借助數(shù)學(xué)典型題教學(xué)培養(yǎng)學(xué)生的解題悟性

□陳　琳

（杭州市余杭區(qū)喬司中學(xué)，浙江杭州 311101）

所謂“悟性”，指人對事物的分析和理解的能力.那么，在日常的教學(xué)過程中，如何去培養(yǎng)學(xué)生的解題悟性呢？一定程度上是通過講解習(xí)題或者一些典型的例題來完成的.因而，為了避免就題論題和題海訓(xùn)練，在上課前精選好一定量的習(xí)題是必要的，并且在習(xí)題教學(xué)中對一些典型題進(jìn)行多角度、全方位、深層次的開發(fā)和挖掘，從而激發(fā)學(xué)生的潛在能力和探究能力.下面以一些典型題為例介紹筆者在這方面的探討.

一、創(chuàng)設(shè)“悟”境　著力疑問　在思疑中啟悟

（一）一問，二問，三問，需循序漸進(jìn)

朱熹曾說過：“讀書無疑者，須教有疑，有疑者，卻要無疑，到這里方是長進(jìn).”[1]可見，“疑”是悟性的起因和動機(jī).因而在解題的過程中，需要著力疑問，積極思考，進(jìn)入“悟境”.因此，在教學(xué)過程中，教師需要適當(dāng)?shù)靥嵋恍┱J(rèn)知水平在單一水平的問題，通過逐步搭起解題“腳手架”，進(jìn)而過渡到高思維含量的問題，逐步遞進(jìn).

案例1原命題：如圖1，點(diǎn)P是△ABC兩個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，試探究∠BPC與∠A之間的關(guān)系.

在解決這道題時筆者先給學(xué)生設(shè)置了四個小題：

問題（1）：若∠A=60°，求∠BPC的度數(shù)？

問題（2）：若∠A=100°，120°，∠BPC又分別是多少？

問題（3）：由問題（1）（2）你發(fā)現(xiàn)了什么結(jié)論？當(dāng)∠A的度數(shù)發(fā)生變化時，你的結(jié)論仍成立嗎？

問題（4）：根據(jù)上述題目，適當(dāng)改變問題的條件，請自編一道題，試再來探究∠BPC與∠A之間的關(guān)系.

圖1　

問題（1）是一道基礎(chǔ)題，從認(rèn)知水平來看屬于單一結(jié)構(gòu)認(rèn)知水平，學(xué)生可以通過三角形內(nèi)角和為180°和角平分線的性質(zhì)并且利用∠A=60°來解決問題（1），此時∠BPC的度數(shù)為120°.問題（1）的設(shè)置是為學(xué)生解決問題（2）搭好解題腳手架；問題（2）從認(rèn)知水平來看屬于多元結(jié)構(gòu)層次，但其實(shí)與問題（1）殊途同歸.此時拋出問題（3），讓學(xué)生從（1）（2）兩小題中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，經(jīng)歷從“特殊到一般”的思想方法.有了（1）（2）兩小題的鋪墊，學(xué)生在解決問題（3）時就變得輕松多了，可以得出∠BPC=90°+∠A這個結(jié)論.這個時候在學(xué)生思維高度活躍的情況下，給出問題（4），要求學(xué)生改變現(xiàn)有條件，再來探究結(jié)論.要完成問題（4）不難，因?yàn)閱栴}（3）為學(xué)生解決問題（4）創(chuàng)設(shè)了思考的環(huán)境，學(xué)生在思維高度活躍的狀態(tài)下自己出題并解題.這一看似簡單的設(shè)置其實(shí)起到了畫龍點(diǎn)睛的作用，是本節(jié)課的高潮之處.學(xué)生利用已有的知識儲備去解決一些看似有變化其實(shí)未變的題目，實(shí)現(xiàn)思維創(chuàng)新，進(jìn)而培養(yǎng)了學(xué)生創(chuàng)造性思維能力.因而，教師在處理一些例題時，需做適當(dāng)改變，而這種改變，可以教師自己預(yù)設(shè)，也可以如上述案例中讓學(xué)生設(shè)計，但都要做到由點(diǎn)及面，由淺入深.

（二）啟發(fā)，提示，引導(dǎo)，需循循善誘

有效的數(shù)學(xué)課堂需要有大量思維和豐富情感.作為教師除了關(guān)注學(xué)生獲得知識掌握方法的同時，還要注重對學(xué)生思維和情感的啟迪.所以在平時的教學(xué)過程中，我們要常常使用一些啟發(fā)性的提示語、引導(dǎo)性的發(fā)問詞，促進(jìn)學(xué)生思維和情感的積極參與.

案例1中問題（4）：根據(jù)上述題目，適當(dāng)改變問題的條件，請自編一道題，試再來探究∠BPC與∠A之間的關(guān)系.

學(xué)生在處理“自編題”時，往往會感到無從下手.因此需要教師使用一些啟發(fā)性提示語，從而促進(jìn)學(xué)生思維的活動.

師：上述題目的條件是什么？

生：點(diǎn)P是△ABC兩個內(nèi)角平分線的交點(diǎn).

師：好，如果要改變條件，你會從哪個點(diǎn)出發(fā)？

生：從△ABC兩個內(nèi)角的角平分線這個點(diǎn)出發(fā).

師：那除了△ABC兩個內(nèi)角的角平分線，還可以是哪些角的角平分線？

（學(xué)生思考，教師等待）

生：三角形外角的角平分線.

師：好，那可以怎么改變？

生1：可以改成點(diǎn)P是△ABC兩個外角平分線的交點(diǎn).

生2：可以改成點(diǎn)P是△ABC一個內(nèi)角平分線與一個外角平分線的交點(diǎn).

……

合理運(yùn)用啟發(fā)性提示語和引導(dǎo)性發(fā)問詞，能啟發(fā)學(xué)生積極思考，更有利于讓學(xué)生經(jīng)歷知識的產(chǎn)生和發(fā)展過程，形成發(fā)現(xiàn)問題、提出問題、分析問題、解決問題的研究性能力，從而來提高數(shù)學(xué)思維活動的有效性[2].

二、動靜結(jié)合　在靜中思考　在辨中感悟 在做中獲悟

（一）靜中思考

在新課程實(shí)施之初，有很多教師認(rèn)為數(shù)學(xué)課堂應(yīng)該是“熱鬧的，生動的”，需要有游戲、討論等課堂教學(xué)環(huán)節(jié).課堂熱鬧，雖然解放了學(xué)生的天性，鼓勵學(xué)生想說什么就說什么.但是有很多時候，學(xué)生往往會在思維能力較膚淺時迫不及待地說出自己的想法，你一言我一語，說完的學(xué)生認(rèn)為“答題完畢”游離課堂；未說的學(xué)生失去了“答題的機(jī)會”也便作罷.這樣的“熱鬧”并不是“數(shù)學(xué)課堂”想要的.數(shù)學(xué)是一門嚴(yán)謹(jǐn)?shù)膶W(xué)科，數(shù)學(xué)課堂需要有適當(dāng)?shù)摹盁狒[”場面來活躍思維，但也不應(yīng)該缺少安靜的獨(dú)立思考.

（二）辯中感悟

數(shù)學(xué)課堂除了需要“安靜”，有時候也需要給學(xué)生營造一些“思辨”的氛圍.教師可針對學(xué)生提出的一些問題，把學(xué)生分為若干個小組進(jìn)行討論，每個小組確定一位發(fā)言人發(fā)言.在小組成員發(fā)言的過程中，不同組的成員只能靜靜傾聽并作記錄，而同組成員可以在發(fā)言人發(fā)言完畢后作適當(dāng)補(bǔ)充.待集體發(fā)言完畢后，再鼓勵不同組的成員提出意見并且補(bǔ)充.這樣的小組內(nèi)集體討論的方法，通過組內(nèi)交流，組間分享，就會產(chǎn)生思維的碰撞，從而激發(fā)學(xué)生更多的思考和想法.因而，在數(shù)學(xué)教學(xué)過程中可以適當(dāng)?shù)剡\(yùn)用這種方法進(jìn)行數(shù)學(xué)解題悟性的培養(yǎng).

（三）做中獲悟

華盛頓兒童博物館墻上有句格言：“我聽見了，就忘記了；我看見了，就記住了；我做過了，就理解了.”這恰好說明“聽數(shù)學(xué)”與“做數(shù)學(xué)”的本質(zhì)區(qū)別.因而，教師在教學(xué)過程中應(yīng)當(dāng)有目的地去引導(dǎo)學(xué)生進(jìn)行動手操作、實(shí)踐探索、歸納總結(jié)等數(shù)學(xué)活動，學(xué)生通過自己親身的參與，最終理解問題和解決問題.

案例2對“三角形兩邊的和大于第三邊”的探索.

兩名學(xué)生一組，并事先準(zhǔn)備四根長度分別為2cm、3cm、4cm、6cm的硬紙條，紙條粗細(xì)一定.

探索1 請你選擇其中的3條組成三角形，最多能組成幾個三角形？

學(xué)生通過動手操作發(fā)現(xiàn)，只有2cm、3cm、4cm和3cm、4cm、6cm兩種情況能組成三角形，繼而便產(chǎn)生這樣的疑問：為什么2cm、3cm、6cm和2cm、4cm、6cm不能組成三角形？從而引導(dǎo)學(xué)生提出疑問：三條線段的長度滿足什么條件時才能夠組成三角形？

探索2三角形任意兩邊之和與另一邊的數(shù)量關(guān)系是怎樣的？

每組同學(xué)任意畫一個三角形ABC，通過量一量，比較三角形的任意兩邊的和與第三邊的大小關(guān)系，形成“三角形兩邊的和大于第三邊”的結(jié)論.

探索3 當(dāng)三條線段滿足什么條件時，才能組成三角形？學(xué)生在組內(nèi)討論和組間討論的數(shù)學(xué)活動中，利用手頭的硬紙條的情況將三條線段能組成三角形的判斷條件歸納為“較短的兩條線段之和大于最長的線段”.

學(xué)生在“做數(shù)學(xué)”中學(xué)到知識，提高了他們的實(shí)踐能力，也培養(yǎng)了他們的創(chuàng)新意識.

三、設(shè)置變的情境 在變中領(lǐng)悟

數(shù)學(xué)課堂中要積極創(chuàng)設(shè)“變”的情境，“變”能使學(xué)生在掌握已有知識的前提下，拓展創(chuàng)新.在教學(xué)過程中，例題講罷，變式跟上，有效的變式訓(xùn)練，能提高學(xué)生舉一反三、觸類旁通的能力.

（一）一題多變，妙變

葉圣陶教育思想的核心表述是“教是為了達(dá)到不需要教”[3].所以不應(yīng)該讓學(xué)生養(yǎng)成為解題而解題的習(xí)慣.而應(yīng)該引導(dǎo)學(xué)生在獲得題目答案的同時，更主動去探究一下出題者的出題意圖，包括題目中的條件設(shè)置，題目中的結(jié)論設(shè)置，以原題中的條件和結(jié)論作為出題的素材，主動去探究新的問題.很多時候，學(xué)生解題的能力是單一的，只會解“一道題”而不會解“一類題”.通過鼓勵引導(dǎo)學(xué)生對題目的條件和結(jié)論的再創(chuàng)造，從而訓(xùn)練學(xué)生從一個問題抓一類問題，從特殊問題抓一般問題的能力.

案例3原命題：如圖1，點(diǎn)P是△ABC兩個內(nèi)角平分線的交點(diǎn)，則

圖2　

我們將上述命題中的條件改變后形成命題（1）：如圖2，點(diǎn)P是△ABC兩個外角平分線的交點(diǎn)，則

此時我們只要綜合利用三角形的內(nèi)角和等于180°、三角形的外角的性質(zhì)和角平分線的定義，通過等量替換，就可以得出上述結(jié)論.

當(dāng)然我們可以繼續(xù)將原命題的條件改變，形成命題（2）：如圖3，點(diǎn)P是△ABC一個內(nèi)角平分線與一個外角平分線的交點(diǎn)，則此時我們只要利用角平分線的定義和三角形外角的性質(zhì)，依然可以很容易證明.

除了改變條件我們也可以改變結(jié)論，形成命題（3）：如圖3，點(diǎn)P是△ABC一個內(nèi)角平分線BP與一個外角平分線CP的交點(diǎn)，連接AP，證明：AP是△ABC的一個外角平分線.

當(dāng)然在解決此題時我們需要利用角平分線的性質(zhì)和判定來證明.

變題訓(xùn)練可以通過改變條件或者改變結(jié)論.但是不管怎么改變，作為教師應(yīng)該明白變題訓(xùn)練首要原則是基于學(xué)生已經(jīng)較牢固地掌握了相應(yīng)的公式法則和解法.否則，一味為變而變，就無多大意義了.

圖3　

（二）一題多解，巧解

解數(shù)學(xué)題是探索問題之間的關(guān)系，選擇合適的解題方法.“一題多解”是指從同一解題條件出發(fā)，多角度、多維度去理解問題、分析問題、解決問題.在教學(xué)過程中，有效地引導(dǎo)學(xué)生去“一題多解”，是培養(yǎng)學(xué)生思維能力的高招.

案例4雞兔同籠問題是我國古代著名的趣題之一.在同一個籠子中，從上面數(shù)，有35個頭；從下面數(shù)，有94只腳，問籠中雞有多少只？兔有多少只？

雞兔同籠問題是一個經(jīng)典問題，其解法眾多，比較典型的有砍足法、試湊法、假設(shè)法、觀察法、方程法、演繹法等.學(xué)生在對這些解法的討論中，自發(fā)地運(yùn)用已有的知識儲備，不斷地反思和探索，最后在不知不覺中，各種方法順勢而生，自然而成.

（三）一題多用，奇用

“一題多用”是指在解題的過程中，有效地利用題目的條件或者結(jié)論來借題發(fā)揮，找準(zhǔn)題目的本質(zhì)特征，從而來解決一類題目.

應(yīng)用上面案例3的結(jié)論能解決一些復(fù)雜問題.

如圖4，PB和PC是△ABC的兩條外角平分線.

（1）已知∠A=80°，請直接寫出∠P的度數(shù).

（2）圖中△BCP按角分類屬于什么三角形？

圖4　

本題第（2）題根據(jù)案例3中命題（1）的結(jié)論∠P=90°-∠A，和三角形外角的一半所形成的角都是銳角，可以判斷該三角形是銳角三角形.

如圖5，在△ABC中，BP1平分∠ABC，CP1平分∠ACD，BP2平分∠P1BC，CP2平分∠P1CD，… 其中∠A=96°，則∠P4=__°.

圖5　

如圖6，BP是△ABC的內(nèi)角∠ABC的角平分線，CP是該三角形的外角∠ACD的角平分線，兩條角平分線相交于點(diǎn)P，若∠BPC=50°，求∠CAP的度數(shù)．

解析在解決此題的時候，首先可以利用案例3中命題（2）的結(jié)論，得到∠BAC的度數(shù)是100°，再根據(jù)案例3中命題（3）的結(jié)論，得到AP是此三角形的外角的角平分線，從而計算得：

圖6　

很顯然，如果沒有對上述例題進(jìn)行思考運(yùn)用和積累，要能夠在短時間內(nèi)做出這些題目是很不容易的.

教師是傳道授業(yè)解惑者，教師也應(yīng)是學(xué)生學(xué)習(xí)動力的激發(fā)者.解題悟性作為一種特殊的素質(zhì)和能力，它的培養(yǎng)需要教師去潛移默化地影響，更需要學(xué)生持之以恒地練習(xí).因此數(shù)學(xué)教師可以習(xí)題為載體，在數(shù)學(xué)教學(xué)中需要精選題，選好題，并適時小“題”大作，從而不斷激發(fā)學(xué)生的思維.當(dāng)我們跳出題海，在解決問題的關(guān)鍵時刻，便會眉頭一皺，“悟”上心來.□◢

參考文獻(xiàn)：

［1］孫培青.教育名言錄［M］.上海：上海教育出版社，1984：87.

［2］葉圣陶.葉圣陶教育文集［M］.北京：人民教育出版社，2002：539.

［3］王長富.培養(yǎng)學(xué)生解題能力經(jīng)驗(yàn)芻議［J］.大觀周刊，2011（46）：76.