基于復(fù)合函數(shù)的復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)分層響應(yīng)面建模與可靠性分析

王騫， 張建國(guó)， 彭文勝， 楊樂(lè)昌

(1.北京航空航天大學(xué) 可靠性與系統(tǒng)工程學(xué)院， 北京 100191； 2.北京航空航天大學(xué) 可靠性與環(huán)境工程重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 北京 100191；3.中國(guó)航空綜合技術(shù)研究所， 北京 100028)

0　引言

對(duì)于簡(jiǎn)單機(jī)械產(chǎn)品，根據(jù)已知的輸入輸出關(guān)系，容易構(gòu)建其設(shè)計(jì)功能對(duì)應(yīng)的顯式極限狀態(tài)函數(shù)，進(jìn)而采取階矩法(F/SORM)、漸近積分法、蒙特卡洛仿真(MCS)等方法求解可靠度。對(duì)于復(fù)雜機(jī)械產(chǎn)品，其輸入輸出間存在高度非線(xiàn)性，基于二次多項(xiàng)式[1]、Kriging[2]、支持向量機(jī)[3]及人工神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)[4]等替代模型的響應(yīng)面法(RSM)，可擬合隱式極限狀態(tài)函數(shù)，給可靠性建模分析提供了另一種可行手段。

在實(shí)際工程中，機(jī)械系統(tǒng)與各零部件間具有典型的層次型結(jié)構(gòu)[5-7]，低層的輸出作為高層的輸入，最終作用于系統(tǒng)的性能參數(shù)，是一個(gè)響應(yīng)逐級(jí)上傳的過(guò)程,例如:彈簧剛度- 懸架剛度- 汽車(chē)剛度；軸承游隙- 關(guān)節(jié)間隙- 指向誤差。然而以上傳統(tǒng)RSM及其衍生方法忽略了已知的零部件響應(yīng)，直接將系統(tǒng)視為一個(gè)整體黑盒進(jìn)行建模分析。當(dāng)?shù)讓踊咀兞繑?shù)目過(guò)多時(shí)，隨著維數(shù)的增加，計(jì)算量呈指數(shù)倍增長(zhǎng)，求解效率極低，且結(jié)果往往不收斂。即便是具有全局統(tǒng)計(jì)特性的Kriging響應(yīng)面，也難以找到模型參數(shù)最優(yōu)值，精度甚至低于二次響應(yīng)面[8]?，F(xiàn)有研究或改進(jìn)替代函數(shù)形式[9-11]，或賦予樣本點(diǎn)合理的權(quán)重系數(shù)，淘汰了離極限狀態(tài)曲面較遠(yuǎn)的劣質(zhì)樣本[12]，但沒(méi)有充分利用系統(tǒng)內(nèi)部的物理關(guān)系，其迭代過(guò)程仍極易陷入遠(yuǎn)離驗(yàn)算點(diǎn)的局部極值，龐雜變量導(dǎo)致計(jì)算耗費(fèi)指數(shù)激增的難題依然存在，求解精度及速度始終不能滿(mǎn)足要求，且始終無(wú)法認(rèn)知底層變量到系統(tǒng)的作用過(guò)程。

本文針對(duì)具有物理層次模型關(guān)系的機(jī)械系統(tǒng)可靠性建模分析問(wèn)題，將極限狀態(tài)函數(shù)表示為部分基本變量及若干零部件響應(yīng)函數(shù)組成的復(fù)合函數(shù)，提出分層響應(yīng)面法(HRSM)。該方法將龐雜的基本變量分配至中間層的零部件來(lái)構(gòu)建響應(yīng)函數(shù)，再整合中間層響應(yīng)來(lái)擬合系統(tǒng)頂層極限狀態(tài)的響應(yīng)面，從而解決了傳統(tǒng)RSM一次考慮所有變量的不合理性和難以收斂的問(wèn)題。以雙軸驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)為研究對(duì)象，考慮影響最終指向精度的所有零件誤差及其累積傳遞關(guān)系，驗(yàn)證了HRSM的有效性和可行性。

1　分層響應(yīng)面法

1.1　系統(tǒng)分層與HRSM基本思想

(1)

式中：a、bi和ci分別為各項(xiàng)待定系數(shù)；s為變量數(shù)目。

復(fù)雜機(jī)械系統(tǒng)的性能可靠性問(wèn)題涉及眾多零部件和影響因素，為減少其建模分析過(guò)程的計(jì)算量和復(fù)雜度，一般根據(jù)功能屬性、組成結(jié)構(gòu)、物理尺度等準(zhǔn)則將系統(tǒng)分為多級(jí)層次節(jié)點(diǎn)，每級(jí)存在不同的決策變量及影響最終性能的要素[13]。如圖1所示是一個(gè)典型的3級(jí)層次型系統(tǒng)。

圖1中：底層節(jié)點(diǎn)包括Xl=[Xl1,Xl2,…,Xln]及Xh=[Xh1,Xh2,…,Xhm],表示系統(tǒng)的基本變量；中間層節(jié)點(diǎn)為Z=[Z1,Z2,…,Zn],表示零部件及其功能；頂層節(jié)點(diǎn)為G=F(Xh,f(Xl)),表示所要研究的系統(tǒng)對(duì)象；各層以物理關(guān)系連接，系統(tǒng)信息遵循從低到高的傳遞方式。為有效對(duì)上述層次化系統(tǒng)進(jìn)行可靠性分析，本文提出基于復(fù)合函數(shù)的HRSM. 具體步驟如下：

1)定義底層節(jié)點(diǎn)，將影響系統(tǒng)響應(yīng)的全體變量集合分為Xl和Xh兩個(gè)子集。其中：Xl通過(guò)影響中間層節(jié)點(diǎn)響應(yīng)f(Xl)，間接作用于頂層節(jié)點(diǎn)；Xh是頂層節(jié)點(diǎn)的直接輸入。

2)構(gòu)建中間層節(jié)點(diǎn)Z，即根據(jù)結(jié)構(gòu)層次、運(yùn)動(dòng)傳遞等物理關(guān)系，確定影響系統(tǒng)性能的若干零部件響應(yīng)，作為中間層節(jié)點(diǎn)Z；再通過(guò)Z中元素的輸入樣本Xl及其輸出響應(yīng)f(Xl)，分別擬合各自的響應(yīng)面模型，作為頂層節(jié)點(diǎn)的間接輸入。

3)構(gòu)建頂層節(jié)點(diǎn)G，即對(duì)若干中間層節(jié)點(diǎn)協(xié)同抽樣，求得Z的參數(shù)特征；將其與基本變量Xh重新整合，構(gòu)建系統(tǒng)極限狀態(tài)的響應(yīng)面。

1.2　系統(tǒng)HRSM的數(shù)學(xué)模型

基于1.1節(jié)的系統(tǒng)層次模型，對(duì)極限狀態(tài)函數(shù)為復(fù)合函數(shù)F(Xh,f(Xl))的可靠性問(wèn)題，按照HRSM思想建立其分層響應(yīng)面模型如圖2所示。

具體建模流程如下：

1)根據(jù)系統(tǒng)失效的具體定義分析其影響因素，確定底層節(jié)點(diǎn)的兩類(lèi)基本變量：直接輸入系統(tǒng)失效函數(shù)的Xh；間接輸入系統(tǒng)失效函數(shù)的Xl. 其中：部分Xl變量可能是數(shù)個(gè)子模型的公共輸入，可視為系統(tǒng)的直接耦合因素；各子模型的局部變量往往也存在深層相關(guān)性，是系統(tǒng)的間接耦合因素，雖然不能直觀顯示，但經(jīng)協(xié)同抽樣并進(jìn)行實(shí)驗(yàn)仿真后，局部變量彼此的影響會(huì)反映到最終輸出。

2)根據(jù)基本變量Xl與零部件響應(yīng)的物理關(guān)系，構(gòu)建中間層節(jié)點(diǎn)Z的響應(yīng)模型：

Zi=fi(Xli),i=1,2,…,n，

(2)

(3)

式中：Xli=「x1i,x2i,…,xTi?包含T個(gè)變量；a0i、bti和cti是(2T+1)個(gè)待定系數(shù)。

(4)

式中：hX為樣本點(diǎn)系數(shù)。

(5)

(6)

式中：a、bi、cj、di和ej為(2m+2n+1)個(gè)待定系數(shù)。

(7)

(8)

式中：ε為極小非負(fù)實(shí)數(shù)。

1.3　基于HRSM的可靠性分析

(9)

式中：U為隨機(jī)變量轉(zhuǎn)化到標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)空間的值。

(10)

‖U(k+1)-U(k)‖/‖U(k)‖≤ε1,
G(U(k+1),Y(k+1))≤ε2,

(11)

式中：ε1和ε2為極小非負(fù)實(shí)數(shù)；k為迭代數(shù)。

綜上，基于HRSM的可靠性分析流程如圖3所示。

由圖3可知，相比傳統(tǒng)的RSM等單一系統(tǒng)模型，HRSM有以下優(yōu)點(diǎn)：

1)在中間層建模前，基于層間物理關(guān)系劃分的多個(gè)節(jié)點(diǎn)，更容易客觀地考慮各影響因素對(duì)系統(tǒng)失效的作用過(guò)程，提高精度。

2)在中間層建模時(shí)，不同節(jié)點(diǎn)間可實(shí)現(xiàn)并行計(jì)算，并利用已知解析式，避免擬合浪費(fèi)。

3)在頂層建模時(shí)，極限狀態(tài)函數(shù)所含變量數(shù)目銳減，從而減少了計(jì)算量和擬合時(shí)間，使不可能求解的問(wèn)題變成了可能。

4)最終進(jìn)行可靠性分析時(shí)，頂層響應(yīng)面相對(duì)簡(jiǎn)單，進(jìn)一步提高了計(jì)算效率。

需要說(shuō)明的是，HRSM模型不局限于3層，其劃分原則是：當(dāng)系統(tǒng)層間信息對(duì)精度的提高作用超過(guò)擬合分層響應(yīng)的誤差時(shí)，可以進(jìn)行3層及更多層模型的構(gòu)建。

2　數(shù)值算例

為比較本文HRSM與傳統(tǒng)二次多項(xiàng)式RSM在精度和效率方面的差別，假設(shè)已知某系統(tǒng)的極限狀態(tài)函數(shù)及其中間層兩節(jié)點(diǎn)的響應(yīng)解析式如下：

(12)

式中：z1和z2為影響系統(tǒng)性能的中間層節(jié)點(diǎn)；x1～x8為相互獨(dú)立且服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，其均值和標(biāo)準(zhǔn)差如表1所示。

由于傳統(tǒng)RSM直接對(duì)全體變量和頂層響應(yīng)建模的固有特點(diǎn)，無(wú)法結(jié)合中間層節(jié)點(diǎn)z1和z2的響應(yīng)關(guān)系，只能基于8個(gè)底層變量擬合系統(tǒng)響應(yīng)面：

表1　算例參數(shù)特征Tab.1　Parameter characteristics of the case

(13)

而HRSM先基于x3～x5、x6～x8構(gòu)建中間層節(jié)點(diǎn)z1和z2的響應(yīng)模型(忽略≤10-3的系數(shù)項(xiàng))：

(14)

選取多種分布擬合z1和z2，對(duì)比最接近樣本響應(yīng)的幾種擬合結(jié)果，如表2所示。

表2　各分布的似然函數(shù)Tab.2　Logarithmic likelihood function of fittings

從表2可知，廣義極值分布的似然函數(shù)值最大，擬合效果最優(yōu)，得到z1～GEV(0.046,1.516,5.105),z2～GEV(0.158,2.937,7.018)，然后由x1、x2、z1和z2共4個(gè)變量擬合頂層響應(yīng)面如下：

(15)

最后，采用MCS對(duì)解析式、RSM模型及HRSM模型進(jìn)行106抽樣，三者的可靠性分析結(jié)果如表3所示。

以解析式的失效概率為基準(zhǔn)值，由表3可知，與傳統(tǒng)RSM相比，HRSM降低了樣本量和循環(huán)次數(shù)，提高了失效概率的計(jì)算精度。

從可靠指標(biāo)的迭代過(guò)程來(lái)看，RSM從第2次迭代開(kāi)始就進(jìn)入錯(cuò)誤的搜索方向，由于判斷響應(yīng)面收斂條件是驗(yàn)算點(diǎn)間的距離，傳統(tǒng)RSM所含的變量過(guò)

表3　可靠性分析結(jié)果對(duì)比Tab.3　Comparison of reliability analyses

多，即使兩次驗(yàn)算點(diǎn)有較大改變，迭代距離的變化卻可能很小，導(dǎo)致始終未能跳出局部最優(yōu)點(diǎn)的范圍，收斂結(jié)果背離真實(shí)失效點(diǎn)，因此誤差較大，遠(yuǎn)遠(yuǎn)超過(guò)HRSM累積傳遞的部分。

3　雙軸驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)精度可靠性分析

3.1　雙軸驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)誤差層次模型

下面以某雙軸驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)(見(jiàn)圖4)為研究對(duì)象[18-20]，驗(yàn)證HRSM在實(shí)際工程中的有效性。

圖4中：O0、O1和O2為3個(gè)坐標(biāo)系，0、1和2分別為縱軸、橫軸及反射面編號(hào)；轉(zhuǎn)角θ0,θ1∈[-70°,70°]；連接支架L0=L1=165 mm；執(zhí)行末端指向精度以偏角δ衡量，根據(jù)靜態(tài)跟蹤模式要求，其極限值δl=0.062°. 兩軸含有一致的諧波減速器及軸系、軸承組件，按物理層次關(guān)系分析可知，加工、裝配產(chǎn)生底層誤差，如表4所示。

表4中各變量相互獨(dú)立，除軸向游隙為區(qū)間變量外，其余誤差為正態(tài)變量。這些誤差累積到兩軸關(guān)節(jié)，導(dǎo)致徑向間隙Er0和Er1、軸向間隙Ea0和Ea1以及轉(zhuǎn)角間隙Et0和Et1[19].

表4　主要誤差源Tab.4　Main sources of error

由圖4的幾何關(guān)系可知，關(guān)節(jié)間隙傳遞到執(zhí)行末端會(huì)導(dǎo)致3種位置誤差dx2、dy2、dz2和3種姿態(tài)誤差φx2、φy2、φz2，其中指向偏角δ與其同向的dx2和φx2無(wú)關(guān)，經(jīng)坐標(biāo)變換求得其余4種位姿誤差如下：

(16)

由(16)式可得，指向偏角δ的影響因素包括5個(gè)關(guān)節(jié)間隙Er0、Ea0、Et0、Ea1、Et1及橫軸轉(zhuǎn)角θ1，從而構(gòu)建該機(jī)構(gòu)誤差傳遞的層次模型如圖5所示。

由圖5可知，雙軸驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)精度極限狀態(tài)函數(shù)具有復(fù)合函數(shù)形式：

G=δl-δ=F(Xh,f(Xl)),

(17)

式中：Xh僅包含唯一變量θ1；f(Xl)包括5個(gè)關(guān)節(jié)間隙代表的中間節(jié)點(diǎn)Er0、Ea0、Et0、Ea1和Et1，均為底層誤差的響應(yīng)函數(shù)。根據(jù)極限狀態(tài)函數(shù)的定義，當(dāng)G>0時(shí)，末端指向精度能滿(mǎn)足要求，機(jī)構(gòu)跟蹤狀態(tài)可靠，反之失效。

3.2　關(guān)節(jié)間隙的子模型

基于HRSM，首先將運(yùn)動(dòng)精度可靠性總模型分解為5個(gè)關(guān)節(jié)間隙的子模型，由底層誤差向關(guān)節(jié)處傳遞的結(jié)果可知：

1)徑向間隙Er0的影響因素為輸出軸及軸承的徑向誤差；軸向間隙Ea0和Ea1的影響因素為軸承的軸向游隙。三者存在線(xiàn)性解析式：

(18)

2)轉(zhuǎn)角間隙Et0和Et1源自諧波齒輪傳動(dòng)裝置產(chǎn)生的三類(lèi)誤差：

Eti=f(FAi,FBi,FCi)，i=0,1,

(19)

式中：FAi為周節(jié)累積誤差，包括Ai1和Ai2；FBi為切向合誤差，包括Bi1和Bi2；FCi為徑向合誤差，包括Ci1～Ci5.

由于多齒嚙合關(guān)系復(fù)雜，Eti不存在解析形式，為求其響應(yīng)函數(shù)，根據(jù)機(jī)構(gòu)的幾何尺寸及運(yùn)動(dòng)關(guān)系，在ADAMS中建立虛擬樣機(jī)模型[21]如圖6所示。

通過(guò)影響Eti的8類(lèi)底層誤差的參數(shù)特征及Bucher設(shè)計(jì)方法生成樣本，導(dǎo)入虛擬樣機(jī)進(jìn)行運(yùn)動(dòng)仿真并擬合(忽略≤10-5的系數(shù)項(xiàng))：

(20)

至此，所有中間層節(jié)點(diǎn)子模型的響應(yīng)函數(shù)均構(gòu)建完畢，下一步可進(jìn)行頂層響應(yīng)面的建模分析。

3.3　運(yùn)動(dòng)精度可靠性總模型

基于3.2節(jié)中的5個(gè)關(guān)節(jié)間隙函數(shù)模型，輸出各自的響應(yīng)分布特征及區(qū)間范圍，其中：

1)Er0為獨(dú)立正態(tài)變量之和，直接求得Er0～N(0,23.725 3)。

2)Ea0和Ea1為區(qū)間變量之和，采用區(qū)間優(yōu)化算法求得Ea0∈[-82,82],Ea1∈[-72,72]。

3)Et0和Et1為二次響應(yīng)面函數(shù)，通過(guò)MCS進(jìn)行106次協(xié)同抽樣，以正態(tài)、邏輯斯蒂及廣義極值分布分別擬合后，結(jié)果如圖7和表5所示。

對(duì)數(shù)似然函數(shù)分布類(lèi)型正態(tài)廣義極值邏輯斯蒂Et0-457542-457897-458412Et1-442319-443442-443261

將3種擬合曲線(xiàn)進(jìn)行對(duì)比，最貼近頻率直方圖的曲線(xiàn)及對(duì)數(shù)似然函數(shù)最大值均為正態(tài)分布，擬合得到Et0～N(0°,0.006 5°),Et1～N(0°,0.005 6°)。綜上所述，在運(yùn)動(dòng)精度極限狀態(tài)函數(shù)F(θ1,Er0,Ea0,Ea1，Et0，Et1)中各變量的參數(shù)特征如表6所示。

表6　中間節(jié)點(diǎn)參數(shù)特征Tab.6　Parameter characteristics of intermediate node

(21)

(22)

由上述分析結(jié)果可知，當(dāng)兩軸軸向間隙達(dá)到邊界時(shí)，定位失效的最危險(xiǎn)點(diǎn)位于橫軸轉(zhuǎn)角-0.126 rad，約-7.2°. 綜合考慮定位指標(biāo)及可靠性，取指向偏角極限δl為0.062°，此時(shí)最小可靠度為0.998 7，基本滿(mǎn)足雙軸驅(qū)動(dòng)機(jī)構(gòu)的設(shè)計(jì)要求。

3.4　HRSM有效性驗(yàn)證

為驗(yàn)證HRSM的有效性，考慮變量樣本系數(shù)hx對(duì)上述運(yùn)動(dòng)精度可靠性分析的影響，計(jì)算結(jié)果如表7所示。

表7　變量樣本系數(shù)的影響Tab.7　Effect of variable sample coefficient

注：N1為響應(yīng)面的更新次數(shù)；N2為區(qū)間優(yōu)化次數(shù)。

進(jìn)一步地，采用MCS對(duì)傳統(tǒng)RSM模型、HRSM模型及ADAMS仿真模型進(jìn)行運(yùn)動(dòng)精度可靠性分析，在不同抽樣次數(shù)下，3種方法的總耗時(shí)及失效概率如表8所示。

表8　3種方法結(jié)果對(duì)比Tab.8　Comparison of three methods

注：t為擬合求解的總時(shí)間。

從表8的失效概率值可以看出：HRSM的計(jì)算精度幾乎與仿真模型一致，優(yōu)于RSM；此外，HRSM耗時(shí)約為RSM的10%，遠(yuǎn)低于仿真模型；隨著抽樣次數(shù)的增加，其效率優(yōu)勢(shì)更加明顯；特別地，當(dāng)仿真次數(shù)為106時(shí)，HRSM能解決RSM難以收斂的問(wèn)題。綜上所述可知，相比傳統(tǒng)RSM及仿真模型，HRSM能在較高精度的前提下節(jié)省求解成本。

4　結(jié)論

1)基于響應(yīng)存在解析式的數(shù)值案例，通過(guò)HRSM與RSM模型的對(duì)比結(jié)果表明：HRSM縮減了傳統(tǒng)RSM單一模型的變量總數(shù)和擬合難度，提高了求解精度，有效利用了已知的零部件響應(yīng)Zk,避免了計(jì)算浪費(fèi)。

3)將HRSM的分析結(jié)果與RSM及ADAMS仿真模型進(jìn)行對(duì)比，結(jié)果顯示：hX在一定范圍對(duì)HRSM分析結(jié)果不敏感；此外，隨著抽樣次數(shù)的增加，HRSM在精度及效率方面的優(yōu)勢(shì)更加突出。

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