn)定性.

容器勻變速運(yùn)動(dòng)引發(fā)的晃動(dòng)現(xiàn)象與簡(jiǎn)諧激勵(lì)或隨機(jī)激勵(lì)的受迫晃動(dòng)有很大的不同.由于晃動(dòng)的復(fù)雜性,學(xué)者們大多采用數(shù)值模擬方法計(jì)算該情況下的受迫晃動(dòng).數(shù)值方法計(jì)算結(jié)果較為準(zhǔn)確,但計(jì)算耗時(shí)較長(zhǎng),且不易揭示出晃動(dòng)非線性的內(nèi)在機(jī)理.解析方法是一種傳統(tǒng)的非線性理論分析方法,通過尋求非線性微分方程組的解析近似解來探討系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性.對(duì)于矩形容器內(nèi)液體自由晃動(dòng)和簡(jiǎn)諧激勵(lì)下的受迫晃動(dòng),學(xué)者們已獲得了解析近似解[6].本文采用解析方法計(jì)算矩形容器在勻變速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的液體大幅晃動(dòng),對(duì)自由液面波動(dòng)和流體壓力的非線性項(xiàng)進(jìn)行理論分析,并探討外部相關(guān)參數(shù)(加速度大小、充液率)變化對(duì)晃動(dòng)非線性的影響.

1　數(shù)學(xué)模型

設(shè)定充液容器為矩形箱體,長(zhǎng)為b,內(nèi)部充有深度為h的液體(密度設(shè)為ρ=1 000 kg/m3).設(shè)定液體為無黏不可壓縮的理想流體,忽略表面張力的影響,采用勢(shì)流模型描述.假設(shè)在晃動(dòng)過程中,自由液面的運(yùn)動(dòng)是連續(xù)的,即無翻轉(zhuǎn)、破碎等現(xiàn)象.設(shè)定容器在絕對(duì)坐標(biāo)系下向右做勻加速直線運(yùn)動(dòng),其加速度為β.建立充液容器的相對(duì)坐標(biāo)系xoz,坐標(biāo)原點(diǎn)設(shè)定為左壁面和靜止水平液面的交點(diǎn),向右和向上為正方向.整體晃動(dòng)模型如圖1所示.在相對(duì)坐標(biāo)系下考慮液體晃動(dòng),得到如下方程組[7]:

(1)

(2)

(3)

(4)

(5)

式中,φ為流體速度勢(shì);ξ為自由液面波高函數(shù),反映了各自由液面質(zhì)點(diǎn)偏離靜平面的程度;g為重力加速度.式(1)為理想流體的連續(xù)性方程,式(2)、(3)為固壁邊界條件,式(4)、(5)為自由液面邊界條件.假設(shè)初始時(shí)刻液體和容器均靜止,自由液面為未擾動(dòng)水平面,由此可得如下初始條件:

φ(x,z,0)=0,ξ(x,0)=0

(6)

對(duì)上述微分方程進(jìn)行求解后,內(nèi)部流體壓力p可根據(jù)如下表達(dá)式[8]進(jìn)行計(jì)算:

(7)

圖1　充液容器大幅晃動(dòng)示意圖

2　解析方法

首先對(duì)非線性方程進(jìn)行無量綱化.對(duì)于液體晃動(dòng)方程,一般選位移和頻率作為量綱參數(shù),進(jìn)行后續(xù)處理.然而勻加速激勵(lì)不同于簡(jiǎn)諧激勵(lì),沒有實(shí)際的位移量，所以定義如下虛擬振幅:

(8)

式中,a為虛擬振幅,為無量綱化而設(shè)定的,沒有實(shí)際意義;Ω1為液體線性晃動(dòng)第一階固有頻率.由此可選取如下無量綱量:

(9)

并設(shè)定如下無量綱小參數(shù):

(10)

(11)

采用基于變量分離的小參數(shù)法對(duì)無量綱晃動(dòng)方程求解,設(shè)定近似解形式為

(12)

將式(12)代入無量綱晃動(dòng)方程,令小參數(shù)ε同次冪系數(shù)相等,可將非線性方程轉(zhuǎn)化為一系列線性方程組.

首先考慮ε=0的情況,該零次方程組正是線性晃動(dòng)方程,可采用分離變量法求解.根據(jù)線性晃動(dòng)理論,其解的形式可設(shè)定為[7]

(13)

式(13)可滿足連續(xù)性方程和固壁邊界條件.同時(shí),做如下傅里葉級(jí)數(shù)展開[7]:

(14)

根據(jù)線性晃動(dòng)理論[8]可知,晃動(dòng)第一階固有頻率對(duì)應(yīng)的第一階反對(duì)稱模態(tài)對(duì)受迫晃動(dòng)有顯著影響,后續(xù)奇數(shù)階反對(duì)稱模態(tài)的影響效果越來越弱,而偶數(shù)階對(duì)稱模態(tài)對(duì)受迫晃動(dòng)沒有影響.在式(14)中,除直流分量A0外,其他偶數(shù)項(xiàng)系數(shù)均為零,進(jìn)而可算出偶數(shù)階模態(tài)方程的解也為零,這與線性晃動(dòng)理論完全相符.此處求解直流分量方程(解得速度勢(shì)函數(shù)和波高函數(shù)分別為-bt/2和0),以及第一模態(tài)和第三模態(tài)方程,根據(jù)式(13),將零次方程組的解近似表示為以上離散解的疊加，即

(15)

式中

(16)

其次,考慮ε=1對(duì)應(yīng)的一次方程組,自由液面邊界條件分別為

(17)

(18)

(19)

式(18)表達(dá)式也與之類似.為了分離變量,可設(shè)定如下形式的解:

(20)

(21)

根據(jù)上述求解過程以及式(12),可將液面運(yùn)動(dòng)和流體速度勢(shì)解析近似解表示為

(22)

將解出的流體速度勢(shì)代入無量綱壓力表達(dá)式(11),即可求得晃動(dòng)過程中的液體內(nèi)部壓力.

3　計(jì)算結(jié)果與討論

作為一類重要的非線性分析方法,解析近似法能夠快速獲得計(jì)算結(jié)果,不僅能確定非線性系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)隨時(shí)間變化的規(guī)律,而且能夠得到運(yùn)動(dòng)特性與系統(tǒng)參數(shù)之間的依賴關(guān)系[9].根據(jù)已獲得的解析近似解,可進(jìn)一步討論晃動(dòng)非線性因素,并研究外部參數(shù)(加速度和充液率)變化對(duì)晃動(dòng)非線性效應(yīng)的影響.

3.1　基于解析解的一般性分析

為驗(yàn)證該解析近似解的準(zhǔn)確性,在如下算例中將數(shù)值解與解析近似解做對(duì)比,其中數(shù)值解采用文獻(xiàn)[10]的方法計(jì)算.設(shè)定b=2 m,h=1 m,β=3 m/s2,代入晃動(dòng)模型.圖2(a)顯示了2種方法獲得的左壁處自由液面波高函數(shù)的時(shí)間歷程,圖2(b)顯示了2種方法獲得的左壁底部的液體壓力變化時(shí)間歷程.通過比較可看出,數(shù)值解和解析解符合程度較好,說明該解析解是比較準(zhǔn)確的.隨著時(shí)間的增加,兩者之間存在著一定的相位偏差.Frandsen[7]對(duì)液體自由晃動(dòng)的解析解和數(shù)值解做比較時(shí),也發(fā)現(xiàn)了類似的現(xiàn)象.他認(rèn)為,如果采用更高次數(shù)的解析近似解,相位偏差將會(huì)減小.

(a) 左壁液面波高函數(shù)時(shí)間歷程比較

(b) 左壁底部流體壓力時(shí)間歷程比較

勻加速運(yùn)動(dòng)下的受迫晃動(dòng)與簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下的受迫晃動(dòng)有很大的區(qū)別.由圖2(a)可知,容器做勻加速運(yùn)動(dòng)時(shí),左壁處自由液面質(zhì)點(diǎn)在振動(dòng)過程中總是位于靜止水平面上;而在簡(jiǎn)諧激勵(lì)作用下,液面質(zhì)點(diǎn)的位移可能會(huì)高于或低于靜止水平面.此外,圖2(a)顯示振動(dòng)周期約為1.7 s,對(duì)應(yīng)圓頻率為3.7 rad/s,與線性晃動(dòng)第一階固有頻率(Ω1=3.76 rad/s)非常接近.可見對(duì)于容器勻加速運(yùn)動(dòng)引發(fā)的受迫晃動(dòng)而言,其液面質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)形式比較單一;而在簡(jiǎn)諧激勵(lì)受迫晃動(dòng)下,液面質(zhì)點(diǎn)的振動(dòng)與外激勵(lì)頻率極為相關(guān),可能會(huì)引發(fā)拍振和共振等現(xiàn)象[10].

表1　波高函數(shù)各非線性項(xiàng)的最大振幅

從表中可以看出,僅由第三模態(tài)解生成的第2項(xiàng)非常微小,幾乎可以忽略不計(jì);第3項(xiàng)和第4項(xiàng)由第一模態(tài)解和第三模態(tài)解相互耦合作用生成,它們的波動(dòng)幅度較為接近.因此,左壁自由液面波高函數(shù)的非線性部分主要由第1項(xiàng)、第3項(xiàng)和第4項(xiàng)構(gòu)成,其中第1項(xiàng)占主導(dǎo)地位.

人類身體的運(yùn)動(dòng)屬性是與生俱來的能力，體育行為是后天生存活動(dòng)中的經(jīng)驗(yàn)與總結(jié)。體育既是來源于人類潛在的本能需求，又是人類對(duì)身體健康的內(nèi)在需求，體育搭建起主體尋求強(qiáng)蠻體魄與自由存在的橋梁，在人類本性抒發(fā)中完成自身肉體的解放。體育發(fā)揮主、客體關(guān)聯(lián)的中介作用來彰顯主體的姿態(tài)?！霸谌祟惖淖匀恍枨笾?，體育運(yùn)動(dòng)是一種尋求生存平衡的身體本能”[9]。生命的平衡要求人類內(nèi)在向度達(dá)到精神滿足與肉體需求的統(tǒng)一，外在尺度保持實(shí)踐行為與自然開發(fā)的相互和諧。體育運(yùn)動(dòng)在人類的頑強(qiáng)精神中彰顯軀體的健碩體態(tài)，在人類的本能行為中呈現(xiàn)出自然的動(dòng)物屬性，在順應(yīng)人類肉身本質(zhì)的同時(shí)獲取精神的自由。

圖3　左壁底部流體壓力非線性項(xiàng)時(shí)間歷程

(23a)

(23b)

3.2　加速度對(duì)晃動(dòng)非線性的影響

(24)

可見,波高函數(shù)ξ的非線性項(xiàng)與加速度平方成正比.設(shè)定參數(shù)b=2 m,h=1 m,加速度分別為β=3.0, 4.5 m/s2進(jìn)行計(jì)算.計(jì)算結(jié)果顯示,隨著加速度的增大,左壁面波高函數(shù)非線性項(xiàng)的函數(shù)形狀未發(fā)生變化,但其數(shù)值擴(kuò)大了2.25倍,這與理論分析的結(jié)果一致.

對(duì)流體壓力做類似分析可知,非線性項(xiàng)同樣與加速度平方成正比.綜上所述,加速度的改變將對(duì)晃動(dòng)非線性效應(yīng)產(chǎn)生顯著影響.

3.3　充液率對(duì)晃動(dòng)非線性的影響

(25)

分析可知,當(dāng)h/b>0.7時(shí),其函數(shù)曲線的斜率接近于零,即充液率的增加僅使得固有頻率Ω1發(fā)生微小的變化.因固有頻率幾乎不變,故解析近似解也基本上保持不變.當(dāng)0.5

設(shè)定充液率h/b分別為0.4,0.5,0.75和1.0,計(jì)算相應(yīng)左壁液面波高函數(shù)的非線性項(xiàng),計(jì)算結(jié)果如圖4所示.圖4顯示,h/b=0.75和h/b=1.0的函數(shù)圖像非常接近;盡管充液率僅減小了0.1,h/b=0.4與h/b=0.5的函數(shù)圖像有明顯區(qū)別,流體的減少加強(qiáng)了晃動(dòng)非線性效應(yīng).事實(shí)上,充液率過低，更偏向于淺水晃動(dòng),其晃動(dòng)動(dòng)力學(xué)特性愈加復(fù)雜,解析解不一定適用.

(a) 較高充液率

(b) 較低充液率

4　結(jié)語

采用解析方法計(jì)算了勻加速運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下二維矩形容器內(nèi)的液體大幅晃動(dòng)問題,研究了自由液面波動(dòng)和底部流體壓力的非線性特征,并討論了加速度和充液率變化對(duì)晃動(dòng)非線性效應(yīng)的影響.通過與數(shù)值計(jì)算結(jié)果的對(duì)比,可以看出解析近似解的精度較高.后續(xù)分析結(jié)果顯示,左壁自由液面波高函數(shù)非線性部分的第1項(xiàng)(即僅由第一模態(tài)解生成的非線性項(xiàng))為其主要影響成分;對(duì)于左壁底部流體壓力非線性部分,其時(shí)間項(xiàng)為主要影響成分,“雙峰”現(xiàn)象由流體壓力線性部分和非線性部分共同作用形成.自由液面波高函數(shù)與流體壓力的非線性項(xiàng)與加速度的平方成正比.當(dāng)充液率較大時(shí),充液率的變化對(duì)晃動(dòng)非線性影響較小,而當(dāng)充液率較小時(shí)(h/b<0.5)時(shí),充液率的減小使得晃動(dòng)非線性效應(yīng)增強(qiáng).

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