含地形起伏的MT模型非規(guī)則四邊形FEM正演與反演

馮德山，劉金寶，王珣

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含地形起伏的MT模型非規(guī)則四邊形FEM正演與反演

馮德山1, 2，劉金寶1, 2，王珣1, 2

(1. 中南大學(xué) 地球科學(xué)與信息物理學(xué)院，湖南 長(zhǎng)沙，410083； 2．有色資源與地質(zhì)災(zāi)害探查湖南省重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，湖南 長(zhǎng)沙，410083)

從大地電磁(MT)邊值問(wèn)題滿足的變分方程出發(fā)，采用非規(guī)則四邊形網(wǎng)格、雙線性插值有限單元法(FEM)開(kāi)展復(fù)雜起伏地形MT模型正演，探討二維Jacobian變換行列式的計(jì)算方法，推導(dǎo)任意非規(guī)則四邊形單元的插值方式及單元系數(shù)矩陣表達(dá)式，實(shí)現(xiàn)起伏地形MT模型的高精度正演。然后，介紹光滑約束的Tikhonov正則化反演算法，針對(duì)反演中正則化參數(shù)選取困難的問(wèn)題，將廣泛應(yīng)用的L-curve法引入反演的正則化參數(shù)選取中。研究結(jié)果表明：L-curve法的曲線中曲率最大的拐點(diǎn)準(zhǔn)確地指示了最優(yōu)正則化參數(shù)；L-curve法選取的最優(yōu)正則化參數(shù)對(duì)應(yīng)的反演結(jié)果與原模型所示結(jié)果吻合度最高，反演效果最好。

大地電磁；非規(guī)則四邊形網(wǎng)格；L-curve法；正則化約束反演

大地電磁是以天然交變電磁場(chǎng)為場(chǎng)源，通過(guò)在地表觀測(cè)相互正交的電場(chǎng)、磁場(chǎng)分量來(lái)獲取地電構(gòu)造信息，并以巖礦石的電性差異為基礎(chǔ)的一種重要的地球物理勘探方法[1]。由于探測(cè)對(duì)象電性結(jié)構(gòu)的復(fù)雜性以及地形起伏等影響因素，導(dǎo)致MT探測(cè)環(huán)境復(fù)雜。在地形起伏較大的復(fù)雜山區(qū)開(kāi)展MT勘探時(shí)，起伏地形對(duì)MT探測(cè)數(shù)據(jù)影響很大，若不考慮起伏地形引起的大地電磁場(chǎng)畸變，則將使MT探測(cè)數(shù)據(jù)產(chǎn)生顯著誤差，其解釋結(jié)果必然偏離實(shí)際結(jié)果[1?7]。為了正確認(rèn)識(shí)起伏地形對(duì)MT探測(cè)數(shù)據(jù)的影響，提高復(fù)雜地形條件下MT探測(cè)數(shù)據(jù)的解釋精度，需要開(kāi)展帶地形條件下快速、高精度MT正反演。徐世浙[2]將有限單元法(FEM)引入MT的正演計(jì)算中；CHOUTEAU 等[3]采用FEM模擬了起伏地形對(duì)大地電磁響應(yīng)的畸變效應(yīng)，并應(yīng)用畸變張量法進(jìn)行了二維起伏地形校正；趙廣茂等[4]實(shí)現(xiàn)了二次場(chǎng)起伏地形MT響應(yīng)的FEM數(shù)值模擬，使計(jì)算結(jié)果更符合野外真實(shí)情況；此外，劉樹(shù)才等[5?6]指出在地形起伏的突變處，將會(huì)導(dǎo)致局部電磁場(chǎng)突變，并開(kāi)展了帶地形的MT正演。為了進(jìn)一步提高起伏地形的MT正演精度，柳建新等[7]應(yīng)用自適應(yīng)FEM開(kāi)展地塹、地壘、山谷、山脊及組合地形的MT正演，總結(jié)了起伏地形對(duì)MT電磁響應(yīng)曲線的影響規(guī)律；趙慧等[8]將完全非結(jié)構(gòu)化三角形自適應(yīng)FEM算法應(yīng)用于海洋MT正演；韓騎等[9]采用非結(jié)構(gòu)三角網(wǎng)格自適應(yīng)FEM開(kāi)展任意二維地質(zhì)結(jié)構(gòu)的正演，并將自適應(yīng)FEM與Occam反演相結(jié)合，有效指導(dǎo)復(fù)雜地形下MT數(shù)據(jù)處理與解釋。以上研究均表明地形的多變性對(duì)MT正演工作有重要影響，在MT正演工作中應(yīng)全面考慮地形因素。盡管帶地形的MT正演能夠?qū)T特征起到一定的指導(dǎo)作用，但為了使MT資料解釋能更直接與直觀，需要開(kāi)展帶起伏地形的復(fù)雜MT模型反演，然而，大多數(shù)MT反演是不適定的病態(tài)問(wèn)題，常用的做法是在反演計(jì)算中引入正則化方法[10]。在正則化方法應(yīng)用中，正則化參數(shù)的選取比較困難。正則化參數(shù)控制著正則化誤差項(xiàng)和觀測(cè)數(shù)據(jù)誤差項(xiàng)在目標(biāo)函數(shù)中所占的比例，它的選取對(duì)解的形態(tài)起著關(guān)鍵的作 用[11?12]。目前，已有多種方法求取最適宜的正則化參數(shù)：陳小斌等[13]選取數(shù)據(jù)擬合泛函與模型穩(wěn)定泛函的比值作為每次迭代的正則化因子；劉小軍等[14]利用共軛梯度法求解MT反問(wèn)題，在構(gòu)建目標(biāo)函數(shù)時(shí)引入正則化思想，且在每次迭代過(guò)程中能根據(jù)目標(biāo)的收斂情況更新正則化因子；韓波[15]開(kāi)展了擬Newton法MT二維反演，討論了正則化參數(shù)的選取、靈敏度矩陣的計(jì)算；向陽(yáng)等[16]對(duì)比了多種正則化因子選取方法在給定共軛梯度法求解MT反問(wèn)題中的表現(xiàn)，提出了改進(jìn)的自適應(yīng)正則化方案；相鵬[17]通過(guò)采用正則化參數(shù)的自適應(yīng)更新算法，構(gòu)建性狀更接近Gauss-Newton法Hessian矩陣的預(yù)條件算子，提出一種改進(jìn)的預(yù)條件非線性共軛梯度法，兼顧了反演的穩(wěn)定性和計(jì)算效率；尹銀軒等[18]利用廣義交叉驗(yàn)證方法確定了最優(yōu)的正則化參數(shù)，保持?jǐn)?shù)據(jù)目標(biāo)函數(shù)和模型約束目標(biāo)函數(shù)之間的平衡，使模型方差和分辨率之間達(dá)到最佳折中，將MT反演的不適定問(wèn)題轉(zhuǎn)化為適定問(wèn)題進(jìn)行求解。在MT的正則化反演中，正則化因子的選取方法是多樣的，計(jì)算和比較各種正則化因子的選取方法以選取最適當(dāng)算法將會(huì)極大改善反演結(jié)果，其中L曲線法結(jié)果直觀，計(jì)算相對(duì)簡(jiǎn)單，并且是一種具有很強(qiáng)適應(yīng)性的算法。為了兼顧起伏地形條件下MT模型正演計(jì)算的效率與精度，本文作者采用任意非規(guī)則四邊形網(wǎng)格雙線性插值的FEM算法進(jìn)行MT正演。該非規(guī)則四邊形剖分方式對(duì)復(fù)雜模型的擬合既具有較高的精度，又保持結(jié)構(gòu)化矩形網(wǎng)格剖分的計(jì)算速度。在反演計(jì)算中，首先通過(guò)L-curve法選取最優(yōu)正則化參數(shù)，然后應(yīng)用該最優(yōu)正則化因子開(kāi)展光滑約束的Tikhonov正則化MT反演，不會(huì)出現(xiàn)因正則化參數(shù)過(guò)小，導(dǎo)致背景正電阻率及異常體都產(chǎn)生形變，或者因正則化參數(shù)過(guò)大，導(dǎo)致電阻率異常與背景過(guò)度平緩、異常面積顯得過(guò)大等問(wèn)題，有效地提高了反演結(jié)果的準(zhǔn)確性與穩(wěn)定性。

1 非規(guī)則四邊形網(wǎng)格FEM大地電磁正演

應(yīng)用FEM開(kāi)展MT正演時(shí)，網(wǎng)格剖分是FEM前處理技術(shù)的一項(xiàng)重要研究?jī)?nèi)容，直接影響著FEM的求解效率與計(jì)算精度。常用的網(wǎng)格剖分方式有結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格及非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格。非結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格易于離散外形復(fù)雜的區(qū)域，網(wǎng)格單元的大小、形狀和網(wǎng)格節(jié)點(diǎn)的位置更靈活，但生成的工作量大，離散求解速度也慢，程序編寫(xiě)復(fù)雜，實(shí)現(xiàn)較困難。普通四邊形結(jié)構(gòu)化網(wǎng)格插值相對(duì)于三角網(wǎng)格的面積插值可以在2個(gè)方向上雙線性拉伸，同時(shí)具有較快的計(jì)算速度，計(jì)算簡(jiǎn)單，但對(duì)起伏地形、復(fù)雜模型擬合不好，計(jì)算精度不高。為此，采用圖1所示不規(guī)則四邊形單元對(duì)模型進(jìn)行剖分。不規(guī)則四邊形單元能夠靈活地?cái)M合復(fù)雜起伏地形，并且具備普通四邊形網(wǎng)格的優(yōu)勢(shì)，在計(jì)算速度上接近普通矩形剖分。

由二維大地電磁正演的邊值問(wèn)題可以推導(dǎo)出如下變分問(wèn)題[2]：

圖1 起伏地形不規(guī)則四邊形網(wǎng)格剖分示意圖

圖2 四邊形剖分雙線性插值母和子單元節(jié)點(diǎn)編號(hào)示意圖

用u表示四邊形單元上的電場(chǎng)或磁場(chǎng)強(qiáng)度，則電磁場(chǎng)值與子單元上的坐標(biāo)可以表示為

由式(2)可以得出：

將式(6)代入式(5)可以得出

其中：

其中：

(12)

TE模式：

TM模式：

2 光滑度約束Tikhonov正則化反演

2.1 Tikhonov正則化反演

MT反演大多是高度不適定的病態(tài)問(wèn)題，數(shù)據(jù)微小誤差或較小擾動(dòng)就會(huì)導(dǎo)致所求近似解嚴(yán)重偏離真解。為了提高反演結(jié)果的穩(wěn)定性，使反演結(jié)果更加真實(shí)可靠，通常會(huì)在反演過(guò)程中引入Tikhonov正則化方法，其目標(biāo)函數(shù)可以表示為

式中r為包含先驗(yàn)信息的參考模型；為加權(quán)矩陣；不同的對(duì)應(yīng)不同類(lèi)型的模型約束。本文采用差分矩陣來(lái)定義模型的粗糙度，并以此來(lái)約束模型的光滑程度?；谙闰?yàn)?zāi)Ｐ偷墓饣s束最小二乘正則化反演的迭代公式可以寫(xiě)為

2.2 正則化參數(shù)選取L-curve準(zhǔn)則

通過(guò)求式(24)的最大曲率，即可得到所求的正則化參數(shù)。L曲線的優(yōu)點(diǎn)是不需要預(yù)先知道誤差估計(jì)，易于找出極小值點(diǎn)，具有很強(qiáng)的適應(yīng)性，不受擾動(dòng)誤差的影響。

3 反演計(jì)算實(shí)例

設(shè)計(jì)如圖3所示的二維起伏地形模型，地表共有2個(gè)山脊地形，其最高點(diǎn)高度分別為200 m和400 m，大地介質(zhì)的視電阻率為100 ??m。地下存在3個(gè)矩形異常體，其寬度與高度均為600 m，左側(cè)2個(gè)是電阻率為10 ??m的低阻體，其頂端埋深分別為1.6 km和2.1 km；最右側(cè)是電阻率為1.0 k??m的高祖異常體，其頂端埋深為1.5 km。模型總水平跨度為16.4 km。地下深度小于4.0 km。

圖3 二維起伏地形模型圖

正演基于不規(guī)則四邊形的FEM方法，地下介質(zhì)水平網(wǎng)格數(shù)為68個(gè)，垂直網(wǎng)格數(shù)為40個(gè)，單元網(wǎng)格的長(zhǎng)×寬為100 m×200 m，頻率選取10?1~103Hz范圍內(nèi)的21個(gè)頻點(diǎn)。TM模式在橫向上有更高的分辨率，在縱向上的分辨率較低。TE模式在縱向上有更高的分辨率，在橫向的分辨率較低。因此，本文采用TM和TE模式聯(lián)合反演，使反演結(jié)果優(yōu)于單一模式的反演，具有更高的分辨率[21]。

圖4 L-curve法求得的最優(yōu)正則化參數(shù)

選用圖5所示的正則化參數(shù)分別為0.05，0.25和4.00的反演結(jié)果。從圖5可見(jiàn)：因不同導(dǎo)致反演結(jié)果存在顯著差異，其中圖5(c)所示的=0.25時(shí)反演剖面中異常體的位置和大小均清晰地得到反映，低阻異常體電阻率準(zhǔn)確得到體現(xiàn)，但高阻異常體電阻率偏低。這是由于高阻異常體的正演分辨率較低，導(dǎo)致反演對(duì)高阻體不敏感。圖5(a)所示為正則化參數(shù)=0.05時(shí)的反演剖面，由于正則化參數(shù)選取過(guò)小，背景平均視電阻率出現(xiàn)波動(dòng)，且異常體的特征也有所形變。圖5(b)所示為正則化參數(shù)=4.00時(shí)的反演剖面，當(dāng)正則化參數(shù)選取過(guò)大時(shí)，電阻率異常與背景過(guò)于平緩，從而導(dǎo)致異常面積過(guò)大，模型約束過(guò)度導(dǎo)致反演結(jié)果不準(zhǔn)確。

圖5 二維起伏地形模型在不同的正則化參數(shù)條件下反演剖面

圖6所示為不同正則化參數(shù)下的反演剖面與原模型剖面之間的誤差曲線。按照反演結(jié)果的網(wǎng)格將原模型繪制出，計(jì)算出所有網(wǎng)格的均方誤差，計(jì)算公式如下：

式中：n為模型網(wǎng)格總數(shù)；為原模型每個(gè)網(wǎng)格的電阻率；為反演網(wǎng)格的電阻率。以正則化參數(shù)遞減的順序計(jì)算每次結(jié)果與原模型的誤差，可以從圖6中看出L-curve法選取的最佳正則化參數(shù)的反演誤差為曲線最低點(diǎn)，這說(shuō)明通過(guò)L-curve法選取最優(yōu)正則化參數(shù)能有效提高反演質(zhì)量。

4 結(jié)論

1) 不規(guī)則四邊形網(wǎng)格能夠靈活地模擬復(fù)雜起伏地形，且計(jì)算過(guò)程簡(jiǎn)單，編程難度較非結(jié)構(gòu)網(wǎng)格的低，是一種較合適的FEM網(wǎng)格剖分方式。

2) 開(kāi)展了復(fù)雜起伏地形MT模型的不規(guī)則四邊形雙線性插值FEM正演及光滑度約束的Tikhonov反演。本文采用的反演算法能準(zhǔn)確地反映異常體的特征，對(duì)復(fù)雜地形具有良好的適用性，說(shuō)明了正反演算法的有效性和可行性。

3) L-curve法通過(guò)繪制正則解的范數(shù)和正則化解殘差范數(shù)的雙對(duì)數(shù)曲線，然后選取曲線中曲率最大的拐點(diǎn)來(lái)確定最優(yōu)正則化參數(shù)。該最優(yōu)正則化參數(shù)能夠有效地平衡反演目標(biāo)函數(shù)中模型約束項(xiàng)和數(shù)據(jù)擬合項(xiàng)，使正則化MT反演結(jié)果與原模型所得結(jié)果更相符，顯著提高反演質(zhì)量。

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(編輯 陳燦華)

MT finite element method forward modeling and inversion using irregular quadrilateral mesh of steep topography model

FENG Deshan1, 2, LIU Jinbao1, 2, WANG Xun1, 2

(1. School of Geosciences and Info-Physics, Central South University, Changsha 410083, China; 2. Key Laboratory of Non-ferrous Resources and Geological Detection, Ministry of Hunan Province, Changsha 410083, China)

Based on the variational problem derived from magnetotelluric(MT) boundary value problems, the finite element method using irregular quadrilateral mesh and bilinear interpolation was used to solve MT forward problem of steep topography model. The detailed calculation of Jacobi transformation matrix was discussed and interpolation method of arbitrary irregular quadrilateral unit and unit coefficient matrix expression was derived which achieved high precision forward of steep topography MT model. Then, the smooth constrained Tikhonov regularization inversion algorithm was introduced. To overcome the difficulty in determination of regularization parameters for MT, L-curve method was used to calculate regularization parameters in MT inversion. The results show that inflection of L-curve can indicate the optimal regularization parameter accurately. Inversion results using optimal regularization parameter calculated by L-curve method is most similar to those of the original model, and better inversion results can be obtained.

magnetotelluric(MT); irregular quadrilateral mesh; L-curve method; smoothness constrained inversion

P631

A

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.03.016

1672?7207(2018)03?0626?07

2017?03?10；

2017?05?16

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41574116)；中南大學(xué)創(chuàng)新驅(qū)動(dòng)項(xiàng)目(2015CX008)；中南大學(xué)教師研究基金資助項(xiàng)目2014JSJJ001)，中南大學(xué)升華育英人才計(jì)劃項(xiàng)目(2012)；湖湘青年創(chuàng)新創(chuàng)業(yè)平臺(tái)培養(yǎng)對(duì)象共同資助項(xiàng)目(2013) (Project(41574116) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(2015CX008) supported by Innovation Driven Item of Central South University; Project(2014JSJJ001) supported by the Research Foundation of Central South University; Project(2012) supported by Shenghua Yuying Project of Central South University; Project(2013) supported by Youth Innovation and Entrepreneurship Training Platform of Hunan Province)

馮德山，博士，教授，博士生導(dǎo)師，從事地球物理正反演與數(shù)據(jù)處理研究；E-mail: fengdeshan@126.com