基于學(xué)生數(shù)學(xué)現(xiàn)實 提升計算認知水平
——以北師大版數(shù)學(xué)四年級上冊《三位數(shù)乘以兩位數(shù)》一課為例

林麗珍

（泉州師范學(xué)院附屬小學(xué)，福建 泉州 362000）

學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實不僅包括已掌握的知識技能，已積累的一些數(shù)學(xué)思想方法和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，還包括學(xué)生在學(xué)習(xí)的邏輯起點的基礎(chǔ)上在課堂當下所得到的數(shù)學(xué)發(fā)展。具體而言，就是隨著教學(xué)的過程，走完第一步，學(xué)生獲得一定的經(jīng)驗，這些經(jīng)驗也就成為他們進入下一步學(xué)習(xí)的支撐，到了第二步獲得的經(jīng)驗，又成為第三步學(xué)習(xí)的支撐。因此，學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實是動態(tài)的、不斷完善和發(fā)展的。

在教學(xué)中，如何基于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，合理地解讀、處理教材，采用有效的教學(xué)策略，在達成教學(xué)目標的同時，從中促進學(xué)生認知水平和能力的提升和發(fā)展呢？下面以北師大版數(shù)學(xué)《三位數(shù)乘以兩位數(shù)》一課為例，就如何基于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，提升學(xué)生乘法計算的認知水平提出一些策略。

一、進行前測訪談，確定教學(xué)重點難點

前測的目的在于找準學(xué)生的認知起點，找到學(xué)生在舊知與新知間的連接點?！度粩?shù)乘以兩位數(shù)》一課是安排在四年級上冊，學(xué)生在三年級下冊已經(jīng)學(xué)習(xí)了兩位數(shù)乘兩位數(shù)，通過點子圖、表格法、拆分的策略等理解乘法豎式計算的道理。學(xué)生已經(jīng)具備什么水平的運算能力呢？本節(jié)課的重難點在哪？筆者對一個班級的學(xué)生做了簡單的前測：計算 211×42 ，并進行簡單訪談。參與測試53人，有30人正確計算出結(jié)果，23人出現(xiàn)錯誤，正確率是56.6%。在正確計算出結(jié)果的方法中分別有列豎式、橫式拆分、豎式拆分三種，但是沒出現(xiàn)運用結(jié)合律拆分和畫表格方法。從前測結(jié)果分析可知，大部分學(xué)生能借助已有的經(jīng)驗來嘗試解決新的問題，有一定的知識遷移能力，還有一部分學(xué)生會正確運用拆分乘數(shù)再分別相乘的策略進行轉(zhuǎn)化，但是還有近一半的學(xué)生在綜合運用舊知解決新問題時存在著差距。通過對學(xué)生錯誤進行分類歸因，找到學(xué)生在舊知與新知間的差距以及對新知認識上的盲區(qū)，從而確定了本課的重難點：如何根據(jù)乘法的意義對其中的一個乘數(shù)進行正確的拆分；加強對豎式計算中“位值”的理解。

二、基于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，突出“通則通法”的教學(xué)

教材在三年級上冊安排學(xué)習(xí)兩三位數(shù)乘一位數(shù)的豎式計算過程中就呈現(xiàn)了算式的多樣化，其中用表格的方法形象直觀地體現(xiàn)位值的思想；此外在兩位數(shù)乘兩位數(shù)教學(xué)時，教材也呈現(xiàn)了表格法，并讓學(xué)生結(jié)合直觀的點子圖說說兩者間的聯(lián)系和區(qū)別，以幫助學(xué)生理解算理算法，并再次體會算法的多樣化。經(jīng)過三年級兩個學(xué)期的學(xué)習(xí)，大部分學(xué)生已經(jīng)掌握了用豎式計算乘法的方法，在認知中認可了豎式計算的簡潔合理性（如在前測中沒有一個學(xué)生想到用表格法，也沒有出現(xiàn)用乘法結(jié)合律來拆分計算）?？梢?，在學(xué)生的學(xué)習(xí)過程中，這兩種算法已經(jīng)自然地被淘汰，他們都能下意識地在多種算法中“尋求合理簡潔的運算途徑解決問題”。

基于上述的分析，筆者認為：三年級的兩位數(shù)乘兩位數(shù)是學(xué)生學(xué)習(xí)乘法的一個重要階段，是一個質(zhì)變的過程，而四年級的乘數(shù)是三位數(shù)或四位數(shù)的乘法，只是一個量變、類推的過程，而且在后續(xù)的學(xué)習(xí)中也沒有再用到表格法。此外，根據(jù)乘法結(jié)合律進行拆分也不具有普遍性（當乘數(shù)是質(zhì)數(shù)時）。在四年級再次呈現(xiàn)算法多樣化已經(jīng)沒有多大的必要，應(yīng)該把教學(xué)的目標和重難點定位在“明算理懂算法”，即對口算和豎式計算這兩種“通則通法”的理解掌握，這些通則通法亦是今后計算小數(shù)乘法的重要基礎(chǔ)。

三、重視理解掌握，讓數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)真正發(fā)生

大量證據(jù)證明，學(xué)習(xí)的知識是表層的，學(xué)生記住了知識，并沒有理解?！按嗳踔R綜合征”就是美國學(xué)者大衛(wèi)·珀金斯針對學(xué)生知識掌握不到位的情況提出來的一個比喻。［1］每門學(xué)科的核心概念并不多，但抓住核心概念十分重要。計算教學(xué)的核心就是對算理的理解。結(jié)合奧蘇貝爾、布盧姆等學(xué)者以及哈佛大學(xué)的“零點研究”項目提出的有關(guān)“理解”的4個維度（一是能不能建立起知識間的聯(lián)系；二是能不能做出判斷以及新的探索；三是能不能運用知識；四是能不能用多種形式表達出來）。［1］本節(jié)課的重點就是讓學(xué)生根據(jù)乘法的意義來解釋豎式中每一步計算的是什么，然后再引導(dǎo)學(xué)生把“橫式拆分法”與豎式計算進行連接，比較、溝通它們之間的聯(lián)系，發(fā)現(xiàn)其算法本質(zhì)上都是“先分再合”，不同的是記錄、書寫的形式不一樣。

在三年級學(xué)習(xí)兩位數(shù)乘以兩位數(shù)時，教師對突破“十位上的乘積如何記錄到相應(yīng)的數(shù)位上”這個難點也費了一番功夫，但從前測可以看出，還是有一部分學(xué)生只是機械記住，沒有真正理解，所以本課的難點在于加深對豎式計算中“位值”的理解，弄清楚豎式中每次乘得的積的數(shù)位和數(shù)值之間的關(guān)系，強調(diào)每個數(shù)字表示的數(shù)值是多少，不能停留于位值中對“位”的表面理解，而應(yīng)強化位值中“值”的理解。［2］特別是十位上的乘積，如114ד2”（2個十），不能僅僅讓學(xué)生記住結(jié)果要對齊在十位，更要明白為什么要與十位對齊，因為這個“2”在十位，表示2個十，2個十乘114，得到的是228個十，所以把8寫在十位上。然后再與先前學(xué)的乘法豎式進行比較，讓學(xué)生明白這節(jié)課新增的百位上這個數(shù)字與其他數(shù)字相乘的計算結(jié)果該怎么記錄。這樣著眼于學(xué)生對位值的理解，讓學(xué)生“循理入法”，感受到“法中有理、理法交融”，在掌握算法的同時理解算理。

四、加強適度訓(xùn)練，形成一定的運算能力

在當前的計算教學(xué)中，有的教師因為沒有對學(xué)情充分地把握，對教材呈現(xiàn)的內(nèi)容也沒有進行恰當?shù)靥幚恚谝还?jié)課中把很多時間花在算法多樣化的教學(xué)上。因為片面地強調(diào)算法多樣化，導(dǎo)致鞏固練習(xí)的時間得不到保證。計算是一種技能，如果沒有通過訓(xùn)練，便難以達成?！读x務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標準（2011年版）》中教學(xué)建議的第三條就明確指出，“基本技能的形成，需要一定量的訓(xùn)練”。因此，筆者認為，但凡計算課，不能光靠“紙上談兵”，一定要讓學(xué)生有一定量時間的筆頭訓(xùn)練，要注重訓(xùn)練的實效性，才能保證學(xué)生形成相應(yīng)的計算技能。

五、基于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，嘗試評價和建構(gòu)

英國南安普敦大學(xué)的范良火教授一次在北師大版教材培訓(xùn)活動中提出關(guān)于在算法教學(xué)中建構(gòu)學(xué)生認知發(fā)展模型的觀點，他把學(xué)生的認知水平分為“知識和技能”“理解和掌握”“評價和建構(gòu)”三個層級。根據(jù)范教授的觀點，基于學(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，筆者認為，在本課新知教學(xué)后，可以讓學(xué)生嘗試進行“四位數(shù)乘以兩位數(shù)”或“三位數(shù)乘以三位數(shù)”的計算，即根據(jù)學(xué)生在課堂當下獲得的數(shù)學(xué)現(xiàn)實（三位數(shù)乘兩位數(shù)的算理算法），引導(dǎo)他們進行學(xué)習(xí)遷移，拓展延伸到同類的計算中。教師還可以根據(jù)學(xué)情介紹臺灣的用“視窗”來記錄心算的結(jié)果的方法、古印度從高位算起的方法等，讓學(xué)生以小組為單位選擇其中一種方法，進行觀察、分析和評價，使其不僅明白“雖算法不同，但算理相同”，而且通過評價交流，進一步感受乘法計算的歷史發(fā)展變化，從而拓展學(xué)生的視野，建構(gòu)和優(yōu)化學(xué)生的認知結(jié)構(gòu)，以期達到計算的第三個認知水平。

作為一名數(shù)學(xué)教師需要了解學(xué)生學(xué)習(xí)某一內(nèi)容時的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，知道學(xué)生是怎樣學(xué)習(xí)這一數(shù)學(xué)內(nèi)容的、可能會遇到什么困難等，才能知道該如何處理教材，實施有效的教學(xué)活動?；趯W(xué)生的數(shù)學(xué)現(xiàn)實，才能讓教學(xué)設(shè)計有依據(jù)、讓教學(xué)活動有方向、讓教學(xué)進程有次序、讓教學(xué)結(jié)果有參照，學(xué)生在課堂學(xué)習(xí)中才能發(fā)揮自主能動性而達到最大的自我發(fā)展，從而構(gòu)建和諧的生本課堂。

［1］郝京華．學(xué)生可能真的從來沒有學(xué)會過！請警惕“脆弱知識綜合征”［EB/OL］．［2017-10-31］．http ：//www．yxtvg．com/toutiao/5139319/20171031A07DTF00．html．

［2］孫興華，馬云鵬．小學(xué)數(shù)學(xué)教師如何處理學(xué)生計算錯誤的研究——以兩位數(shù)乘兩位數(shù)為例［J］．數(shù)學(xué)教育學(xué)報，2016（5）．