基于IGOWFPA算子的組合預(yù)測(cè)模型

劉　攀，馮長(zhǎng)煥

(西華師范大學(xué) 數(shù)學(xué)與信息學(xué)院，四川 南充　637009)

0　引　言

由于社會(huì)經(jīng)濟(jì)現(xiàn)象的復(fù)雜性，單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法難以全面地反映經(jīng)濟(jì)指標(biāo)的所有信息。1969年，Bates將兩種單項(xiàng)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果加權(quán)組合，首次提出了組合預(yù)測(cè)模型[1]，其結(jié)果的均方誤差比單項(xiàng)方法的均方誤差更小。組合預(yù)測(cè)的實(shí)質(zhì)是對(duì)多個(gè)單項(xiàng)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果進(jìn)行加權(quán)組合，學(xué)術(shù)界把這種組合的方式(或集成的形式)稱為“集成算子”。早期的集成算子主要有加權(quán)算數(shù)平均(WAA)算子、加權(quán)幾何平均(WGA)算子和加權(quán)調(diào)和平均(WHA)算子等[2-4]。

基于早期集成算子的組合預(yù)測(cè)模型都是對(duì)各單項(xiàng)方法的預(yù)測(cè)結(jié)果賦予不同的權(quán)重，同一單項(xiàng)方法在各個(gè)時(shí)刻的權(quán)重相同。但單項(xiàng)方法可能在某一個(gè)或幾個(gè)時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度較高，而在另外一些時(shí)刻的精度較低，則其組合預(yù)測(cè)模型的精度也可能較低。文獻(xiàn)[2,5]考慮使用變權(quán)的方法將各個(gè)單項(xiàng)方法組合，提出了有序加權(quán)平均(OWA)算子和誘導(dǎo)有序加權(quán)平均(IOWA)算子。文獻(xiàn)[3-4,6-7]在文獻(xiàn)[2,5]的基礎(chǔ)上進(jìn)行了推廣，提出了有序加權(quán)幾何平均(OWGA)算子、有序加權(quán)調(diào)和平均(OWHA)算子以及誘導(dǎo)有序加權(quán)幾何平均(IOWGA)算子和誘導(dǎo)有序加權(quán)調(diào)和平均(IOWHA)算子。文獻(xiàn)[8-11]將集成算子與對(duì)數(shù)函數(shù)結(jié)合，提出了廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均(GOWLA)算子、廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)比例平均(GOWLPA)算子和誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)對(duì)數(shù)平均(IGOWLA)算子。文獻(xiàn)[12]將集成算子與指數(shù)函數(shù)結(jié)合，提出了廣義有序加權(quán)指數(shù)比例平均(GOWEPA)算子。

文獻(xiàn)[8-12]的研究表明：與對(duì)數(shù)函數(shù)(或指數(shù)函數(shù))結(jié)合可以有效提高集成算子組合模型的預(yù)測(cè)精度。筆者將文獻(xiàn)[8-12]中的 “對(duì)數(shù)函數(shù)”和“指數(shù)函數(shù)”推廣到一般函數(shù)。推理過(guò)程中發(fā)現(xiàn)：只要是在定義域上單調(diào)的函數(shù)，都可以與集成算子結(jié)合，并且基于結(jié)合后集成算子的組合預(yù)測(cè)精度比其單項(xiàng)方法的精度更高。本文將“一般的單調(diào)函數(shù)”與“加權(quán)比例平均算子”結(jié)合，提出加權(quán)函數(shù)比例平均(WFPA)系列算子，建立新的組合預(yù)測(cè)模型，并以5類常見(jiàn)的單調(diào)函數(shù)為例，進(jìn)行了實(shí)例檢驗(yàn)，效果較好。

1　WFPA系列算子的定義

(1)

(2)

若f′(a)≠0，f(a)≠0，則

(3)

要計(jì)算組合值a，需要f(x)存在反函數(shù)(即f(x)在定義域上單調(diào))，此時(shí)

(4)

因此單調(diào)函數(shù)可以與“加權(quán)比例平均算子”結(jié)合。我們定義加權(quán)函數(shù)比例平均(Weighted function proportional averaging)算子：

(5)

(6)

則稱F為加權(quán)函數(shù)比例平均算子，簡(jiǎn)記為WFPA算子。

根據(jù)文獻(xiàn)[2-12]提出的幾種“有序型”、“誘導(dǎo)型”、“廣義型”集成算子，本文給出類似定義。

定義2若

(7)

其中bi是a1,a2,…,am中第i大的數(shù)，則稱F為有序加權(quán)函數(shù)比例平均算子，簡(jiǎn)記為OWFPA算子。其他符號(hào)含義同上。

定義3設(shè)(〈v1,a1〉,〈v2,a2〉,…,〈vm,am〉)為m個(gè)二維數(shù)組，令

(8)

其中v-index(i)是v1,v2,…,vm中第i大的數(shù)的下標(biāo)，則稱F是由v1,v2,…,vm引導(dǎo)產(chǎn)生的誘導(dǎo)有序加權(quán)函數(shù)比例平均算子，簡(jiǎn)記為IOWFPA算子。其他符號(hào)含義同上。

定義4若

(9)

其中λ∈(-,0)∪(0,+)為參數(shù)，則稱F為廣義加權(quán)函數(shù)比例平均算子，簡(jiǎn)稱為GWFPA算子。其他符號(hào)含義同上。

定義5若

(10)

則稱F為廣義有序加權(quán)函數(shù)比例平均算子，簡(jiǎn)稱為GOWFPA算子。符號(hào)含義同上。

特別地，當(dāng)f(x)=x時(shí)，GOWFPA算子退化為GOWPA算子[11]；當(dāng)f(x)=lnx時(shí)，GOWFPA算子退化為GOWLPA算子[9]；當(dāng)f(x)=ex時(shí)，GOWFPA算子退化為GOWEPA算子[12]。

定義6若

(11)

則稱F是由v1,v2,…,vm引導(dǎo)產(chǎn)生的誘導(dǎo)廣義有序加權(quán)函數(shù)比例平均算子，簡(jiǎn)記為IGOWFPA算子。符號(hào)含義同上。

特別地，取λ=1，GWFPA算子退化為WFPA算子。而OWFPA算子和IOWFPA是WFPA算子的特殊形式，GOWFPA算子和IGOWFPA算子是GWFPA算子的特殊形式。下面只研究GWFPA算子的性質(zhì)，定義1—6中的其他算子也具有類似性質(zhì)。

2　GWFPA算子的性質(zhì)

(12)

(13)

(14)

λlnG(a1,a2,…,am)關(guān)于ai求導(dǎo)得：

(15)

若λ>0，式(15)≥0，所以λlnG(a1,a2,…,am)關(guān)于ai單調(diào)遞增，從而F(a1,a2,…,am)關(guān)于ai單調(diào)遞增；若λ<0，式(15)≤0，所以λlnG(a1,a2,…,am)關(guān)于ai單調(diào)遞減，從而lnG(a1,a2,…,am)關(guān)于ai遞增，F(xiàn)(a1,a2,…,am)關(guān)于ai單調(diào)遞增。

(16)

(17)

性質(zhì)3(冪等性)設(shè)F為GWFPA算子，若ai=a,i=1,2,…,m，則F(a1,a2,…,am)=a。

證明：若ai=a，則

(18)

性質(zhì)4(有界性)設(shè)F為GWFPA算子，則

(19)

證明：根據(jù)性質(zhì)1和性質(zhì)3，有

(20)

3　組合模型

一般而言，基于誘導(dǎo)廣義有序型集成算子的組合模型預(yù)測(cè)精度比基于其他算子(有序型、廣義型、誘導(dǎo)性)的精度更高[4-5,10-13]，因此本文只基于IGOWFPA算子建立新的組合預(yù)測(cè)模型。

設(shè)某個(gè)指標(biāo)序列的實(shí)際值為xt,t=1，2，…，n，存在m種單項(xiàng)方法對(duì)其進(jìn)行預(yù)測(cè)，xit為第i種方法在第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)值，vit為第i種方法在第t時(shí)刻的預(yù)測(cè)精度。

定義7令

(21)

(22)

整理得

(23)

為了使組合模型最優(yōu)，以IGOWFPA誤差平方和s最小為目標(biāo)函數(shù)，建立最優(yōu)化模型。其中

(24)

上式利用LINGO、MATLAB等軟件可以計(jì)算各單項(xiàng)方法的權(quán)重，再根據(jù)式(21)可以求得IGOWFPA預(yù)測(cè)值。

4　實(shí)例分析

為了說(shuō)明IGOWFPA算子的有效性，利用文獻(xiàn)[13]中的數(shù)據(jù)進(jìn)行驗(yàn)證，數(shù)據(jù)如表1所示。

表1　某指標(biāo)的實(shí)際值與各單項(xiàng)方法預(yù)測(cè)值[13]

因?yàn)楸疚亩x的IGOWFPA算子中的f(x)可以是任意在定義域上單調(diào)的函數(shù)，不失一般性且為了計(jì)算簡(jiǎn)便，分別取f(x)為一次函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)等5類中常見(jiàn)的單調(diào)函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證。本文分別取f(x)=2x+1，x2,2x/10000，log2x，arctanx，arcsin(x/10000)。由于文獻(xiàn)[8-13]中廣義型集成算子的參數(shù)λ的取值均為1、2和3，為了便于比較，本文λ的取值也取1、2和3。

對(duì)表1的數(shù)據(jù)建立基于IGOWFPA算子的組合預(yù)測(cè)模型。為了檢驗(yàn)?zāi)Ｐ偷暮脡?，本文選擇5種誤差指標(biāo)作為評(píng)價(jià)體系[4,10,13]：

具體結(jié)果如表2所示。

表2　單項(xiàng)預(yù)測(cè)方法和不同參數(shù)下IGOWFPA算子組合模型預(yù)測(cè)誤差比較

表2顯示，當(dāng)f(x)為單調(diào)的一次函數(shù)、冪函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和反三角函數(shù)等時(shí)，基于IGOWFPA算子的組合預(yù)測(cè)模型的各項(xiàng)誤差指標(biāo)均明顯小于單一模型的誤差指標(biāo)，并且在一定程度上比文獻(xiàn)[13]的各項(xiàng)誤差指標(biāo)更小。

5　結(jié)　語(yǔ)

本文將與“加權(quán)比例平均算子”結(jié)合的“指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)”推廣到一般的單調(diào)函數(shù)，提出了加權(quán)函數(shù)比例平均系列算子：WFPA算子、OWFPA算子、IOWFPA算子、GWFPA算子、GOWFPA算子和IGOWTA算子，研究了該系列算子的性質(zhì)，建立了基于IGOWTA算子的組合預(yù)測(cè)模型，并以5類常見(jiàn)單調(diào)函數(shù)為例驗(yàn)證了該模型的有效性。

組合預(yù)測(cè)和組合決策是相互聯(lián)系、相互發(fā)展的。文獻(xiàn)[2,8-9,11-12]等是將集成算子用于多屬性組合預(yù)策，本文提出WFPA系列算子也可以用于組合決策，相信也可以取得較好的效果。

從表2可以看出，不同參數(shù)下組合模型的預(yù)測(cè)效果不同。本文僅考慮了與文獻(xiàn)[8-13]中參數(shù)的相同取值，其他取值情況沒(méi)有考慮到。因此本文的λ可能不是最優(yōu)的，如何尋找最優(yōu)參數(shù)以及最優(yōu)模型仍是今后研究的方向。

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