滑動軸承支撐下齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合振動特性分析

李同杰，靳廣虎，朱如鵬，安魯陵

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滑動軸承支撐下齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)彎扭耦合振動特性分析

李同杰1, 2，靳廣虎1，朱如鵬1，安魯陵1

(1. 南京航空航天大學(xué) 機(jī)電學(xué)院，江蘇 南京，210016； 2. 安徽科技學(xué)院 機(jī)械工程學(xué)院，安徽 滁州，233100)

在綜合考慮齒輪副齒側(cè)間隙以及滑動軸承的油膜力等非線性因素的基礎(chǔ)上，建立滑動軸承?雙轉(zhuǎn)子?齒輪耦合系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型。通過數(shù)值仿真的方法研究耦合系統(tǒng)參數(shù)對齒輪副嚙合沖擊特性的影響規(guī)律，以及系統(tǒng)穩(wěn)定性隨轉(zhuǎn)速的分岔規(guī)律。研究結(jié)果表明，滑動軸承的油膜對齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的混沌運(yùn)動具有顯著的鎮(zhèn)定作用；滑動軸承間隙以及轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心設(shè)計不當(dāng)將會導(dǎo)致系統(tǒng)齒輪副產(chǎn)生單邊沖擊現(xiàn)象。

齒輪耦合轉(zhuǎn)子；滑動軸承；耦合非線性動力學(xué)模型；嚙合沖擊；分岔

齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)是各種傳動系統(tǒng)的核心部分，其動特性的優(yōu)劣直接影響著減速器的運(yùn)行品質(zhì)，所以齒輪轉(zhuǎn)子的研究一直都是一個學(xué)術(shù)熱點(diǎn)[1?8]。由于大型減速器基本上都是采用滑動軸承支撐，所以把滑動軸承集成到齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)模型中，研究滑動軸承?齒輪?轉(zhuǎn)子耦合系統(tǒng)的動力學(xué)就具有重要的工程應(yīng)用價值。該耦合系統(tǒng)的早期研究多以線性模型為主，或者僅僅考慮某單一方面的非線性因素，例如在對滑動軸承的處理上，眾多學(xué)者把軸承假設(shè)為支撐力隨轉(zhuǎn)子橫向位移線性變化的線彈性軸承[9?10]；在對齒輪嚙合力的處理上，忽略了齒側(cè)間隙可能導(dǎo)致的齒輪副的嚙合沖擊非線性[11?12]。同時綜合考慮了滑動軸承油膜力非線性以及齒輪副嚙合沖擊非線性的研究較少。BAGUET等[13]利用有限元研究了單對齒輪?轉(zhuǎn)子?軸承耦合模型，考慮了非線性時變剛度和非線性支撐，對比了非線性支撐和線性支撐下系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)之間的區(qū)別，并研究了軸承和齒輪載荷的動態(tài)特性。THEODOSSIADES等[14]研究了油膜力和嚙合力共同作用下齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的動態(tài)響應(yīng)，分析了油膜穩(wěn)定性，研究了不同參數(shù)組合下系統(tǒng)的幅頻響應(yīng)。GAO等[15]在綜合考慮了齒側(cè)間隙、傳動誤差和時變嚙合剛度等非線性因素的基礎(chǔ)上，研究了滑動軸承與滾動軸承混合支撐下匯流傳動齒輪轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的運(yùn)動分岔特性。然而，目前針對滑動軸承支撐下齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)振動特性的研究還不完善，尤其是滑動軸承非線性油膜力對齒輪副嚙合沖擊特性的影響規(guī)律方面的研究尚未見報道。本文作者將綜合考慮滑動軸承的非線性油膜力以及齒輪副的嚙合沖擊力等非線性因素，建立滑動軸承支撐下齒輪耦合雙軸轉(zhuǎn)子的集中參數(shù)形式的非線性動力學(xué)模型，推導(dǎo)系統(tǒng)關(guān)于齒輪副嚙合點(diǎn)相對位移的運(yùn)動微分方程，通過數(shù)值仿真的手段初步研究滑動軸承非線性油膜力對齒輪副嚙合沖擊特性的影響，并對系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)的穩(wěn)定性隨轉(zhuǎn)速的分岔規(guī)律進(jìn)行研究。

1 動力學(xué)模型

滑動軸承支撐下齒輪耦合雙軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型如圖1所示。

圖1(a)中，主動轉(zhuǎn)子(下標(biāo)1標(biāo)注)以及從動轉(zhuǎn)子(下標(biāo)2標(biāo)注)均受滑動軸承支撐，主、從動齒輪均固定于轉(zhuǎn)軸跨中，2個轉(zhuǎn)子均為Jeffcott轉(zhuǎn)子，即轉(zhuǎn)子的2個軸頸運(yùn)動規(guī)律完全對稱?；瑒虞S承作用給轉(zhuǎn)子的非線性油膜力分解到固定坐標(biāo)x和y(=1, 2)上的投影分別為F，F；表示相應(yīng)齒輪的齒數(shù)，表示相應(yīng)轉(zhuǎn)子所承受的扭矩。每個轉(zhuǎn)子的平面運(yùn)動均存在2個橫向振動位移(,)和1個扭轉(zhuǎn)振動位移，這樣整個系統(tǒng)的動力學(xué)描述就需要6個廣義坐標(biāo)，即(1,1,1,2,2,2)。為齒輪副的嚙合力，齒輪副的時變嚙合剛度以及齒側(cè)間隙決定了分段非線性力的本質(zhì)；為轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心；為轉(zhuǎn)子的偏心變化相位；為轉(zhuǎn)子的轉(zhuǎn)動角速度；g為轉(zhuǎn)子重力；b為齒輪基圓半徑；為齒輪壓力角。

運(yùn)用剛體平面運(yùn)動微分方程可以建立系統(tǒng)廣義坐標(biāo)(1,1,1,2,2,2)下的運(yùn)動微分方程，如式(1)所示。

圖1 滑動軸承支撐下齒輪耦合雙軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型

不考慮動力學(xué)模型中轉(zhuǎn)子所承受外扭矩的波動，即扭轉(zhuǎn)振動方程中的外扭矩1和2為定值；相較于嚙合力而言，重力對各自齒輪產(chǎn)生力矩的轉(zhuǎn)動效應(yīng)非常微弱，所以扭轉(zhuǎn)振動方程中忽略了重力對齒輪回轉(zhuǎn)中心的力矩。按照齒輪傳動的物理關(guān)系，有傳動比=2/1，21，1=101，2=202，其中，0為初始相位。

1.1 齒輪副嚙合力的非線性表達(dá)

齒輪副動態(tài)嚙合力與嚙合點(diǎn)的相對位移有關(guān)，為了方便表達(dá)，引入齒輪副嚙合點(diǎn)的相對位移

式(2)關(guān)于時間2次求導(dǎo)后，結(jié)合方程(1)可得齒輪副嚙合點(diǎn)相對位移的振動微分方程

這樣，齒輪副的動態(tài)嚙合力可以表達(dá)為

式(4)中，近似按矩形波周期時變的嚙合剛度()可以展開成為以齒輪副嚙頻(=11)為基頻的Fourier級數(shù)，取一次諧波項為

其中：m為嚙合剛度的均值，a為嚙合剛度波動幅值，為剛度波動初相位。

式(4)中的間隙非線性函數(shù)(,)充分考慮了齒輪副可能會出現(xiàn)的3種嚙合狀態(tài)，即正常嚙合、空嚙合以及齒背嚙合[16]

1.2 滑動軸承油膜力的非線性表達(dá)

作用在轉(zhuǎn)子軸頸上的非線性油膜力F，F經(jīng)Sommerfeld 系數(shù)可實現(xiàn)量綱一化，即

國內(nèi)外專家學(xué)者的研究發(fā)現(xiàn)，滑動軸承的量綱一油膜力與轉(zhuǎn)子徑向位移以及徑向速度成非線性關(guān) 系[17?18]，其表達(dá)如式(8)所示：

式中：

1.3 相對坐標(biāo)下的量綱一化方程

2 運(yùn)動狀態(tài)穩(wěn)定性的分岔特性

仿真案例中的基本參數(shù)如下：齒輪模數(shù)=3 mm，齒輪1=40，2=80，齒輪壓力角=20°，齒側(cè)間隙=10 μm，主動輪轉(zhuǎn)子質(zhì)量1=10.6 kg，從動輪轉(zhuǎn)子質(zhì)量1=14.6 kg，主動轉(zhuǎn)子半徑1=20 mm，從動輪轉(zhuǎn)子直徑2=30 mm，根據(jù)減速器滑動軸承參數(shù)的工程取值范圍[19]，軸承半徑相對間隙取=0.2‰~1.5‰，軸承寬徑比/=2，潤滑油動力黏度=0.018 N·s/m2。

忽略系統(tǒng)質(zhì)量偏心的影響(1=2=0)，方程(9)就退化為僅受齒輪副嚙合頻率激勵的非光滑非線性系統(tǒng)。取主動轉(zhuǎn)子軸承半徑間隙為1=20 μm，從動轉(zhuǎn)子軸承半徑間隙為1=30 μm，考查主動轉(zhuǎn)子轉(zhuǎn)速1在500~900 rad/s之間變化時系統(tǒng)運(yùn)動狀態(tài)穩(wěn)定性的分岔規(guī)律。

圖2表明：總體上，在500~810 rad/s之間的低速區(qū)間系統(tǒng)振動呈現(xiàn)周期狀態(tài)，在810~900 rad/s之間的高速區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)振動呈現(xiàn)復(fù)雜運(yùn)動狀態(tài)。

圖2 非線性油膜力作用下系統(tǒng)全局分岔圖

圖3 線彈性軸承支撐下系統(tǒng)的全局分岔圖

在500~810 rad/s的低速區(qū)間內(nèi)，隨著轉(zhuǎn)速的變化系統(tǒng)的周期運(yùn)動的形態(tài)也不是一成不變的。在轉(zhuǎn)速區(qū)間500~610 rad/s內(nèi)，系統(tǒng)振動表現(xiàn)為周期一狀態(tài)，其中當(dāng)1=550 rad/s時，周期一運(yùn)動的時域圖、相圖以及Poincare?截面圖如圖4所示；在轉(zhuǎn)速區(qū)間610~ 690 rad/s內(nèi)，系統(tǒng)振動以周期二狀態(tài)為主，期間出現(xiàn)了短暫的周期三運(yùn)動狀態(tài)，當(dāng)1=620 rad/s時，周期二運(yùn)動的時域圖、相圖以及Poincare?截面圖如圖5所示；在轉(zhuǎn)速區(qū)間690~740 rad/s內(nèi)，系統(tǒng)振動又回到周期一狀態(tài)，當(dāng)轉(zhuǎn)速增大到740~810 rad/s區(qū)間，周期一運(yùn)動又分岔為周期三運(yùn)動，其中當(dāng)1=770 rad/s時，周期一運(yùn)動的時域圖、相圖以及Poincare?截面圖如圖6所示。圖7所示為1=900 rad/s時，系統(tǒng)復(fù)雜運(yùn)動的時域圖、相圖以及Poincare?截面圖，其中Poincare?截面圖所呈現(xiàn)的封閉圈說明發(fā)生在810~900 rad/s高速區(qū)間的復(fù)雜運(yùn)動為擬周期運(yùn)動。

圖8所示為1=680 rad/s時，線彈性軸承支撐下齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)動的時域圖、相圖以及Poincare?截面圖，其中Poincare?截面圖所呈現(xiàn)的分形現(xiàn)象說明線彈性軸承支撐下齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的復(fù)雜運(yùn)動為混沌。

圖4 ω1=550 rad/s時滑動軸承齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)動吸引子的形態(tài)

圖5 ω1=620 rad/s時滑動軸承齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)動吸引子的形態(tài)

圖6 ω1=770 rad/s時滑動軸承齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)動吸引子的形態(tài)

圖7 ω1=900 rad/s時滑動軸承齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)動吸引子的形態(tài)

圖8 ω1=680 rad/s時線彈性軸承支撐下齒輪耦合轉(zhuǎn)子系統(tǒng)穩(wěn)定運(yùn)動吸引子的形態(tài)

綜合以上仿真圖形分析可知：在較低轉(zhuǎn)速的工況下，滑動軸承支撐下齒輪耦合轉(zhuǎn)子的振動表現(xiàn)為形態(tài)各異的周期狀態(tài)，在較高轉(zhuǎn)速工況下系統(tǒng)振動則會呈現(xiàn)出擬周期運(yùn)動形態(tài)；滑動軸承油膜力對齒輪耦合轉(zhuǎn)子的混沌運(yùn)動具有顯著的鎮(zhèn)定作用。

3 系統(tǒng)參數(shù)對齒輪副嚙合沖擊特性的影響

3.1 滑動軸承間隙的影響規(guī)律

固定轉(zhuǎn)速1=720 rad/s，轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心=0，為了研究方便，主從動轉(zhuǎn)子滑動軸承間隙取同一值，即1=2=。圖9所示為不同滑動軸承間隙下系統(tǒng)齒輪副動態(tài)嚙合力的波動規(guī)律。

從圖9可以看到：當(dāng)軸承間隙=100 μm時系統(tǒng)齒輪副能夠正常嚙合；當(dāng)軸承間隙減小到=10 μm時系統(tǒng)齒輪副發(fā)生了單邊沖擊現(xiàn)象，即齒輪副出現(xiàn)了空嚙合到正常嚙合的循環(huán)沖擊現(xiàn)象；當(dāng)軸承間隙繼續(xù)減小到=8 μm時，系統(tǒng)齒輪副的單邊沖擊現(xiàn)象進(jìn)一步加劇。以上仿真結(jié)果說明：滑動軸承間隙對齒輪的嚙合狀態(tài)影響非常顯著，間隙選取不當(dāng)可能導(dǎo)致齒輪單邊沖擊現(xiàn)象的發(fā)生。

在軸承間隙區(qū)間4~100 μm范圍內(nèi)離散選取有限多個間隙點(diǎn)，重復(fù)數(shù)值計算得到每個軸承間隙值對應(yīng)的齒輪副嚙合力波動的最小值，把上述數(shù)據(jù)點(diǎn)描成曲線即可獲得滑動軸承間隙對齒輪嚙合狀態(tài)具體的影響規(guī)律，如圖10所示。顯然，在4~12 μm之間的較小間隙區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)齒輪副動態(tài)嚙合力波動的最小值為0，意味著該軸承間隙區(qū)間內(nèi)齒輪副出現(xiàn)了單邊沖擊現(xiàn)象；在12~100 μm之間的較大軸承間隙區(qū)間內(nèi)齒輪副正常嚙合，并且隨著間隙的增大嚙合力波動的最小值按照一種上凸單調(diào)曲線遞增。

圖9 不同滑動軸承間隙時系統(tǒng)齒輪副的動態(tài)嚙合力

圖10 系統(tǒng)齒輪副最小嚙合力隨軸承間隙的變化規(guī)律

3.2 轉(zhuǎn)子偏心的影響規(guī)律

以下固定轉(zhuǎn)速1=720 rad/s，主從動轉(zhuǎn)子的軸承間隙均為50 μm，為了研究方便，主從動轉(zhuǎn)子的質(zhì)量偏心假定為同一值，即1=2=。圖11所示為不同質(zhì)量偏心下系統(tǒng)齒輪副的動態(tài)嚙合力的波動規(guī)律，

從圖11可以看到，當(dāng)轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心取=3.0 μm時系統(tǒng)齒輪副能夠正常嚙合；當(dāng)質(zhì)量偏心增大為=3.1 μm時系統(tǒng)齒輪副開始出現(xiàn)單邊沖擊現(xiàn)象；當(dāng)質(zhì)量偏心增大到=4.0 μm時，系統(tǒng)齒輪副的單邊沖擊現(xiàn)象進(jìn)一步加劇。以上仿真結(jié)果說明，轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心對齒輪的嚙合狀態(tài)也有著非常顯著的影響，間隙值選取不當(dāng)可能導(dǎo)致齒輪副單邊沖擊現(xiàn)象的發(fā)生。

在轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心區(qū)間0~4 μm范圍內(nèi)離散選取有限多個偏心點(diǎn)，重復(fù)數(shù)值計算得到每個轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心對應(yīng)的齒輪副嚙合力波動的最小值，把上述數(shù)據(jù)點(diǎn)描成曲線即可獲得轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心對齒輪嚙合狀態(tài)具體的影響規(guī)律，如圖12所示。顯然，在3.1~4.0 μm之間的較大質(zhì)量偏心區(qū)間內(nèi)系統(tǒng)齒輪副動態(tài)嚙合力波動的最小值為0，意味著該偏心區(qū)間內(nèi)齒輪副出現(xiàn)了單邊沖擊現(xiàn)象；在0~3.0 μm之間較小的偏心區(qū)間內(nèi)齒輪副正常嚙合。需要特別說明的是，隨著轉(zhuǎn)子偏心量的逐漸增大，齒輪副動態(tài)嚙合力的最小值并非逐漸減小而達(dá)到零值，而是在偏心增大到3.1 μm附近時，經(jīng)過一個“階躍”突然歸零，所以找出“階躍”發(fā)生時的偏心閥值對避免齒輪副單邊沖擊現(xiàn)象的發(fā)生有著重要的價值。

圖11 不同質(zhì)量偏心下系統(tǒng)齒輪副的動態(tài)嚙合力

圖12 系統(tǒng)齒輪副最小嚙合力隨質(zhì)量偏心的變化

4 結(jié)論

1) 在綜合考慮滑動軸承的非線性油膜力以及齒輪副的嚙合沖擊力等非線性因素的基礎(chǔ)上，建立了滑動軸承支撐下齒輪耦合雙軸轉(zhuǎn)子系統(tǒng)的非線性動力學(xué)模型，推導(dǎo)了系統(tǒng)關(guān)于齒輪副嚙合點(diǎn)相對位移的運(yùn)動微分方程。

2) 在較低轉(zhuǎn)速的工況下，滑動軸承支撐下齒輪耦合轉(zhuǎn)子的振動表現(xiàn)為形態(tài)各異的周期狀態(tài)，在較高轉(zhuǎn)速工況下系統(tǒng)振動則會呈現(xiàn)出擬周期運(yùn)動形態(tài)；滑動軸承油膜力對齒輪耦合轉(zhuǎn)子的混沌運(yùn)動具有顯著的鎮(zhèn)定作用。

3) 滑動軸承間隙以及轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心對齒輪的嚙合狀態(tài)影響非常顯著，軸承間隙以及轉(zhuǎn)子偏心量選取不當(dāng)會導(dǎo)致齒輪單邊沖擊現(xiàn)象的發(fā)生；轉(zhuǎn)子質(zhì)量偏心所導(dǎo)致的單邊沖擊具有突然“階躍”發(fā)生的特征，所以找出“階躍”發(fā)生時的偏心閥值對避免齒輪單邊沖擊現(xiàn)象的發(fā)生有著重要的指導(dǎo)意義。

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(編輯 趙俊)

Nonlinear bending-torsional dynamics of geared rotor system supported by sliding bearing

LI Tongjie1, 2, JIN Guanghu1, ZHU Rupeng1, AN Luling1

(1. College of Mechanical and Electrical Engineering, Nanjing University of Aeronautics and Astronautics,Nanjing 210016, China; 2. College of Mechanical Engineering, Anhui Science & Technology University, Chuzhou 233100, China)

A nonlinear dynamic model of geared rotor system coupling with sliding bearing was established taking nonlinear oil film force of the bearing and backlash of the system into account. By using the method of numerical simulation, some influence laws of the system parameters on meshing impact properties of the gear pair and system bifurcation characteristics about motion stability were studied based on the nonlinear dynamic model. The results reveal that slide bearing nonlinear oil film force can calm the chaos of the system, and improper sliding bearing clearance value and rotor eccentricity will lead to a unilateral impact phenomenon.

geared rotor system; sliding bearing; coupled nonlinear dynamic model; meshing impact; bifurcation

TH132

A

10.11817/j.issn.1672-7207.2018.03.008

1672?7207(2018)03?0566?08

2017?03?09；

2017?05?18

國家自然科學(xué)基金資助項目(51475226)；安徽省教育廳自然科學(xué)重點(diǎn)項目(KJ2015A179)；安徽省科技公關(guān)計劃項目(1604a0902134，1501031095) (Project(51475226) supported by the National Natural Science Foundation of China; Project(KJ2015A179) supported by Key Natural Science Fund of Education Department of Anhui Province; Projects(1604a0902134, 1501031095) supported by Science and Technology Agency of Anhui Province)

李同杰，博士，副教授，從事齒輪傳動系統(tǒng)動力學(xué)研究；E-mail: litongjie2000@163.com