魯棒靜態(tài)輸出反饋控制律的粒子群優(yōu)化設(shè)計

彭程(華北科技學(xué)院 自動化系，河北 三河　065201)

0　引　言

閉環(huán)極點位置對系統(tǒng)暫態(tài)性能和穩(wěn)定性有重要影響，狀態(tài)反饋和輸出反饋是實現(xiàn)閉環(huán)極點配置的兩種基本方式。系統(tǒng)能控條件下，狀態(tài)反饋可以將閉環(huán)極點精確配置到指定位置，但是實際使用時需要設(shè)計狀態(tài)觀測器。與狀態(tài)反饋方式相比，輸出反饋容易實現(xiàn)，但是通常不能任意配置閉環(huán)極點的位置，而且設(shè)計難度大，例如文獻[1-3]的方法分別需要求解李雅普諾夫方程、代數(shù)黎卡提方程和雙線性矩陣不等式。

系統(tǒng)運行過程中參數(shù)可能會發(fā)生變化，系統(tǒng)性能對參數(shù)變化的魯棒性也是控制律設(shè)計時需要考慮的因素之一。徐拴鋒等[4]184-185提出了一種魯棒靜態(tài)輸出反饋增益的直接優(yōu)化設(shè)計方法，但是其優(yōu)化初值難以確定。本文同時考慮系統(tǒng)魯棒性和閉環(huán)極點配置的要求，給出了一種利用粒子群優(yōu)化算法設(shè)計魯棒靜態(tài)輸出反饋控制律的方法。

1　問題描述

對于線性定常系統(tǒng)

(1)

式中:x(t)∈Rn，u(t)∈Rm，y(t)∈Rl分別是系統(tǒng)狀態(tài)、輸入和輸出；A、B和C是合適維數(shù)的矩陣；不失一般性，假設(shè)系統(tǒng)能控能觀，且rank(B)=m和rank(C)=l成立；本文考慮的問題是設(shè)計靜態(tài)輸出反饋控制律:

u(t)=-Ky(t)+v(t)

(2)

將閉環(huán)系統(tǒng)的極點配置到合適的位置；同時，考慮到矩陣A、B和C可能存在不確定性，要求閉環(huán)系統(tǒng)性能對矩陣A、B和C的變化不敏感。

(3)

與狀態(tài)反饋方式不同，輸出反饋通常無法實現(xiàn)全部閉環(huán)極點的任意配置。已有研究表明[5]：對于式(1)給出的能控和能觀的系統(tǒng)，利用式(2)給出的控制律，可以使min(n,m+l-1)個閉環(huán)極點任意接近于指定的期望位置。

為此本文將精確極點配置和區(qū)域極點配置兩類要求結(jié)合起來，要求將最靠近虛軸的兩個閉環(huán)極點配置到期望位置μ1和μ2；而其他閉環(huán)極點則要求位于圖1所示的矩形區(qū)域中，該區(qū)域由參數(shù)α1、α2和β決定。

圖1　遠離虛軸閉環(huán)極點期望區(qū)域

上述極點配置要求可以通過極小化式(4)定義的目標(biāo)函數(shù)實現(xiàn)

(4)

(5)

(6)

(7)

(8)

文獻[6]的研究表明，閉環(huán)系統(tǒng)矩陣(A-BKC)的Frobenius范數(shù)越小，閉環(huán)系統(tǒng)對參數(shù)攝動的魯棒性越好，即魯棒性要求可以通過極小化式(9)定義的目標(biāo)函數(shù)達成。

minJ2(K)=‖A-BKC‖F(xiàn)

(9)

綜合式(4)和式(9)，可以將魯棒靜態(tài)輸出反饋控制律設(shè)計問題表示為式(10)定義的優(yōu)化問題。

(10)

2　控制律設(shè)計方法

2.1　粒子群優(yōu)化算法

粒子群優(yōu)化是一種群智能優(yōu)化算法，它模擬了鳥類覓食的過程[7]。該算法已被用于解決齒輪箱故障診斷[8]、配電網(wǎng)功率協(xié)調(diào)優(yōu)化[9]、聲目標(biāo)識別系統(tǒng)設(shè)計[10]等問題。

對于d維非線性優(yōu)化問題：

(11)

設(shè)優(yōu)化過程中種群第j個粒子的位置、速度、歷史最優(yōu)位置以及種群歷史最優(yōu)位置分別為：

(12)

則該粒子速度和位置的第k(k=1,2,…,d)個分量按式(13)和(14)更新：

(13)

(14)

式中:w為慣性權(quán)重;c1和c2為加速度系數(shù);r1和r2為[0,1]區(qū)間內(nèi)服從均勻分布的隨機數(shù)。

2.2　設(shè)計步驟

粒子群優(yōu)化過程中將每個粒子的位置和速度均表示為行向量，而式(10)中待優(yōu)化的輸出反饋增益K∈Rm×l；為此需要建立矩陣K和行向量之間的轉(zhuǎn)換關(guān)系，這里采用的方法是將矩陣K按列展開并拼接為行向量。

綜上，魯棒靜態(tài)輸出反饋控制律的設(shè)計步驟如下：

(2)隨機生成粒子的初始位置和初始速度，并根據(jù)式(10)計算每個粒子對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值。令每個粒子的當(dāng)前位置為其歷史最優(yōu)位置，找到當(dāng)前種群中的最優(yōu)粒子，將其記為種群歷史最優(yōu)位置pg。令當(dāng)前優(yōu)化代數(shù)gen=1。

(3)令gen=gen+1。若gen>Gen，則結(jié)束優(yōu)化過程，將種群歷史最優(yōu)位置pg轉(zhuǎn)換為對應(yīng)的靜態(tài)輸出反饋增益K并輸出。

(4)對種群中每個粒子，根據(jù)式(13)和式(14)更新其速度和位置，若粒子位置和速度超出其允許的邊界，則取其邊界值。根據(jù)式(10)計算新位置對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值，若新位置比該粒子歷史最優(yōu)位置更優(yōu)，則更新該粒子的歷史最優(yōu)位置。

(5)找到所有粒子歷史最優(yōu)位置中最優(yōu)的一個，若其優(yōu)于之前找到的種群歷史最優(yōu)位置pg，則更新pg。返回步驟(3)。

3　數(shù)值算例

考慮水翼艇縱向運動數(shù)學(xué)模型[4]185：

式中：

式中:h和θ分別為垂蕩位移(m)和縱搖角(°);δe和δf為水翼艇的首翼角和尾翼角(°)。

設(shè)計時將最靠近虛軸的閉環(huán)極點的期望位置設(shè)為-3±3j，其余極點的期望區(qū)域參數(shù)取α1=-4、α2=-10和β=0.4，目標(biāo)函數(shù)式(10)中參數(shù)θ1=100、θ2=10 000。

加速度系數(shù)c1和c2對粒子群優(yōu)化的性能有顯著影響，這里取文獻[11]中推薦的c1=c2=2。粒子群優(yōu)化的其他參數(shù)為：粒子數(shù)目N=50，最大優(yōu)化代數(shù)Gen=1 000；慣性權(quán)重w前750代由0.9線性下降至0.4，其后保持不變；粒子每個分量的取值范圍均為[-20,20]，每個速度分量的范圍均為[-20,20]。

一次粒子群優(yōu)化得到的種群歷史最優(yōu)位置對應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)J(K)隨優(yōu)化代數(shù)gen的變化過程如圖2所示，可以看到500代左右算法收斂到一組解。優(yōu)化結(jié)束時目標(biāo)函數(shù)值J=49.1974，求得的輸出反饋增益:

此時，閉環(huán)極點位于-3.087 1±3.027 4j、-4.000 0和-4.456 4，即本文方法設(shè)計的控制律可以滿足區(qū)域極點配置要求，也較好地滿足了精確極點配置要求。

圖2　最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)變化過程

文獻[4]185將四個閉環(huán)極點的期望位置指定為-3±3j、-5和-6，利用改進的Powell算法得到的魯棒輸出反饋增益:

計算可得‖A-BK1C‖F(xiàn)=47.528 6，‖A-BK2C‖F(xiàn)=61.004 5，本文設(shè)計的閉環(huán)系統(tǒng)在魯棒性度量方面有顯著改進。

在垂蕩位移h=1 m，縱搖角θ=1°情況下，兩控制律作用下閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)曲線如圖3所示。由圖可知兩種情況下閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)的快速性差別不大，本文設(shè)計的閉環(huán)系統(tǒng)響應(yīng)更加平穩(wěn)。

圖3　閉環(huán)系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)比較圖

將系統(tǒng)矩陣A的對角線元素攝動為原始值的120%，計算參數(shù)攝動后閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)，并與未攝動系統(tǒng)的狀態(tài)響應(yīng)比較如圖4所示。由圖可知在本文設(shè)計的控制律作用下，攝動前后系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)的快速性和平穩(wěn)性變化不大，反映出閉環(huán)系統(tǒng)的魯棒性。

圖4　攝動前后系統(tǒng)狀態(tài)響應(yīng)比較圖

4　結(jié)束語

靜態(tài)輸出反饋控制律設(shè)計是線性系統(tǒng)理論的基本問題之一，至今尚未完全解決。本文通過合理構(gòu)造目標(biāo)函數(shù)，將魯棒靜態(tài)輸出反饋控制律設(shè)計問題轉(zhuǎn)化為優(yōu)化問題，并利用粒子群優(yōu)化算法進行求解。水翼艇系統(tǒng)的設(shè)計結(jié)果表明該方法簡單、直觀、易于實現(xiàn)，能夠滿足極點配置和魯棒性的要求。

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