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    在模型驗證中積累探究的活動經(jīng)驗
    ——《交換律和結(jié)合律》教學賞析

    2018-04-08 06:47:44李海東
    河北教育(教學版) 2018年1期
    關(guān)鍵詞:結(jié)合律交換律舉例

    ○李海東

    幫助學生積累數(shù)學活動經(jīng)驗是課程標準的要求。學生立足于對已有問題的探究,并在問題解決過程中所形成的數(shù)學活動經(jīng)驗就是探究的活動經(jīng)驗。這種探究活動既有外顯行為的操作活動,也有思維層面的操作活動。學生自學能力強,很多內(nèi)容往往在教師新授之前就會了。學生如果一上課就能把運算定律或計算公式等模型類的數(shù)學知識直接說出來,教師該如何引導他們探究呢?又該如何幫助他們在數(shù)學學習過程中積累探究的活動經(jīng)驗呢?讓我們一起來欣賞著名特級教師劉松的教學藝術(shù)吧。

    一、初次驗證中形成經(jīng)驗

    師:什么是乘法交換律?用字母如何表示?

    生:交換兩個因數(shù)的位置,積不變。用字母表示是a×b=b×a。

    師:你怎么向別人解釋?

    生:我給大家舉例,如2×3=3×2。

    師:兩個因數(shù)的位置有沒有交換?(交換了)積有沒有變?(沒變)還有其他例子嗎?

    生:5×3=3×5。

    師:舉例可以證明乘法交換律。數(shù)學上證明一個結(jié)論的正確,至少要通過兩種不同途徑。除了舉例,還有什么方法解釋嗎?

    圖1 

    圖2

    師:用乘法計算每幅圖中的車輛時,計算結(jié)果唯一嗎?計算方法呢?

    圖3

    生:圖2可以列式為2×5或5×2,都是求一共有多少輛車。

    生:圖3可以列式為3×5或5×3,都是求一共有多少輛車。

    生:圖1可以列式為1×5或5×1,都是求一共有多少輛車。

    師:計算結(jié)果的唯一性與計算方法的多樣性,決定了乘法交換律作為一個數(shù)學事實的存在。解釋和說明乘法交換律,不僅可以舉例,也可以用平面圖形直觀地表達。

    學生學習的過程是一種“再創(chuàng)造”的過程。自學獲得的乘法交換律對他們而言只是猜測。只有經(jīng)過驗證,猜測才能真正成為模型。學生在舉例驗證中通過不完全歸納初步發(fā)現(xiàn)猜測是正確的。但這樣缺乏本質(zhì)的教學,學生理解往往不夠深刻。因此,劉老師出示三幅圖,引導學生分別計算每幅圖中的車輛,使他們發(fā)現(xiàn)計算結(jié)果的唯一性與計算方法的多樣性也能驗證猜測。這樣,學生不僅通過簡單的舉例驗證,而且借助圖形用幾何直觀的方法確認了數(shù)學事實的存在,從而有效驗證了乘法交換律模型。在第一次模型驗證過程中,學生初步形成了探究的活動經(jīng)驗——自學獲得的數(shù)學模型需要驗證,除了舉例,還可以借助幾何直觀的方法驗證。借助幾何直觀用平面圖形表達,復雜的數(shù)學問題變得簡明、形象。

    二、再次驗證中強化經(jīng)驗

    師:什么是乘法結(jié)合律?用字母如何表示?

    生:先乘前兩個數(shù),或者先乘后兩個數(shù),積不變,這叫做乘法結(jié)合律。用字母表示是(a×b)×c=a×(b×c)。

    師:怎樣證明這個數(shù)學事實呢?

    生:舉例說明,如(2×3)×5=2×(3×5)。

    生:(25×5)×2=25×(5×2)。

    生:(1×2)×3=1×(2×3)。

    師:三個數(shù)相乘,先算前兩個,或先算后兩個,積有沒有改變?

    生:運算順序變了,乘積沒變。

    師:除了舉例證明,還能用圖形解釋乘法結(jié)合律嗎?

    師(出示圖4):立體車庫中共停多少輛車?怎么算?

    圖4

    生:先算上面一層,再乘3,也就是5×4×3(如圖5)。

    圖5 

    圖6

    生:先算最右邊的一層是4×3,再乘豎著的5層,就知道一共有多少輛車(如圖6)。

    師:兩種不同算法,計算結(jié)果都表示什么?

    生:車庫一共停放多少輛車。

    師:兩種不同方法,即使不計算,我們也能確定結(jié)果如何?(相等)觀察算式左右兩邊,先乘前兩個數(shù),或先乘后兩個數(shù),積有沒有改變?(沒有)這能解釋乘法結(jié)合律的存在嗎?

    生:能。

    師:多樣的方法指向同一個結(jié)果,這就決定了乘法結(jié)合律作為一個數(shù)學事實的存在。乘法結(jié)合律在三維空間內(nèi)得到了完美解釋。

    自學獲得的乘法結(jié)合律同樣是猜測,需要驗證。學生舉例驗證后,剛形成的數(shù)學活動經(jīng)驗使他們明白自己還可以用幾何直觀的方法進行驗證。劉老師出示了一幅圖,讓學生用不同方法計算車庫中的汽車數(shù)量進行驗證。這樣,學生先后用舉例和幾何直觀的方法驗證了乘法結(jié)合律模型。在第二次模型驗證過程中,學生強化了探究的活動經(jīng)驗——用不同方法驗證,如果殊途同歸,就能確認模型。用幾何直觀的方法進行驗證,不僅使乘法結(jié)合律模型在三維空間內(nèi)得到完美解釋,而且能幫助學生進一步密切數(shù)學與生活的聯(lián)系。

    三、三次驗證中遷移經(jīng)驗

    師(邊說邊板書):(5×4)×3=5×(4×3)=5×(3×4)=(5×3)×4。我們用交換律和結(jié)合律可以得到(5×3)×4,說明計算車庫一共可以停放多少輛車還有第三種方法。想一想,這種方法先算了哪一層?

    生:前面一層。

    師:棒極了?。ń處煶鍪緢D7,驗證學生猜想)

    圖7

    師:乘法有交換律和結(jié)合律。乘法是特殊加法,加法有沒有交換律和結(jié)合律呢?(有)如果有,加法交換律和結(jié)合律怎樣用字母表示?

    生:加法交換律是a+b=b+a。

    生:加法結(jié)合律是(a+b)+c=a+(b+c)。

    師:這些結(jié)論是否正確,該如何解釋?請用今天的學習方法課后去驗證!

    為了幫助學生有效積累數(shù)學探究的活動經(jīng)驗,劉老師先根據(jù)乘法交換律和結(jié)合律推導出(5×4)×3=(5×3)×4,獲得猜想后,再出示車庫圖,引導學生借助幾何直觀進行驗證,一方面幫助學生遷移應用探究活動經(jīng)驗,另一方面引導學生發(fā)現(xiàn)舉例驗證模型的局限性。在此基礎(chǔ)上,劉老師引導學生猜想加法交換律和結(jié)合律。學生嘗試用字母表示的同時,就提出了新的數(shù)學猜想。由于課堂時間的限制,學生無法立即驗證,只能到課后完成。學生所形成的探究的活動經(jīng)驗有助于自己順利完成模型驗證任務。這樣教學,不僅充分培養(yǎng)了學生的模型驗證能力,而且能有效幫助學生積累探究的活動經(jīng)驗,并且給人一種言猶未盡、余味無窮的感覺。

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