非奇異快速終端二階滑模有限時間制導律

李　炯, 張　濤, 雷虎民, 葉繼坤, 王華吉

(空軍工程大學防空反導學院, 陜西 西安 710051)

0　引　言

近年來,彈道導彈和高超聲速飛行器等高速目標不斷涌現(xiàn),給各國的防空反導系統(tǒng)帶來了嚴峻的挑戰(zhàn)。攔截高速目標時,導彈的末制導時間只限于幾秒,為了實現(xiàn)對目標直接碰撞殺傷,需要使彈目視線(line of sight, LOS)角速率在有限時間內(nèi)收斂到零附近的較小鄰域內(nèi),從而使導彈以準平行接近狀態(tài)殺傷目標[1]。實際應用中,尋的導彈的自動駕駛儀特性通常會使制導精度變差,尤其是對機動目標。因此,研究考慮自動駕駛儀動態(tài)特性的有限時間收斂制導律具有重要的意義。

文獻[2-4]針對傳統(tǒng)基于有限時間Lyapunov穩(wěn)定性理論獲得的導引規(guī)律只能保證當時間趨于無窮時視線角速率收斂到零的問題,基于非線性控制有限時間穩(wěn)定理論,設計了簡潔的有限時間收斂變結(jié)構(gòu)導引規(guī)律,并提出了制導系統(tǒng)有限時間收斂的充分條件,但收斂速度較慢。文獻[5-7]針對制導律設計時選擇線性滑模面,跟蹤誤差收斂時間較長的問題。采用Terminal滑?？刂撇呗?在滑模面中引入非線性函數(shù),提高了收斂速度,但造成了系統(tǒng)的奇異問題。文獻[7-8]針對上述問題,基于非線性終端控制理論設計了非奇異終端滑模制導律,解決了奇異問題,但將目標機動設為干擾因素,只適用于靜止目標或弱機動目標,不適用于目標做大機動場景,而且未知擾動會造成系統(tǒng)強烈的抖振。文獻[9-10]設計了非線性干擾觀測器來估計目標機動,但需要目標機動的上界,這通常無法獲得,且對噪聲敏感。文獻[11]考慮了測量噪聲的干擾,設計了擴張觀測器對不確定項進行估計和補償,雖不需要任何先驗信息,但并未證明估計誤差能在有限時間收斂。

LOS角是制導律設計的關(guān)鍵參數(shù),通常通過導引頭測量獲取,但在測量過程中存在噪聲干擾,且其微分量通常無法獲得。近年來,跟蹤微分器(tracking differentiator, TD)被廣泛采用解決上述問題[12-18]。TD的基本概念最先由我國韓京清研究員提出,并給出了3種具體的TD[19],但其跟蹤和微分效果并不理想,國內(nèi)外學者對TD的設計方法進行了深入研究,已提出多種形式的TD[15-16]。文獻[16]提出了混合微分器,即在設計微分器時,同時引入線性環(huán)節(jié)和非線性環(huán)節(jié),非線性環(huán)節(jié)確保了微分器收斂的快速性,線性環(huán)節(jié)則有效避免了輸出顫振,但是形式過于復雜,參數(shù)鎮(zhèn)定困難,不利于工程應用。文獻[17]設計了反正切形式的新型跟蹤微分器,但是設計參數(shù)過多,且噪聲抑制能力不強。

針對上述問題,首先建立了包含導彈自動駕駛儀動態(tài)特性的非線性彈目運動模型;針對普通快速終端滑模控制產(chǎn)生的奇異問題和抖振問題,設計了非奇異快速終端二階滑模制導律(nonsingular fast terminal second-order sliding mode guidance law,NFTG),并對其穩(wěn)定性和有限時間收斂特性進行了嚴格證明,給出了收斂時間的具體表達式;隨后設計了新型有限時間收斂微分器(finite-time-convergent differentiator, FD),用于抑制LOS角速率測量誤差和估計其一階微分量,并將其應用到擴張觀測器當中,用來對不確定項進行估計;最后通過數(shù)字仿真對所設計的制導律進行了仿真驗證。

1　導彈-目標相對運動描述模型

導彈與目標的相對運動如圖1所示。

圖1　導彈目標三維攔截幾何關(guān)系圖

其中OxIyIzI為慣性坐標系,OxLyLzL為視線坐標系,r為導彈和目標的相對距離,qε和qβ分別為視線傾角和視線偏角,θm、θt、φm和φt分別為導彈和目標的彈道傾角和彈道偏角。為便于制導律研究,可將末制導過程解耦成縱向平面和側(cè)向平面運動分別進行研究,本文主要針對導彈縱向平面展開研究。

假設在充分短的時間Δt內(nèi),xi、yi、zi、qε的增量分別為Δxi、Δyi、Δzi、Δqε,那么

(1)

若Δt充分小,則Δqε(t)為一個充分小的量,因此式(1)可化簡為

(2)

對式(2)兩端進行二次求導并化簡,可得

(3)

將導彈自動駕駛儀視作一階慣性環(huán)節(jié),則

(4)

式中,τ為導彈自動駕駛儀時間常數(shù);amy為獲得的導彈加速度;u(t)為提供給導彈自動駕駛儀的制導指令加速度。

(5)

由式(5)可得

(6)

(7)

對式(5)兩端進行微分,可得

(8)

結(jié)合式(4)、式(6)、式(8),化簡可得

(9)

考慮導彈自動駕駛儀延遲的彈目相對運動學模型可表示為

(10)

2　非奇異快速終端二階滑模有限時間收斂制導律設計

2.1　制導律設計

選取非奇異快速終端滑模面設計為

(11)

式中,α>0；β>0；p和q為正的奇數(shù),且1

(12)

設計二階滑模制導律為

(13)

式中,k1>0,k2>0,λ>2為制導律設計的參數(shù);由于λ>2, |s|1-1/λsgn(s)和|s|1-2/λsgn(s)均為非光滑的連續(xù)函數(shù),因此制導律是連續(xù)控制信號,進而可以大幅度地削弱滑?？刂频母哳l抖振,有利于實際的工程應用。

2.2　穩(wěn)定性分析

將式(13)代入式(12)中可得

(14)

定義以下

w1=s

(15)

則

(16)

考慮Lyapunov函數(shù)，即

(17)

V正定,則

(w2-k1|w1|1-1/λsgn(w1))+

(2w2-k1|w1|(λ-1)/λsgn(w1))

(-k2|s|1-2/λsgn(w1))-

(18)

將式(18)寫成如下矩陣形式

(19)

其中,w=[|w1|1-1/λsgn(w1),w2]T

2.3　有限時間收斂特性證明

(1)V是正定函數(shù);

(2) 存在一個實數(shù)c>0、κ∈(0,1)和原點開鄰域V?D,滿足

(20)

則原點是系統(tǒng)的有限時間的穩(wěn)定平衡點,且

(21)

證明將式(17)寫成如下矩陣形式,即

V=wTPw

(22)

其中

由于k2>0、λ>2,易驗證矩陣P正定且函數(shù)V徑向無界,即

ρmin(P)‖w‖2≤V≤ρmax(P)‖w‖2

(23)

其中,ρmin(·)和ρmax(·)分別表示矩陣(·)的最小和最大特征值,‖·‖表示矩陣(·)的歐幾里得范數(shù)。

-ρmin(Q)‖w‖(2λ-3)/(λ-1)≤-ρmin(Q)V(2λ-3)/(λ-1)

(24)

即

(25)

式中,c=ρmin,κ=(2λ-3)/(λ-1)

其收斂時間為

(26)

故s可在有限時間tr內(nèi)收斂到零。下面證明當t=tr、s(tr)=0、x2(tr)≠0時,x2可在有限時間ts內(nèi)收斂到零。

取Lyapunov函數(shù)為

(27)

對式(27)進行微分,可得

(28)

由于當t≥tr時,s(tr)=0,故

化簡可得

化簡可得

(29)

由1

根據(jù)引理1,易知x2可達到有限時間收斂,其收斂時間為

(30)

證畢

3　有限時間收斂微分器ESO設計

3.1　有限時間收斂微分器FD設計

對于如下系統(tǒng)

(31)

式中,x1,x2,…,xn∈R為狀態(tài)變量；fA(·)為連續(xù)函數(shù)且f(0,…,0)=0。

參考文獻[14]可得如下新型FD

(32)

式中,ζ1,ζ2,…,ζn為系統(tǒng)狀態(tài)變量；υ(t)為帶有噪聲的輸入信號；ζ1為去除噪聲后的跟蹤信號；ζi為υ(t)的第i-1階導數(shù)的估計值,i=2,3,…,n。R、χi(i=1,2,…,n)∈R+為待設計參數(shù)。則存在φ>0與ιφ>n使得

(33)

式中,O((1/R)ιφ-i+1)表示ζi與υ(i-1)(t)的近似程度是(1/R)ιφ-i+1階的,φ=(1-?)/?,?∈(0,min{ι/(ι+n),1/2}),n≥2。估計誤差為(1/R)ιφ-i+1的高階無窮小。

通過選取足夠大的設計參數(shù)R,估計誤差可以任意小。誤差有限時間收斂特性具體證明見文獻[18]。

3.2　基于FD的擴張觀測器設計

(34)

(35)

根據(jù)式(31)、式(32)及式(34),可得擴張后的系統(tǒng)為

(36)

根據(jù)擴張觀測器(extended state observer,ESO)的設計原理可知,系統(tǒng)基于FD的ESO(ESO based on FD, FESO)為

(37)

式中,e為系統(tǒng)狀態(tài)量的觀測誤差;zi為FESO對系統(tǒng)狀態(tài)的觀測值,βi1、βi2、βi3、βi4為觀測增益;非線性函數(shù)fal(ei,αi,δi)是FESO的核心部分,它是連續(xù)非光滑的,對模型不確定性及外界干擾具有較強的適應性,其表達式為

(38)

式中,αi=1/2n-1,δi=h,n為FESO的階數(shù),h為積分步長。由于FESO所涉及的參數(shù)較多,對其進行穩(wěn)定性分析難度較大,為保證觀測誤差趨近于零,文獻[19-21]中擴張觀測器參數(shù)大致取值為βi1=4ω、βi2=6ω2、βi3=4ω3、βi4=ω4。不確定項估計值可用atr⊥=r·z4(t)求出,從而達到對制導律進行有效補償?shù)哪康摹?/p>

根據(jù)式(13),基于跟蹤微分濾波器ESO的有限時間收斂制導律表達式為

(39)

3.3　FESO估計結(jié)果

測量噪聲為均值為零、方差為1.7×10-4的高斯白噪聲,FESO的參數(shù)取值為R=60、χ1=15、χ2=1、h0=0.01 ms、δ=0.01、β01=100、β02=150、β03=300、β04=2 000、α1=0.9、α2=0.8、α3=0.7。仿真結(jié)果如圖2和圖3所示。

圖2　視線角速率濾波曲線 Fig2　LOS angular rate filtering curve

圖3　不確定項估計曲線 Fig3　Uncertainty estimates curve

由圖(2)可知，有限時間收斂微分具有良好的視線角濾波特性。圖(3)中的部分不確定性真值為Cf,雖然不能代表完全的不確定性,但在一定程度上可以看出不確定估計值與真值的關(guān)系,該值雖小,但它是控制量的分子,若與1/B1相乘,將會有很大程度增大。因此,基于有限時間收斂的微分濾波器FESO的有限時間具有良好的視線角速率濾波特性及不確定性補償能力。

4　仿真分析

圖4　彈目相對運動道曲線 Fig4　Target-missle trajectory curve

由圖4可知,無論目標做哪種類型的機動,NFTG彈道相比于SMG、FTCG和文獻[6]中的彈道,在初始階段較為彎曲,但末端比較平直,這主要是因為NFTG使角速率在有限時間內(nèi)收斂到零附近的鄰域的速度最快。彈目視線角速率曲線如圖5所示。導彈過載曲線如圖6所示。

圖5　LOS角速率曲線 Fig5　The LOS angular rate curve

圖6　導彈過載曲線

由圖6可知,NFTG和FTCG在視線角速率未達到有限時間收斂之前,相比于SMG導彈的過載比較大,但當視線角速率達到有限時間收斂之后,NFTG和FTCG的過載明顯比SMG小,且由于NFTG收斂速度比FTCG更快,過載更小。從能量分配的角度解釋,為使導彈的某些狀態(tài),如視線角速率,在末制導初期便達到有限時間收斂,必然需要更大的過載,消耗更多的能量,但是一旦視線角速率達到有限時間收斂狀態(tài),控制量便會降低為很小值,這樣可使導彈在末制導初期充分利用機動能力和能量,而在末端保證導彈的過載比較小,這無疑會提高導彈的制導精度和作戰(zhàn)性能,另外由于本文采取了二階滑?？刂品椒?相比于另外幾種方法,其過載抖振明顯減小,具有重要的工程應用價值。由表1可直觀看到3種制導律具體的視線角速率收斂時間和平均脫靶量,無論導彈做什么樣的機動,FTCG和NFTG均能保證直接碰撞殺傷,而SMG面對方波機動和正弦機動出現(xiàn)了脫靶。

表1　蒙特卡羅仿真分析

5　結(jié)　論

針對高速機動目標攔截問題,基于終端滑?？刂评碚摵投A滑模控制理論,設計了零化視線角速率的非奇異快速終端二階滑模制導律,并嚴格證明了系統(tǒng)的穩(wěn)定性和有限時間收斂特性;為抑制測量噪聲和估計彈目視線角速率,設計了新型有限時間收斂微分器,將其與擴張觀測器結(jié)合來估計不確定項。仿真結(jié)果表明:所設計的微分器收斂速度快,估計精度高,且具有較強的抗干擾能力,目標做不同類型機動的情況下,所設計的制導律均能保證視線角速率在有限時間收斂,達到準平行接近,且末端需用過載小,可實現(xiàn)直接碰撞殺傷。

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