定積分與不定積分第二類換元法不同形式的比較研究

（常州劉國鈞高等職業(yè)技術(shù)學(xué)校 江蘇 常州 213000）

0.引言

換元法作為積分學(xué)學(xué)科教學(xué)中的重要內(nèi)容之一，對學(xué)生進行數(shù)學(xué)解題有著極為重要的幫助，如何幫助學(xué)生掌握定積分與不定積分換元法在數(shù)學(xué)解題中的應(yīng)用已經(jīng)成為高等數(shù)學(xué)學(xué)科的關(guān)鍵課題。特別是第二類換元法，在積分學(xué)與高等數(shù)學(xué)中的應(yīng)用十分廣泛，更是學(xué)生學(xué)好積分學(xué)的基礎(chǔ)內(nèi)容。但由于一元函數(shù)積分學(xué)的求解過程較為復(fù)雜，學(xué)生對定積分與不定積分的第二類換元法的區(qū)別與聯(lián)系理解不夠深入，這就使學(xué)生在求解一元函數(shù)積分問題時難以入手。其實，一元函數(shù)積分學(xué)的本質(zhì)主要在于對兩個問題進行解決，其一是在某個函數(shù)已知的基礎(chǔ)上對原函數(shù)問題進行求解；其二便是對定積分進行計算。而換元法，特別是第二類換元法更是對這兩個問題進行高效解決的重要方法。為此，本文便對定積分與不定積分在第二類換元法的表述進行探討。

1.換元法在數(shù)學(xué)解題中的重要意義

換元法是高等數(shù)學(xué)與微積極學(xué)科中的一種非常重要的數(shù)學(xué)方法，它能夠?qū)⒃痉浅?fù)雜的問題進行轉(zhuǎn)化，使其能夠轉(zhuǎn)換為較為簡單的問題來進行解決。在對分式方程、高次方程、無理方程的解題過程中都能應(yīng)用到換元法，它的關(guān)鍵之處在于能夠?qū)?shù)學(xué)方程中的某種表達形式中的相同部分作為一個整體來進行表示，并利用一種全新的字母來對其進行表示，從而實現(xiàn)對復(fù)雜數(shù)學(xué)方程的簡化，將原有復(fù)雜的數(shù)學(xué)方程轉(zhuǎn)化為能夠進行解決的較為簡單的一元一次方程或是一元二次方程，從而達到解決數(shù)學(xué)問題的目的。此外，換元法還能夠?qū)δ承┎坏仁絾栴}進行有效的解決，并且解決過程較為簡便。換元法的核心之處在于設(shè)元，人們在對換元法進行實際應(yīng)用時，需要考驗多種意識，如縝密意識、結(jié)構(gòu)意識、目標意識、層次意識、對稱意識等，這些意識的強弱直接關(guān)系到換元法的應(yīng)用程度，通過對這些意識的良好形成，能夠極大提高換元法的解題能力。換元法的本質(zhì)在于轉(zhuǎn)換，它能夠?qū)崿F(xiàn)將高次轉(zhuǎn)化成低次、將超越式轉(zhuǎn)化成代數(shù)式、將無理式轉(zhuǎn)化成有理式，這使其在函數(shù)、三角、不等式、數(shù)列等數(shù)學(xué)問題中得到了非常廣泛的應(yīng)用。換元法主要有兩種形式，分別為第一類換元法和第二類換元法，第一類換元法相比于第二類換元法，在目的上都是相同的，它們都是將數(shù)學(xué)中的變量進行轉(zhuǎn)換與替代，從而使原積分進行轉(zhuǎn)化，從而形成最基本的積分公式，或是較為簡單的積分。當然，第一類換元法與第二類換元法也有不同之處，首先，第一類換元法中的m=φ(t)是分離的，而第二類換元法則是一開始就被選中的。其次，第一類換元法對m=φ(t)無限制，而第二類則要求m=φ(t)具備單值反函數(shù)。最后，第一類換元法中的m=φ(t)是自變量，而第二類換元法中m=φ(t)的是因變量。本文便重點探討了定積分與不定積分的第二類換元法不同形式的區(qū)別。

2.定積分與不定積分的第二類換元法研究

2.1 定積分的第二類換元法

在定積分公式中，第二類換元法的表述如下：假設(shè)區(qū)間[a,b]中有g(shù)(m)連續(xù)，在區(qū)間[α，β]中 m=φ(t)存在連續(xù)導(dǎo)數(shù)，該連續(xù)導(dǎo)數(shù)的值域?qū)儆趨^(qū)間[a,b]中，并且能夠符合 φ(β)=b 與 φ(α)=a，則第二類換元法為，當區(qū)間[a,b]中 φt的值域大于其區(qū)間范圍時，該定理仍舊在一定程度上成立。這是因為只要被積函數(shù)g(m)的連續(xù)范圍中包括 m=φ(t)的值域，同時能夠符合 φ(β)=b 和 φ(α)=a 這兩個條件，則該定理仍舊能夠成立。

2.2 不定積分的第二類換元法

在不定積分中，第二類換元法的表述如下：假設(shè)m=φ(t)是一種具備可推導(dǎo)性、單調(diào)性特征的函數(shù)，并且存在φt(t)≠0這一條件時，并對g[φ(t)]φt(t)的取值進行假設(shè)，使其具有原函數(shù)，則第二類換元法的推導(dǎo)公式為 ∫g(m)dm=?∫g[φ(t)]φt(t)dt」t=φ-1(m)，在該推導(dǎo)公式中，函數(shù) m=φ(t)中的反函數(shù)即為φ-1(m)，根據(jù)換元法能夠?qū)ζ溥M一步推導(dǎo)，從而使其推導(dǎo)為 ∫g(m)dmm-φ(t)=∫g[φ(t)]φt(t)dt=C+G(t)=C+G(φ-1(m))。

3.定積分與不定積分第二類換元法不同形式的比較研究

3.1 定積分與不定積分在第二類換元法中過程的比較

定積分與不定積分是積分學(xué)科教學(xué)中的基礎(chǔ)部分，其重要性可以說是不言而喻的，它們在許多方面有很多相同之處，尤其是牛頓-萊布尼茲公式將定積分與不定積分進行了某種程度的聯(lián)系，這使定積分與不定積分在進行數(shù)學(xué)解題過程中都能夠使用換元積分法，而其中尤以第二類換元法，即變量置換法中存在很多共通之處。在不定積分采用第二類換元法進行解題的最后環(huán)節(jié)，需要對m=φ(t)進行變換，同時還要對t=φ-1(m)進行逆變換，以此實現(xiàn)對變量m的還原。因此在對m=φ(t)進行變換時，必須要確保公式中具備能夠逆變換的條件，即t=φ-1(m)，而這就使我們能夠了解到m=φ(t)需要具備一個前提，即其必須在所在的區(qū)間中具備單調(diào)性特征，并且要確保對函數(shù)進行還原時，其所推導(dǎo)出的函數(shù)G(φ-1(m))要確保是可微的。因此，這就需要函數(shù)φ(m)的反函數(shù)中的導(dǎo)數(shù)?φt(m)」是成立的，所以，m=φ(t)的導(dǎo)數(shù)要確保在其所在區(qū)間中不能與零相同，也就是φt(t)≠0。綜上所述，在對不定積分采用第二類換元法進行變換時，m=φ(t)代表m的取值在t的某一區(qū)間中是具備可微性、單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)連續(xù)性的，并且要同時滿足φt(t)≠0才行。而定積分的第二類換元法則在對m=φ(t)進行變換時不對其所在區(qū)間中的m取值單調(diào)性進行要求，之所以不對其單調(diào)性進行要求，其原因在于利用換元法對新變量的積分上限、下限及補積函數(shù)進行推導(dǎo)出后，直接便能夠求得相應(yīng)的定積分，而不定積分相比于定積分來說，則要在計算的最后環(huán)節(jié)中還要對變量進行還原。

3.2 定積分與不定積分在第二類換元法中公式技巧的比較

定積分在第二類換元法中，可以實現(xiàn)左右兩端的互相推導(dǎo)，即既可以從左端向右端進行推導(dǎo)，也可以從右端向左端進行推導(dǎo)，而不定積分的第二類換元法則不然，它只能從左端向右端進行推導(dǎo)，但從右端向左端進行推導(dǎo)時所采用的方法卻是第一類換元法，也就是湊微分法。舉例說明這兩者的不同。例如，對定積分進行求解，在進行解題時，需要對該定積分進行變形，變形過程為，在變形以后，設(shè)定cosm=t，之所以這樣設(shè)定，是因為當時t的值為0，而當m=0時則t的值為1。因此可以推導(dǎo)出。需要注意的是如果該定積分公式中并沒有對新變量進行明顯寫出，則該定積分的取值所設(shè)定的上下限也應(yīng)盡量不要變更。并且，還需要注意不能將該積分推導(dǎo)為，因為這樣做會使結(jié)果產(chǎn)生重大錯誤。此外，還需要注意第二類換元法中的[α,β]值域中的上下限必須要與原有定積分中的[a,b]值域的上下限進行相互對應(yīng)，不需要對α與β的大小進行考慮。也就是說在對定積分采用第二類換元法進行換元的同時，必須要對上下限進行替換，并且要確保上下限是呈對應(yīng)關(guān)系的。而不定積分的第二類換元法來說，與定積分相比則根本不存在積分限的問題。

3.3 定積分與不定積分在第二類換元法中必要條件的比較

在定積分的第二類換元法中，教材對替換函數(shù)的單調(diào)性約定為單值函數(shù)，這說明t值無論是哪個，都有與其相對應(yīng)的唯一的m值，而這也正是定積分在第二類換元法中的必要條件。舉例說明，對定積分采用第二類換元法進行計算，在進行換元時如果將其函數(shù)替換為m2=t，并且當m取值為-1時，t的取值為1，當m的取值為1時，則t的取值為1,通過這樣的計算，其結(jié)果必須是不正確的，之所以會不正確，正是因為其替換函數(shù)不是單值函數(shù)，也就是m2≠1。相比于定積分在第二類換元法中的必要條件，不定積分在第二類換元法中，所采用的必要條件與定積分相同，也就是說，不定積分的第二類換元法對替換函數(shù)的單調(diào)性也必須是單值函數(shù)。

3.4 定積分的第二類換元法的兩種計算方法

定積分的第二類換元法具備兩種計算方法，這是因為Newton-Leibniz公式能夠根據(jù)原函數(shù)來對定積分進行更加便捷的計算。這也使其能夠通過第二類換元法來對積分進行兩種形式的計算。舉例說明，例如對定積分采用第二類換元法進行計算，則第一種計算方法是將該定積分中的原函數(shù)進行求出，然后設(shè)定m=sint，則可以得出dm=cosmdm,然后將其進行推導(dǎo)，從而得出，因此，可以計算出的定積分為。第二種計算方法是將m=sint進行設(shè)定，則可以計算出dm=costdt，設(shè)定當m取值為0時，則t的取值為0，當m的取值為1時，則t的取值為。并且能夠?qū)Χɡ項l件進行滿足，由此可以計算出。從以上兩種計算方法可以看出，無疑第二種計算方法最為簡便，它省略了將新變量進行換回的過程，這也使其相比于不定積分的第二類換元法來說，計算要更加便捷。

4.結(jié)語

總而言之，牛頓-萊布尼茲公式實現(xiàn)了定積分與不定積分的內(nèi)部聯(lián)系，這也使定積分與不定積分都能夠利用第二類換元法來對數(shù)學(xué)問題進行解決，從而極大提高了數(shù)學(xué)解題效率，推動了微積分學(xué)科的發(fā)展。而第二類換元法相比于第一類換元法來說，它更是第一類換元法的一種延伸與擴展，這也使其在數(shù)學(xué)解題過程中得以廣泛的應(yīng)用。