拓撲優(yōu)化在橋梁支座輕量化設計中的應用

韓家山，曹翁愷，顧海龍，陳新培

(洛陽雙瑞特種裝備有限公司，河南 洛陽　471000)

作為連接橋梁上下部結構的“關節(jié)”，橋梁支座可以將橋梁上部結構中反力和變形可靠地傳遞給橋梁下部結構，是橋梁結構中的一個重要組成部分[1]。隨著我國鐵路、公路交通運輸?shù)陌l(fā)展，大跨度橋梁越來越多，橋梁支座的承載力也在不斷刷新紀錄。目前，支座最大承載力已達2×106kN，支座質(zhì)量已高達百噸。橋梁支座過重不僅會增加建設成本，而且會增加現(xiàn)場施工的難度。因此，在保證使用性能的前提下，對橋梁支座進行輕量化設計，對于減少建設成本和降低施工難度具有重要的實際意義。目前，針對橋梁支座輕量化的研究，大多是從支座結構設計參數(shù)的角度出發(fā)，予以形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化，而有關支座最優(yōu)拓撲形式的探討見著于文獻的研究還很少[2-4]。

拓撲優(yōu)化能在給定的空間結構中得到優(yōu)化的形狀及材料分布形式，通過在結構區(qū)域內(nèi)形成一些孔洞而去除結構中多余的材料，以達到結構最優(yōu)。與形狀優(yōu)化和尺寸優(yōu)化相比，拓撲優(yōu)化能夠在概念設計階段就提供一種合理而又富有啟發(fā)性的結構形式[5-7]，在一些零部件的輕量化設計中已得到廣泛應用。本文以結構拓撲優(yōu)化方法為理論基礎，基于HyperWorks中Optistruct優(yōu)化軟件，以一座大橋豎向承載力是 17 500 kN 的多向球型支座下座板為研究對象，以剛度最大化為設計目標，對支座下座板進行拓撲優(yōu)化設計，旨在為橋梁支座輕量化設計提供一種新的設計思路。

1　初始設計模型分析

根據(jù)支座初始設計尺寸建立支座下座板三維模型，并在HyperMesh中對模型進行前處理。采用四面體進行網(wǎng)格劃分，建立的模型共包含 120 863 個單元和 27 539 個節(jié)點。材料彈性模量為 210 GPa，密度為7.8×103kg/m3，泊松比為0.3。根據(jù)支座工作原理可知，支座下座板主要承受來自中座板的豎向荷載，荷載通過中座板球面?zhèn)鬟f給支座下座板，然后再傳遞給墩臺。根據(jù)支座實際工況，對下座板模型施加邊界條件，即對下座板球面施加F=17 500 kN的集中力。為保證集中力均勻分布，將球面上節(jié)點進行多點耦合，下座板底面進行全約束。荷載及約束模型見圖1。

圖1　荷載及約束模型

對初始設計模型進行分析，計算其變形及應力，下座板變形及應力云圖如圖2所示。可知，支座下座板最大變形為0.05 mm，最大變形發(fā)生在下座板的球面區(qū)域，由上到下變形逐漸變小。最大應力為38.42 MPa，最大應力出現(xiàn)在球面中心，由中心向周邊逐漸減小。另外，在外圓柱面根部也有較大應力區(qū)域。

圖2　下座板變形及應力云圖

2　拓撲優(yōu)化設計

2.1　拓撲優(yōu)化數(shù)學模型

拓撲優(yōu)化作為一種優(yōu)化設計方法，同樣具有優(yōu)化設計3要素：目標函數(shù)、設計變量及約束條件。本文以支座下座板體積為約束條件，以支座下座板剛度最大化(最小柔順度)為設計目標，對支座下座板進行輕量化設計。在體積約束下的結構最大化剛度問題[8]可以描述為

Findx={x1,x2,…,xi},i=1,2,…,N

(1)

式中：x為設計變量；xi為單元設計變量，包括1和一個很小的值xmin；C(x)為單元結構柔順度；U為位移矩陣；K為總剛度矩陣；ui為單元位移矩陣；ki為單元剛度矩陣；N為結構單元數(shù)量；p為材料懲罰因子;V*為初始結構總體積；Vi為單元體積。

Optistruct軟件中采用的是SIMP材料插值模型。在SIMP方法中對于設計域內(nèi)的單元，其彈性模量可引入如下關系式[8]

(2)

式中，E0為材料的真實楊氏模量。

對于不需要去除的單元，由于設計變量xi=1，因此其楊氏模量就是材料的真實楊氏模量。對于需要去除的單元，設計變量xi=xmin，再加上材料懲罰因子指數(shù)，此時該單元的楊氏模量與真實楊氏模量相比差了幾個數(shù)量級(取決于xmin和p值)，是一個很小的數(shù)，這樣的單元一般被稱為軟單元或空單元。最后通過推導單元靈敏度公式得到單元的靈敏度值[8]為

(3)

根據(jù)單元靈敏度值對單元進行增刪操作，經(jīng)過一定次數(shù)的迭代和循環(huán)便可得到最優(yōu)的拓撲形式。

2.2　支座下座板剛度優(yōu)化

考慮支座最初拓撲形式未知，首先要根據(jù)支座實際工況確定支座邊界條件。支座下座板通過地腳螺栓與墩臺相連來傳遞梁部的水平荷載。因此，支座下座板地腳螺栓孔周圍區(qū)域必須進行約束，而下座板底面中間區(qū)域為不確定設計區(qū)，可不進行約束。因此可以將底面進行全約束或部分約束，在2種不同的邊界條件下分別進行優(yōu)化設計。底面模型見圖3。考慮到球型支座需具備傳力、滑移等正常功能，將支座下座板分為設計區(qū)域與非設計區(qū)域，分別對應圖中綠色部分和黃色部分。非設計區(qū)域在優(yōu)化過程中，只參與結構的有限元分析，但不進行單元的更新操作。

圖3　底面模型

在Optistruct軟件中，分別定義支座下座板的目標函數(shù)、約束條件、設計變量等參數(shù)，然后進行拓撲優(yōu)化計算。支座下座板在進行拓撲優(yōu)化后保留了密度值在0.3以上的單元后的最終結構，底面非全約束模型密度圖視角1和視角2分別見圖4(a)和圖4(b)。

圖4　底面非全約束模型密度圖

理論上，模型中應該只存在2種單元，即密度值為0的單元和密度值為1的單元。密度值為0的單元代表空單元，對結構貢獻度最小，可以刪除。密度值為1的單元代表實單元，對結構貢獻度最大，應該保留。實際上，即使設定了材料懲罰因子對這些單元進行懲罰，結構中依然會存在較多中間密度單元，仍不能使它們的密度值向0或向1逼近。根據(jù)經(jīng)驗，一般將密度值在0.3以上的單元進行保留，低于0.3的單元進行刪除。底面全約束模型密度圖見圖5。

圖5　底面全約束模型密度圖

對比2種模型密度圖可知，底面非全約束模型在結構優(yōu)化過程中，支座下座板中間部分材料對結構貢獻度較低，通過逐步刪除該部分材料形成了一種底板中空的結構形式，達到了結構的剛度最優(yōu)。底面全約束模型通過逐漸刪除外圓材料，以外圓中縮形式達到了支座下座板的剛度最優(yōu)。

經(jīng)過拓撲優(yōu)化形成的密度圖形式相對復雜，不能直接用于實際生產(chǎn)，還必須進行二次設計?？紤]中空設計會造成比較大的墩臺應力，因此只對底面全約束模型的拓撲結果進行二次設計。

3　支座下座板二次設計及模型驗證

根據(jù)拓撲優(yōu)化結果密度圖并考慮可鑄造性能及可加工性，對支座下座板進行二次設計。設計中，主要對下座板外圓直徑進行了一定程度的減小，二次設計后支座下座板三維模型見圖6。

圖6　二次設計后支座下座板三維模型

對優(yōu)化后模型再次進行有限元分析，以驗證模型是否滿足強度和剛度要求。優(yōu)化后模型的變形及應力云圖見圖7?？芍?，拓撲優(yōu)化后支座下座板最大變形(0.15 mm)發(fā)生在下座板上部圓周區(qū)域;最大應力(82.22 MPa)發(fā)生在下座板外圓的中間部位。

圖7　優(yōu)化后模型的變形及應力云圖

支座下座板優(yōu)化前后參數(shù)對比如表1所示?？芍?，支座下座板優(yōu)化后質(zhì)量減小了21.2%，最大位移由0.05 mm增加到0.15 mm，最大應力由38.42 MPa增加到82.22 MPa。根據(jù)GB 50017—2003《鋼結構設計規(guī)范》[9]可知，下座板最大變形不超過0.5 mm，容許應力為150 MPa，優(yōu)化后結構強度和剛度滿足要求。通過拓撲優(yōu)化，在減小結構剛度與強度的情況下達到了輕量化的目的。

表1　支座下座板優(yōu)化前后參數(shù)對比

4　結論

本文以橋梁支座為研究對象，利用結構拓撲優(yōu)化設計思想，在2種不同的邊界條件下對下座板進行了輕量化設計，得到以下結論：

1)對于底面非全約束模型，結構在優(yōu)化過程中，通過分析單元靈敏度判定支座下座板中間部分材料對結構的貢獻度較低，通過逐步刪除該部分材料，得到了一種底板中空的結構形式。該結構雖然不能滿足墩臺應力要求，但是相對于初始設計模型，其材料消耗大大降低。同時，該結構形式給設計者預留了較大的設計空間，為支座實現(xiàn)更多功能(如測力、隔振)提供了更多可能。

2)對于底面全約束模型，結構在優(yōu)化過程中，通過逐漸刪除外圓部分材料，支座下座板形成了一種外圓中縮的結構形式。

3)通過對外圓中縮結構二次構型及再分析，底面全約束模型拓撲優(yōu)化得到的支座下座板結構重量減小了21.2%，驗證了拓撲優(yōu)化理論在橋梁支座輕量化中應用的可行性，為其他橋梁支座結構優(yōu)化設計提供了思路和依據(jù)。

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