一種非線性梁系統(tǒng)動載荷識別算法

宋雪剛　白瑜芳　程竹明　顧欣　盧李　梁大開

摘要：載荷識別是結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的重要組成部分，而非線性梁系統(tǒng)在工程應(yīng)用中扮演重要角色，為了在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的同時方便利用最優(yōu)化算法對非線性梁系統(tǒng)進(jìn)行有效控制，提出了基于容積卡爾曼濾波器（Cubature Kalman filter，簡記為CKF）的載荷識別算法。此算法在卡爾曼濾波器的體系下，通過CKF產(chǎn)生的增益矩陣、新息序列、一步估計(jì)值和協(xié)方差矩陣，利用最小二乘算法在線估計(jì)載荷的大小和位置，附錄給出了算法的詳細(xì)推導(dǎo)過程。為了驗(yàn)證算法的有效性，采用受高斯白噪聲影響的大變形梁系統(tǒng)作為仿真對象，根據(jù)系統(tǒng)響應(yīng)依次識別不同噪聲影響下的正弦、方波和鋸齒波載荷。實(shí)驗(yàn)方面，采用受非線性彈簧約束的Bernoulli-Euler梁作為對象，利用光纖光柵傳感器測得的應(yīng)變值識別載荷。結(jié)果表明提出的動載荷識別算法能夠很好地抑制噪聲，并且具有良好的穩(wěn)定性。

關(guān)鍵詞：載荷識別；非線性梁系統(tǒng)；容積卡爾曼濾波器；最小二乘算法

中圖分類號：TB123；0327 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1004-4523（2018）01-0082-09

DOI：10.16385/j.cnki.issn.1004-4523.2018.01.010

引言

在結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)和健康監(jiān)測中，識別載荷可以確保結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)安全，實(shí)時監(jiān)測結(jié)構(gòu)的健康狀態(tài)，為設(shè)備提供可靠保障。載荷識別的方法分為直接測量法和間接識別法兩種，前者即通過傳感器直接測量載荷本身或者與載荷相關(guān)的參數(shù)進(jìn)而確定載荷的大小，后者為根據(jù)傳感器測得的系統(tǒng)響應(yīng)對載荷進(jìn)行反演。在大多數(shù)實(shí)際工程應(yīng)用中，載荷無法通過直接測量獲得，如火箭飛行狀態(tài)中所受的推力、爆炸沖擊的載荷、飛機(jī)飛行狀態(tài)中機(jī)翼所受的氣動載荷等。此時必須采用間接方法對動載荷進(jìn)行識別，即載荷識別技術(shù)?？傮w來講，載荷識別技術(shù)主要分為頻域法和時域法，頻域法是最先采用的載荷識別算法，但是局限于線性系統(tǒng)。時域法由于實(shí)時性和適用于處理非線性系統(tǒng)，是如今研究的重點(diǎn)。

載荷識別在對結(jié)構(gòu)健康進(jìn)行評估之后往往需要對結(jié)構(gòu)進(jìn)行控制，而廣泛應(yīng)用的最優(yōu)化算法建立在卡爾曼濾波器的基礎(chǔ)之上，因此在卡爾曼濾波體系下完成載荷識別可以與最優(yōu)化控制有效結(jié)合起來。Ma提出基于卡爾曼濾波器和遞歸最小二乘法的線性系統(tǒng)載荷識別算法，該方法利用卡爾曼濾波器來抑制噪聲，并將卡爾曼濾波器的增益矩陣、新息序列、協(xié)方差矩陣和最小二乘算法結(jié)合起來在線估計(jì)載荷。在Ma的基礎(chǔ)上，Lin利用擴(kuò)展卡爾曼濾波器（Extended Kalman Filter，簡記為EKF）將非線性系統(tǒng)簡化為線性系統(tǒng)，進(jìn)而用線性化方法來解決非線性載荷識別問題。Ma和Lin的算法在載荷識別部分都是基于線性系統(tǒng)，解決的是線性問題。將非線性問題當(dāng)做線性問題處理具有精度不高、穩(wěn)定性差、反應(yīng)遲緩等缺點(diǎn)，并且用EKF將非線性間題轉(zhuǎn)化為線性問題在處理強(qiáng)非線性問題時可能導(dǎo)致濾波發(fā)散，同時在線計(jì)算雅克比矩陣也帶來不少困難。Ma和Lin的算法尚處于理論研究階段，尚未應(yīng)用到工程結(jié)構(gòu)當(dāng)中，為了解決工程應(yīng)用中非線性梁系統(tǒng)的載荷識別問題，本文提出了基于cKF的載荷識別算法。CKF不需計(jì)算雅克比矩陣，具備優(yōu)異的非線性逼近性能、數(shù)值精度、濾波穩(wěn)定性，是如今非線性卡爾曼濾波器的主流。本文的重點(diǎn)是在CKF基礎(chǔ)上提出了一種非線性在線估計(jì)算法，與Ma和Lin提出的線性估計(jì)算法具有本質(zhì)區(qū)別。具體推導(dǎo)過程在附錄A中詳細(xì)給出。

算法首先應(yīng)用4階龍格庫塔法（Runge Kutta4，簡記為RK4）將非線性系統(tǒng)離散化，進(jìn)而利用CKF對非線性離散化系統(tǒng)進(jìn)行濾波，之后基于最小二乘法對CKF濾波結(jié)果進(jìn)行處理從而得到載荷。為了驗(yàn)證算法的有效性，采用受高斯白噪聲影響的大變形梁系統(tǒng)作為仿真對象，通過不同噪聲影響下的觀測值，分別識別了正弦載荷、方波載荷和鋸齒波載荷。實(shí)驗(yàn)方面，采用受非線性彈簧約束的Bernoulli-Euler梁作為對象，利用光纖光柵傳感器測得的應(yīng)變值識別載荷。結(jié)果表明：提出的動載荷識別算法能夠很好地抑制噪聲，并且具有良好的穩(wěn)定性。

1基于容積卡爾曼濾波器的載荷識別算法

此算法針對離散化的非線性梁系統(tǒng)，利用響應(yīng)值識別載荷的大小和位置。大變形梁系統(tǒng)的剛度矩陣實(shí)時變化，非線性彈簧約束的Bernoulli-Euler梁也可認(rèn)為是剛度矩陣實(shí)時變化的梁系統(tǒng)。實(shí)時變化的剛度矩陣由節(jié)點(diǎn)位移和轉(zhuǎn)角決定，因此在識別過程中，每個節(jié)點(diǎn)的位移和轉(zhuǎn)角需要實(shí)時獲取。根據(jù)測試?yán)碚?，傳感器的?shù)目不少于未知量的數(shù)目，因此在此文章中使用的傳感器數(shù)目等于振動方程自由度的數(shù)目?；贑KF的動載荷識別算法包括三部分，總結(jié)為如下步驟：

（1）用RK4將系統(tǒng)狀態(tài)空間模型離散化。

（2）利用CKF進(jìn)行濾波，得到增益矩陣、新息序列、一步估計(jì)值、協(xié)方差矩陣。

（3）基于最小二乘算法估計(jì)載荷大小。

1.1非線性系統(tǒng)的離散化

由于CKF處理的是離散化非線性系統(tǒng)，而RK4在離散化方法中因具有足夠高的精度得到廣泛認(rèn)可，因此本文采用RK4將非線性連續(xù)系統(tǒng)離散化。對于非線性模型，其狀態(tài)方程和觀測方程如下所示

應(yīng)用RK4將公式（1）離散化，離散化步驟如下：

1.2容積卡爾曼濾波算法

針對離散化系統(tǒng)模型（5），應(yīng)用CKF進(jìn)行濾波。CKF采用一組等權(quán)值的容積點(diǎn)集解決貝葉斯濾波的積分問題，相對于擴(kuò)展卡爾曼濾波、無跡卡爾曼濾波等非線性濾波算法，CKF算法具備更優(yōu)的非線性逼近性能、數(shù)值精度以及濾波穩(wěn)定性。

CKF濾波器流程如下所示：

初始化

1.3基于CKF濾波結(jié)果和最小二乘法的載荷識別算法

2數(shù)值模擬和結(jié)果討論

以大變形梁作為模擬仿真對象，分別依次對系統(tǒng)施加正弦載荷、方波載荷和鋸齒波載荷，通過RK4求得系統(tǒng)的非線性響應(yīng)（節(jié)點(diǎn)位移和轉(zhuǎn)角），將求得的響應(yīng)值加上高斯白噪聲作為系統(tǒng)的觀測值，從而運(yùn)用基于CKF的載荷識別算法估計(jì)載荷的大小。此過程中離散高斯白噪聲特性通過設(shè)置不同的σ和Q_w值表示。

為了更好地描述載荷識別的效果和量化載荷識別的誤差，本文將識別載荷與實(shí)際載荷差值的平方和與實(shí)際載荷的平方和的比值的平方根作為量化指標(biāo)，將其定義為誤差評估水平（NRMSE）。其公式如下所示

2.1大變形梁系統(tǒng)振動仿真

以大變形梁作為仿真對象，首先建立非線性離散化振動模型。假設(shè)梁被離散化為n個單元，單個單元如圖1所示，每個單元具有3個自由度，即總共3n個自由度。識別載荷的大小和位置，由于剛度矩陣由節(jié)點(diǎn)狀態(tài)決定，因此傳感器數(shù)目為3n。

其離散化系統(tǒng)非線性振動方程組為

（31）式中M為（3n×3n）質(zhì)量矩陣，c為（3n×3n）阻尼矩陣，K為（3n×3n）剛度矩陣，X為（3n×1）節(jié)點(diǎn)位移和轉(zhuǎn)角矩陣，F(xiàn)為（3n×1）的載荷矩陣。

建立狀態(tài)方程和觀測方程：

（32）

（33）式中觀測矩陣H由實(shí)際選用的傳感器類型決定。此仿真中觀測值選用節(jié)點(diǎn)位移和轉(zhuǎn)角，傳感器也可以換為同等數(shù)量的速度傳感器或者加速度傳感器，實(shí)際工程中可以貼應(yīng)變片或者光纖傳感器測得觀測值。

在此考慮5個單元的大變形懸臂梁，其梁參數(shù)如下：彈性模量E=7.2×10¹⁰N/m²，密度ρ=2.7×10³kg/m³，梁長度l=1m，橫截面S=0.1m×0.01m。將采樣頻率依次設(shè)為100和500Hz，模擬時間設(shè)為1s。依次識別正弦載荷、方波載荷和鋸齒波載荷。在此給出了兩種算法的載荷識別結(jié)果。初始值設(shè)置：x_0/0=zeros（30，1），Ms（0）=eyes（30，30），P_b（0）=eyes（30，30）。

（1）圖2，3是系統(tǒng)識別正弦載荷的結(jié)果。圖2是系統(tǒng)在噪聲系數(shù)σ=1×10^-4，Q_w=1×10^-8，采樣頻率100Hz下的識別結(jié)果。圖3是系統(tǒng)在噪聲系數(shù)σ=1×10^-4，Q_w=1×10^-8，采樣頻率500Hz下的識別結(jié)果。表1是以上兩種條件下識別正弦載荷的平均誤差和NRMSE。

（2）圖4，5是系統(tǒng)識別方波載荷的結(jié)果。圖4是系統(tǒng)在噪聲系數(shù)σ=1×10^-4，Q_w=1×10^-8，采樣頻率100Hz下的方波載荷識別結(jié)果。圖5是系統(tǒng)在噪聲系數(shù)σ=1×10^-4，Q_w=1×10^-8，采樣頻率500Hz下的方波載荷識別結(jié)果。表2是以上兩種情況下識別方波載荷的平均誤差和NRMSE。

（3）圖6，7是系統(tǒng)識別鋸齒載荷的結(jié)果。圖6是系統(tǒng)在噪聲系數(shù)σ=1×10^-4，Q_w=1×10^-8，采樣頻率100Hz下的鋸齒載荷識別結(jié)果。圖7是系統(tǒng)在噪聲系數(shù)σ=1×10^-4，Q_w=1×10^-8，采樣頻率500Hz的鋸齒載荷識別結(jié)果。表3是以上兩種情況下識別鋸齒載荷的平均誤差和NRMSE。

2.2仿真結(jié)果討論

（1）基于CKF的動載荷識別算法屬于時域范疇，它只需前一時刻的估計(jì)值和當(dāng)前時刻的觀測值即可在線估計(jì)當(dāng)前時刻的載荷，在此過程中無需大量的存儲和讀取數(shù)據(jù)，極大地降低了系統(tǒng)對計(jì)算機(jī)存儲能力的要求。算法基于卡爾曼濾波器的特性可以確保在結(jié)構(gòu)健康監(jiān)測的同時，利用最優(yōu)化算法對系統(tǒng)進(jìn)行在線控制，達(dá)到工程對系統(tǒng)監(jiān)測與控制的要求。

（2）模擬仿真結(jié)果顯示載荷識別結(jié)果與實(shí)際施加載荷相比存在一定時間的延遲，通過平移圖2～7中的理論值或者識別值，發(fā)現(xiàn)載荷識別結(jié)果存在2～3個采樣間隔的延遲，這是由卡爾曼濾波器的延遲性能造成的，通過提高采樣頻率可以相應(yīng)降低延遲時間。在不考慮系統(tǒng)延遲的情況下正弦載荷的識別效果強(qiáng)于鋸齒載荷，鋸齒載荷的識別效果強(qiáng)于方波載荷，即：平緩載荷的識別效果優(yōu)于突變載荷的效果。這是因?yàn)樵谳d荷突變的情況下，對系統(tǒng)的魯棒性和實(shí)時性要求更高，因此造成一定的誤差。

（3）本文提出的基于CKF的載荷在線估計(jì)算法具有優(yōu)良的性能，在大變形梁系統(tǒng)的模擬仿真中，噪聲特性（σ=1×10^-4，Q_w=1×10^-8）下，估計(jì)載荷的平均誤差和NRMSE較小。通過對比100和500Hz采樣頻率下的識別結(jié)果可以看出：提高采樣頻率可以大幅度的改善識別效果，降低識別誤差。

（4）本文提出的基于CKF的載荷在線估計(jì)算法本質(zhì)是應(yīng)用卡爾曼濾波器的思想來解決工程中的載荷識別問題，由于卡爾曼濾波器要求識別結(jié)果存在連續(xù)性，因此此算法無法識別隨機(jī)載荷，只限于識別連續(xù)性載荷。沖擊載荷作用時間極短，系統(tǒng)動力學(xué)模型難于準(zhǔn)確建立，且本文提出的算法復(fù)雜度較高，因此不適合識別沖擊載荷。本文以高斯白噪聲為噪聲處理對象，在工程應(yīng)用中可能伴隨其他類型的噪聲，對其他類型的噪聲，國內(nèi)外已有多種處理方法，可以通過將其轉(zhuǎn)化為高斯白噪聲之間的相互組合或者應(yīng)用改進(jìn)版的卡爾曼濾波器來解決這個間題。卡爾曼濾波器原理導(dǎo)致2～3個采樣間隔的系統(tǒng)延遲，為了抑制延遲特性可以采用實(shí)時調(diào)節(jié)參數(shù)γ的自適應(yīng)卡爾曼濾波器或者迭代卡爾曼濾波器，但是上述方法在降低系統(tǒng)延遲的同時會造成系統(tǒng)抑制誤差能力下降的缺陷。針對識別結(jié)果中初值誤差較大的問題，可以通過調(diào)節(jié)系統(tǒng)初始化參數(shù)來進(jìn)行優(yōu)化。非線性梁系統(tǒng)的載荷識別研究中，由于剛度矩陣根據(jù)節(jié)點(diǎn)狀態(tài)實(shí)時變化，因此需要安裝較多的傳感器，可以通過粘貼分布式光纖來監(jiān)測變形和識別載荷，傳感器也可以換為同等數(shù)量的速度傳感器、加速度傳感器或者其他類型傳感器。文章提出的算法具有較好的穩(wěn)定性和收斂性能，過程中無累積誤差，對開始載荷是靜態(tài)還是非靜態(tài)并無要求。

3實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證

以末端受非線性彈簧約束的懸臂梁作為實(shí)驗(yàn)對象，實(shí)驗(yàn)梁參數(shù)如表4所示，將梁離散化為3個單元，每個單元內(nèi)貼2個光纖光柵傳感器，共計(jì)將6個光纖光柵傳感器貼于梁表面，利用其測得的應(yīng)變值作為觀測值，對提出的理論進(jìn)行實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證。非線性彈簧在此選用變截面彈簧，固定在梁末端，隨著懸臂梁的變形而產(chǎn)生壓縮或拉伸，懸臂梁末端的位移即為彈簧變化量，在實(shí)驗(yàn)進(jìn)行前對此彈簧進(jìn)行力學(xué)性能測試，其力學(xué)性能如圖8所示。在梁末端安裝激振器，在激振器上安裝力傳感器，從而測得激振器對梁施加的載荷大小并以此作為理論值。

實(shí)驗(yàn)過程：信號發(fā)生器輸出正弦信號，正弦信號經(jīng)過功率放大器令激振器輸出正弦位移，F(xiàn)BG響應(yīng)值通過MOI解調(diào)儀解調(diào)，輸出信號傳輸?shù)缴衔粰C(jī)，通過載荷識別算法在線估計(jì)載荷。同時力傳感器信號經(jīng)過NI數(shù)據(jù)采集卡傳輸?shù)缴衔粰C(jī)并與載荷識別值進(jìn)行對比。在此過程中采樣頻率設(shè)為100Hz。實(shí)驗(yàn)裝配圖如圖9所示，載荷識別結(jié)果如圖10所示。

由于激振器施加的是正弦位移，若是線性系統(tǒng)則載荷應(yīng)為正弦信號，非線性彈簧使載荷呈現(xiàn)非正弦變化的現(xiàn)象。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，識別的載荷在幅值上具有微小的誤差，識別結(jié)果基本能反映真實(shí)載荷。在載荷的反復(fù)加載中，總體未出現(xiàn)發(fā)散趨勢。在此實(shí)驗(yàn)中造成誤差的原因較多，如梁模型的有限元離散化受自由度數(shù)目限制，實(shí)驗(yàn)儀器存在不穩(wěn)定及固有誤差。

4結(jié)論

本文針對非線性梁系統(tǒng)的載荷識別，提出了一種基于CKF的載荷識別算法，此算法只需前一時刻的估計(jì)值和當(dāng)前時刻的觀測值即可估計(jì)當(dāng)前時刻的載荷。算法建立在卡爾曼濾波器的體系下，利用其抑制高斯白噪聲的優(yōu)勢來估計(jì)載荷，在載荷識別的過程中，能夠同時很好地對結(jié)構(gòu)狀態(tài)進(jìn)行估計(jì)，因此可以有效地與系統(tǒng)最優(yōu)化控制結(jié)合起來，滿足在健康監(jiān)測的同時對系統(tǒng)進(jìn)行控制的要求。仿真數(shù)據(jù)表明：該算法識別精度高，抗干擾性能好。實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明算法在工程中可以有效使用，識別結(jié)果基本能反映真實(shí)載荷。