高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)應(yīng)重視的三個(gè)問(wèn)題******

□潘云超　武瑞雪

（江蘇省睢寧高級(jí)中學(xué)北校，江蘇睢寧 221200）

高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)，主要是引導(dǎo)學(xué)生系統(tǒng)復(fù)習(xí)以前所學(xué)過(guò)的基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能、基本思想、基本方法，教會(huì)學(xué)生解決基本題型、自主復(fù)習(xí)、整理錯(cuò)題集，并合理利用“錯(cuò)解資源”提高學(xué)生的解題規(guī)范性，培養(yǎng)學(xué)生解題后反思的習(xí)慣等，即讓學(xué)生掌握基礎(chǔ)知識(shí)、基本的解題方法、復(fù)習(xí)的方法是高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)的重中之重.所以，高三數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)應(yīng)重視以下三個(gè)問(wèn)題.

一、重視回歸“教材”落實(shí)“基礎(chǔ)”

教材是落實(shí)基礎(chǔ)的最好資料，是學(xué)生獲得完整的系統(tǒng)的數(shù)學(xué)基本知識(shí)的源頭，而基礎(chǔ)知識(shí)、基本技能和基本思想方法是提高解題能力的“根”，所以必須重視回歸“教材”，落實(shí)“基礎(chǔ)”，讓學(xué)生“地毯式”地深讀教材，力爭(zhēng)每個(gè)定理都會(huì)證（新課標(biāo)中未要求的除外），要知其然且知其所以然；對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)的來(lái)龍去脈做到胸有成竹，對(duì)涉及的數(shù)學(xué)思想方法理解透徹，力爭(zhēng)不留知識(shí)或方法盲點(diǎn).為了提高學(xué)生的復(fù)習(xí)興趣，可將基礎(chǔ)知識(shí)“題目化”，且題目應(yīng)盡量源于教材并高于教材，千萬(wàn)不要去搞難、偏、怪題，如復(fù)習(xí)函數(shù)、映射概念時(shí)，可編制如下題目.

（1）區(qū)別函數(shù)概念與映射概念.

（2）練習(xí)1 觀察下列從集合A到B的對(duì)應(yīng)：

①A=｛1，4，9｝，B=｛1，3，2｝，對(duì)應(yīng)法則f：求算術(shù)平方根；

②A=｛1，4，9｝，B=｛2，3｝，對(duì)應(yīng)法則f：求算術(shù)平方根；

③A=｛1，4，9｝，B=｛-3，-2，-1，0，1，2，3｝，對(duì)應(yīng)法則f：求平方根；

④A=｛2，3，0，-2，-3｝，B=｛0，4，9，10｝，對(duì)應(yīng)法則f：求平方；

⑤A=｛1，3｝，B=｛2，4，6｝，對(duì)應(yīng)法則f：乘以2；

⑥A={平面a內(nèi)的三角形}，B={平面a內(nèi)的圓}，對(duì)應(yīng)法則f：作三角形的外接圓.

則其中是集合A到B的函數(shù)有____；是集合A到B的映射有____（.填序號(hào)）

（答案：①④⑤；①④⑤⑥）

練習(xí)2 設(shè)集合M={-1，0，1}，N={1，2，3，4，5}，映射 f:M→N滿足條件“對(duì)任意的x∈M，y=x+f(x)是奇數(shù)”，這樣的映射 f有____個(gè).

（答案：12）

練習(xí)3函數(shù)y=f(x)的圖象與直線x=3有__個(gè)交點(diǎn)；與直線y=3有__個(gè)交點(diǎn).

［答案：0或1；n（n∈N）］

答完上述各題，學(xué)生分別將函數(shù)、映射的概念及它們之間的區(qū)別與聯(lián)系復(fù)習(xí)了一遍，并給予及時(shí)應(yīng)用.

二、重視“就題論法”的解題教學(xué) 避免“就題論題”

案例1 設(shè) f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，且g(3)=0.則不等式 f(x)g(x)<0的解集是____.

解記 φ(x)=f(x)g(x)，

由已知y=φ(x)為定義在R上的奇函數(shù)，φ(0)=0，且當(dāng)x<0時(shí)，有?'(x)>0，所以 y=φ(x)在（-￥，0）和（0，+￥）上均單調(diào)遞增，且有 φ(-3)=φ（3）=0，畫 y=φ(x)的圖象草圖，如圖1，圖象上包括點(diǎn)（0，0），得不等式 f(x)g(x)<0的解集為(-∞,-3)?(0,3).

如果到此結(jié)束，而不進(jìn)行方法歸納總結(jié)，也不進(jìn)行變式拓展，這種純粹的“就題論題”式教學(xué)，會(huì)讓學(xué)生無(wú)法順利地將數(shù)學(xué)方法遷移，極易出現(xiàn)“教師一講就懂，自己一做就不會(huì)”的“懂而不會(huì)”現(xiàn)象.

【方法總結(jié)】此題涉及的是抽象函數(shù)問(wèn)題，既考查函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性，又考查導(dǎo)數(shù)、不等式的性質(zhì)等，可用“圖形法”解決，讓抽象的“數(shù)”的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為具體的“形”的問(wèn)題.

變式1（變換題目的結(jié)論）設(shè) f(x)，g(x)分別是定義在R上的奇函數(shù)和偶函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，f'(x)g(x)+f(x)g'(x)>0，且 g(3)=0.則不等式f(x)g(x)≥0的解集是___；f(x)g(x)>0的解集是____.

解 （解法同原題）得不等式 f(x)g(x)≥0的解集是[-3,0]?[3,+∞)；f(x)g(x)>0的解集是(-3,0)?(3,+∞).

變式2（變換題目的條件）設(shè) f(x)是定義在R上的奇函數(shù)，當(dāng)x<0時(shí)，xf'(x)-f(x)>0，且f(1)=0，則不等式 f(x)<0的解集是__；f(x)≥0的解集是___.

圖1　

圖2　

“就題論法”并進(jìn)行適當(dāng)“變式”的解題教學(xué)，利于加深學(xué)生對(duì)所涉數(shù)學(xué)方法的理解和掌握，并從“變”中尋求“不變”的解法本質(zhì)，讓學(xué)生觸類旁通，舉一反三，利于消除數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中“懂而不會(huì)”的現(xiàn)象.當(dāng)然，無(wú)論是原題還是變式題，都應(yīng)由學(xué)生獨(dú)立思考，探究解法，切忌教師大包大攬、直接告知，其中的變式題也應(yīng)由教師引導(dǎo)學(xué)生編制，這樣才利于培養(yǎng)學(xué)生的解題能力和思維能力，否則，題目做得再多也是低效甚至是無(wú)效的.

三、重視對(duì)學(xué)生復(fù)習(xí)方法的指導(dǎo)

（一）教會(huì)學(xué)生“自主復(fù)習(xí)”基礎(chǔ)知識(shí)，并對(duì)相關(guān)概念、結(jié)論進(jìn)行對(duì)比

教會(huì)學(xué)生利用圖表、填空等形式，將前后相關(guān)概念進(jìn)行對(duì)比，讓學(xué)生對(duì)這些概念的認(rèn)識(shí)更深刻、更系統(tǒng).如以相關(guān)的角的概念為例，可將直線的傾斜角、兩條異面直線所成角、直線與直線所成角、斜線與平面所成角、直線與平面所成角、二面角、兩向量夾角等進(jìn)行系統(tǒng)復(fù)習(xí)，區(qū)別它們的概念、允許值范圍等.

教會(huì)學(xué)生將教材上零散的、相關(guān)的知識(shí)建構(gòu)成知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，讓學(xué)生對(duì)復(fù)習(xí)的知識(shí)有系統(tǒng)的、完整的、清楚的認(rèn)識(shí)和理解，讓學(xué)生能站在更高的層次，以更寬廣的思路去分析問(wèn)題、解決問(wèn)題，能站在整體高度去審視教材，知道教材上每個(gè)知識(shí)點(diǎn)在具體解題時(shí)有什么作用.如在復(fù)習(xí)《立體幾何》一章時(shí)，對(duì)于線線、線面、面面垂直的性質(zhì)與判定，可引導(dǎo)學(xué)生建構(gòu)如圖3的知識(shí)網(wǎng)絡(luò)圖，讓學(xué)生既見(jiàn)樹(shù)木，又見(jiàn)森林.但是，值得注意的是，知識(shí)網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)圖不宜由教師直接呈現(xiàn)給學(xué)生，而應(yīng)由教師引導(dǎo)學(xué)生、教會(huì)學(xué)生自行建構(gòu)，培養(yǎng)學(xué)生勤于歸納的習(xí)慣和善于歸納的能力.

圖3　

（二）教會(huì)學(xué)生自主剖析，整理錯(cuò)題本，能合理利用“錯(cuò)解資源”

進(jìn)行解題教學(xué)時(shí)，對(duì)于易錯(cuò)題目，在課堂上應(yīng)給予充分的展示與講評(píng)，盡可能暴露完整的思維過(guò)程，讓全班同學(xué)共享“錯(cuò)解資源”，要在剖析錯(cuò)誤解法的過(guò)程中，讓出錯(cuò)的學(xué)生充分經(jīng)歷由“誤”到“悟”的思維過(guò)程.

錯(cuò)誤解法的錯(cuò)因剖析透徹，并能記錄在“案”，其教育教學(xué)的作用甚至要高于正確解法.所以，對(duì)于學(xué)生在練習(xí)或考試中易錯(cuò)的題目，一定要求學(xué)生整理在錯(cuò)題本上，寫上題目、錯(cuò)解、錯(cuò)因、正解等.至此，學(xué)生疑惑不已，怎么會(huì)有bc=0？于是，有的學(xué)生認(rèn)為此題為錯(cuò)題而放棄不做！

原因 將三角形的邊a、b、c與橢圓中的a、b、c混淆，導(dǎo)致無(wú)法解出.為了區(qū)別三角形的邊a、b、c與橢圓中的a、b、c，可借助下標(biāo)或上標(biāo).

如果同一份試卷上某學(xué)生做錯(cuò)的題較多，為了節(jié)省時(shí)間，可要求學(xué)生在試卷上把錯(cuò)題做上標(biāo)記，在旁邊寫上錯(cuò)因和正解，然后把試卷保存好，或粘貼在錯(cuò)題本上.整理錯(cuò)題集，一定要有恒心和毅力，而且要求學(xué)生每周末或每次考試前，把錯(cuò)題本或標(biāo)記錯(cuò)題的試卷看一看，讓其變成學(xué)生寶貴的復(fù)習(xí)資料.學(xué)生對(duì)于易錯(cuò)題經(jīng)常性地復(fù)習(xí)，利于加深學(xué)生對(duì)錯(cuò)因的認(rèn)識(shí)，利于增強(qiáng)學(xué)生對(duì)錯(cuò)誤的“防御能力”，利于實(shí)現(xiàn)“聽(tīng)懂的就一定會(huì)做，會(huì)做的就一定做對(duì)，錯(cuò)過(guò)的就一定不會(huì)再錯(cuò)”的目標(biāo).

（三）教會(huì)學(xué)生“規(guī)范”解題

解題不規(guī)范是導(dǎo)致“會(huì)而不對(duì)”“對(duì)而不全”“估分與實(shí)際得分相差甚遠(yuǎn)”“難題不得分，易題好丟分”的重要原因之一.實(shí)踐證明，在重要的考試中，每個(gè)人所表現(xiàn)的解題習(xí)慣與平時(shí)練習(xí)無(wú)異，所以，教學(xué)過(guò)程中，教師要以身作則，規(guī)范板書，并教會(huì)學(xué)生進(jìn)行規(guī)范解題，注意敘述的條理性、結(jié)果的準(zhǔn)確性．如不等式(x-2)(x-4)<0的解集，不能寫為2

（四）教會(huì)學(xué)生進(jìn)行解題后的“反思”

很多學(xué)生做過(guò)的題目不少，但解題能力提高緩慢，究其原因，一方面，是這些學(xué)生缺乏解題后主動(dòng)反思的習(xí)慣，對(duì)題目涉及的數(shù)學(xué)思想方法的認(rèn)識(shí)不深、理解不透；另一方面，有些教師的解題教學(xué)，也僅停留在讓學(xué)生“知其然”的地步，缺乏讓學(xué)生“知其所以然”的點(diǎn)撥，缺乏對(duì)學(xué)生解題后如何進(jìn)行反思的指導(dǎo).

案例3已知函數(shù)y=log2(x2-2ax+15)在(-∞,3)上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解原函數(shù)可看作由y=log2t與t(x)=x2-2ax+15復(fù)合而成的，

而y=log2t是增函數(shù)，所以只要t(x)=x2-2ax+15在(-∞,3)上為減函數(shù)，

又t(x)=x2-2ax+15的對(duì)稱軸為直線x=a，所以a≥3.

第一次反思——上述解法是否正確？

如果正確，有沒(méi)有更簡(jiǎn)捷的解法？有沒(méi)有需要完善的地方？

如果錯(cuò)誤，是基礎(chǔ)知識(shí)掌握不牢，在不該錯(cuò)的地方出錯(cuò)了？還是審題不清，忽視隱含條件或考慮不周？還是計(jì)算問(wèn)題或圖形畫錯(cuò)？

通過(guò)反思，發(fā)現(xiàn)上述解法是錯(cuò)誤的，忽視了函數(shù)y=log2t的定義域?yàn)?0,+∞).

正解原函數(shù)可看作由y=log2t與t(x)=x2-2ax+15復(fù)合而成的，

而y=log2t是(0,+∞)上的增函數(shù)，

所以只要t(x)=x2-2ax+15在(-∞,3)上為減函數(shù)，且t(x)>0在x∈(-∞,3)時(shí)應(yīng)恒成立.

特殊地，在x=3時(shí)，t(x)可以取0，

所以a≥3且t(3)≥0，得實(shí)數(shù)a的取值范圍應(yīng)為[3 , 4].

第二次反思——怎樣改編題目的條件，上述解法的思路才是正確的？

變式1已知函數(shù)y=2x2-2ax+15在()-∞,3上為減函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

對(duì)于此道變式題，原解法的思路便是正確的，所求實(shí)數(shù)a的取值范圍為[3,+∞).

第三次反思——反思地更深入些，“在(-∞,3)上為減函數(shù)”與“減區(qū)間為(-∞,3)”是否一樣？

變式2已知函數(shù)y=2x2-2ax+15的減區(qū)間為(-∞,3)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解原函數(shù)可看作由y=2t與t(x)=x2-2ax+15復(fù)合而成的，

而y=2t在R上為增函數(shù)，所以只要t(x)=x2-2ax+15的減區(qū)間為(-∞,3)，

又函數(shù)t(x)=x2-2ax+15的對(duì)稱軸為直線x=a，

所以a=3，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍應(yīng)為{}3.

變式3已知函數(shù)y=log2(x2-2ax+15)的減區(qū)間為(-∞,3)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.

解原函數(shù)可看作由y=log2t與t(x)=x2-2ax+15復(fù)合而成的，

而y=log2t是增函數(shù)，所以只要t(x)=x2-2ax+15的減區(qū)間為(-∞,3)，且在x?(-∞,3)時(shí)恒有t(x)>0，又函數(shù)t(x)=x2-2ax+15的對(duì)稱軸為直線x=a，

第四次反思——這3道變式題與原題“形似而神不同”，放在一起比較，能加深學(xué)生對(duì)題目涉及的數(shù)學(xué)思想方法的理解，既能讓學(xué)生的記憶更久遠(yuǎn)，也利于培養(yǎng)學(xué)生思維的深刻性.

羅增儒教授把解題后不反思形象恰當(dāng)?shù)胤Q為“入寶山而空返”.教師在一輪復(fù)習(xí)中，要有計(jì)劃、有目的地指導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行解題后的反思，讓解題后反思成為學(xué)生的一種習(xí)慣[1]，并能將這種習(xí)慣順延到二輪、三輪復(fù)習(xí)當(dāng)中去，讓學(xué)生分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力得以大幅度提高.□◢

參考文獻(xiàn)：

［1］武瑞雪.重視解題教學(xué)提高教學(xué)效率［J］.數(shù)學(xué)教學(xué)研究，2011（11）：30-34.