考慮模態(tài)質(zhì)量耦合的隨機振動準靜態(tài)載荷計算

楊新峰, 單悌磊, 扈勇強, 辛　強, 王海明

(航天東方紅衛(wèi)星有限公司, 北京 100094)

0　引　言

航天器及其組件在發(fā)射及地面運輸中要經(jīng)受包括隨機振動在內(nèi)的復雜力學環(huán)境[1]。因此，其結(jié)構(gòu)設(shè)計要考慮隨機振動相關(guān)的載荷。 當前，隨機振動環(huán)境下的結(jié)構(gòu)強度設(shè)計載荷依據(jù)主要是由隨機振動等效而來的準靜態(tài)加速度載荷。隨機振動的等效準靜態(tài)加速度載荷計算方法有多種[2-3]，大致可以分為兩大類，一類是基于隨機振動響應(yīng)譜計算得到的準靜態(tài)加速度載荷，一類是基于隨機振動輸入譜計算得到的準靜態(tài)加速度載荷。

使用隨機振動輸入譜計算準靜態(tài)載荷的方法則主要有試驗規(guī)范法、Miles方法、模態(tài)質(zhì)量參與法等。試驗規(guī)范法是直接使用隨機振動激勵條件的總均方根加速度乘以3.0(即隨機中3σ準則)作為準靜態(tài)加速度，此方法理論上適用于剛體(即沒有響應(yīng)放大)，對于一般結(jié)構(gòu)其計算結(jié)果十分保守。Miles方法[7]是基于均勻加速度輸入譜下單自由度振動系統(tǒng)推導的，因此，Miles方法主要針對單一主模態(tài)結(jié)構(gòu)，它根據(jù)隨機振動加速度輸入譜、結(jié)構(gòu)的固有頻率及阻尼三個參數(shù)計算出隨機振動等效準靜態(tài)加速度。Miles方法不能直接用于多模態(tài)結(jié)構(gòu)，為了考慮一般結(jié)構(gòu)的多模態(tài)特性，在Miles方法的基礎(chǔ)上，產(chǎn)生了模態(tài)質(zhì)量參與法，這種方法把每個模態(tài)的Miles算法的結(jié)果按模態(tài)質(zhì)量參與的比例求和?？梢钥吹?模態(tài)質(zhì)量參與法是計算多模態(tài)結(jié)構(gòu)隨機振動準靜態(tài)載荷的主要方法。然而，經(jīng)過分析發(fā)現(xiàn)，目前的模態(tài)質(zhì)量參與法并不是全面的方法，它忽略了模態(tài)質(zhì)量耦合項的影響，這對于多模態(tài)結(jié)構(gòu)中存在密集模態(tài)等情況時計算結(jié)果誤差較大，無法適用。為此本文基于多自由度振動方程分析給出復雜模態(tài)結(jié)構(gòu)的準靜態(tài)加速度計算的完整形式，并針對密集模態(tài)狀態(tài)給出計算準靜態(tài)加速度的簡便公式。

1　基于輸入譜的隨機振動準靜態(tài)載荷基本理論

對于受隨機振動激勵的單自由度系統(tǒng)，準靜態(tài)加速度載荷計算為如下Miles公式[7]：

(1)

對于多自由度系統(tǒng)或多模態(tài)結(jié)構(gòu)，各模態(tài)對準靜態(tài)載荷都有貢獻，但由于隨機振動總能量在各個模態(tài)上分散了，往往最終隨機振動的準靜態(tài)載荷變小。Wijker[8]認為多自由度系統(tǒng)振動方程可以利用正交模態(tài)變換為模態(tài)坐標上的一組單自由度振動方程，每個單自由度的準靜態(tài)加速度可由Miles方法得到，而總的準靜態(tài)加速度由每個模態(tài)的準靜態(tài)加速度乘模態(tài)質(zhì)量比之后求和，這即是當前的模態(tài)質(zhì)量參與法：

(2)

模態(tài)質(zhì)量參與法把模態(tài)坐標上的各準靜態(tài)加速度按模態(tài)質(zhì)量比直接相加，實際上并沒考慮全面的參與項，一些項被忽略了，最終計算結(jié)果的正確性或精度也取決于所忽略項的大小，下面推導隨機振動準靜態(tài)載荷基于模態(tài)質(zhì)量參與法計算的完全形式，并針對密集模態(tài)情況進行分析，給出密集模態(tài)的簡單計算公式。

2　隨機振動準靜態(tài)載荷計算的完全模態(tài)質(zhì)量參與法

(3)

式中M,C,K分別為質(zhì)量矩陣、阻尼矩陣和剛度矩陣，而λ=[1 2 …n]T,n為系統(tǒng)自由度。

設(shè)z=x-λu，那么式(3)可表示為：

(4)

式(4)的振動方程的正交模態(tài)矩陣記為Φ，根據(jù)模態(tài)理論，存在模態(tài)坐標變量q，有z=Φq。那么，式(4)可以經(jīng)過模態(tài)變換解耦為多個單自由度振動方程：

(5)

(6)

對上式兩邊進行傅里葉變換得到：

那么有：

(7)

系統(tǒng)中與基礎(chǔ)相連的單元剛度記為kn，相對于基礎(chǔ)的位移記為zn，那么knzn為系統(tǒng)作用于基礎(chǔ)的力，即基礎(chǔ)傳遞給系統(tǒng)的力?？梢则炞Cknzn為矩陣Kz的各行相加之結(jié)果，因此作用于基礎(chǔ)的力為：

(8)

用模態(tài)坐標表示則有：

f=λTKΦq

(9)

根據(jù)模態(tài)理論[10]，ΦTKΦ=Ω,ΦTMΦ=I，其中I為單位矩陣，

那么，

KΦ=(ΦT)-1Ω=MΦΩ

(10)

把式(10)代入式(9)中得到：

f=λTMΦΩq

(11)

由于eT=λTMΦ，則式(11)變?yōu)?/p>

根據(jù)隨機譜理論[8,11]，f的功率譜為

(12)

把式(7)代入式(12)，得到：

(i≠j)

(13)

(14)

力f的總均方和為：

(15)

Gf除以系統(tǒng)總質(zhì)量Mg的平方即為準靜態(tài)加速度均方和：

(i≠j)

(16)

上式中第一項即為式(2)所示的模態(tài)質(zhì)量參與法的結(jié)果，因為根據(jù)Miles公式有

式(16)其它項為模態(tài)耦合項，是目前模態(tài)質(zhì)量參與法沒有的?？梢娛?16)包含各階模態(tài)質(zhì)量的貢獻以及耦合模態(tài)質(zhì)量的貢獻，是完全的模態(tài)質(zhì)量參與形式。

式(16)中耦合項積分有定值[12]，可以寫成下列形式

其中

那么，基于完全模態(tài)質(zhì)量參與的準靜態(tài)加速度均方和可以進一步寫成

(17)

式(17)是另一種形式的完全模態(tài)質(zhì)量參與法。第一項為單獨模態(tài)質(zhì)量參與項，第二項為不同模態(tài)質(zhì)量耦合參與項。

3　模態(tài)質(zhì)量耦合對隨機振動準靜態(tài)加速度的影響

在完全模態(tài)質(zhì)量參與法中，模態(tài)耦合項表現(xiàn)為模態(tài)質(zhì)量比的耦合以及頻率響應(yīng)函數(shù)的耦合。根據(jù)文獻[12]，當系統(tǒng)固有頻率隔離比較大或比較稀疏時，不同頻率響應(yīng)函數(shù)耦合的積分結(jié)果很小可以忽略，當系統(tǒng)固有頻率比較接近或比較密集時，不同頻率響應(yīng)函數(shù)耦合的積分結(jié)果將具有較大的值，不可忽略。因此，模態(tài)質(zhì)量參與法式(2)只是適用于稀疏模態(tài)的結(jié)構(gòu)。

令α為兩個模態(tài)的耦合項與非耦合項之比，λ為兩個模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量比之比，則

(18)

式中，r為兩模態(tài)頻率之比，用以表示兩模態(tài)密集程度 ，r=1表示兩模態(tài)完全接近。λ表示兩階模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量之比，對于式(18)來說，λ大于1和λ小于1所表述的特性相同。對于一般結(jié)構(gòu)低階模態(tài)質(zhì)量大于高階模態(tài)質(zhì)量，即λ≥1，因此這里以λ≥1來分析特性。對于不同λ值，α隨r的變化曲線見圖1。α值表示模態(tài)質(zhì)量耦合影響大小，α越大表示模態(tài)質(zhì)量耦合項占比越大。 計算中阻尼ξ取0.05。

圖1　模態(tài)質(zhì)量耦合項影響隨頻率比和模態(tài)質(zhì)量比改變的變化曲線Fig.1　Variationof effects of modal mass coupling by changing frequency ratio and modal mass ratio

從圖1可以看到λ=1時，當r≤0.75,α則小于0.1，即當固有頻率之比小于0.75，模態(tài)耦質(zhì)量合項的值會較小，小于非耦合項的10%，但當兩個頻率接近時(即r=1)，模態(tài)質(zhì)量耦合項的值與非耦合項相當(α=1)，如果忽略模態(tài)質(zhì)量耦合項，準靜態(tài)加速度均方和的誤差將達到約100%，準靜態(tài)加速度均方根的誤差約41.4%。λ變大后，耦合項的作用減小，但在當兩個頻率接近處，仍占相當?shù)谋壤?，如λ?及r接近于1時，模態(tài)質(zhì)量耦合項的值與非耦合項值之比約0.6。因此，固有頻率接近時，即密集模態(tài)存在時，耦合項的模態(tài)質(zhì)量對準靜態(tài)加速度載荷的貢獻不可忽略。

圖2　忽略模態(tài)質(zhì)量耦合導致5%準靜態(tài)載荷誤差的分界曲線Fig.2　Demarcation curve of 5% quasi-static load computation error due to omitting modal mass coupling

準靜態(tài)加速度均方和的誤差10%將產(chǎn)生約5%的準靜態(tài)加速度均方根的誤差，即5%的力均方根的誤差，以此誤差為控制條件(即α=0.1)，得到5%誤差條件曲線如圖2所示。根據(jù)圖2，當r和λ取值在曲線的左邊區(qū)域，那么忽略模態(tài)質(zhì)量耦合項所產(chǎn)生的準靜態(tài)加速度誤差低于5%，因此對最終隨機振動準靜態(tài)加速度結(jié)果影響不大，而當r和λ的值落在圖2曲線的右側(cè)區(qū)域，忽略模態(tài)質(zhì)量耦合項所產(chǎn)生的準靜態(tài)加速度誤差大于5%，則模態(tài)質(zhì)量耦合項不可忽略。可以看到，當r<0.743，不論兩階模態(tài)質(zhì)量之比如何，忽略模態(tài)質(zhì)量耦合項的所產(chǎn)生的誤差都較小，即準靜態(tài)加速度計算結(jié)果誤差小于5%，這也就是說，只要兩模態(tài)頻率之比小于0.743，則可以不考慮模態(tài)質(zhì)量耦合項，使用公式(2)計算準靜態(tài)加速度載荷也有足夠的精度。同時也看到，兩階模態(tài)質(zhì)量之比λ≥20時，不論兩階頻率之比如何，模態(tài)質(zhì)量耦合項的貢獻也不大，可以忽略。需要說明的是這里參與計算的模態(tài)是指結(jié)構(gòu)的主要模態(tài)，如一般結(jié)構(gòu)的一、二階主模態(tài)。圖2展示的是兩階模態(tài)的情況。因為一般結(jié)構(gòu)也是前兩階模態(tài)為主要模態(tài)，其他模態(tài)所占比重較小而在準靜態(tài)載荷計算中一般可以忽略，以兩階模態(tài)進行分析模態(tài)質(zhì)量耦合影響具有代表性。對于一般結(jié)構(gòu)，越高階的模態(tài)質(zhì)量，一般其值越小，高階模態(tài)質(zhì)量耦合影響更小，因此，多階模態(tài)按兩階模態(tài)分析得到的耦合項影響一般也是最大情況，可以覆蓋多階模態(tài)的誤差。

4　密集模態(tài)的隨機振動準靜態(tài)載荷簡便計算方法

式(16)中頻率響應(yīng)函數(shù)的耦合項可展開寫為

(19)

兩個模態(tài)密集或接近時，ωi=ωj，上式可以簡化為

2|Hi(ω)||Hj(ω)|

(20)

那么，根據(jù)式(16),兩個接近模態(tài)(第i階模態(tài)和第j階模態(tài))的隨機振動準靜態(tài)加速度為

|Hj(ω)|]dω

(21)

由于兩個頻率接近，頻率響應(yīng)函數(shù)在全頻段積分值比較接近，可以兩個頻率的平均值ωm來表示。式(21)可以表示為

(22)

ωm=(ωi+ωj)/2,上式積分進而可以用Miles 公式的形式表示為

(23)

為了比較式(23)和精確計算式(17)的計算誤差，把式(23)和式(17)右側(cè)相減并除以式(17)右側(cè)得到準靜態(tài)加速度均方和誤差ε。簡化后即為

(24)

式(24)表示兩個模態(tài)情況下用精確式和簡便式計算的相對誤差。

兩個模態(tài)情況下，對于不同模態(tài)質(zhì)量比λ，ε隨模態(tài)頻率比r的變化曲線見圖3。

圖3　密集模態(tài)的簡便計算公式的誤差Fig.3　The computation error of the simplified method for dense modes

可以看到隨著模態(tài)頻率比r增大，式(23)計算誤差減小。對于λ=1，當r≥0.95，準靜態(tài)加速度均方和誤差將小于10%，也即準靜態(tài)加速度均方根誤差小于5%。模態(tài)質(zhì)量比λ增大后，相同的模態(tài)頻率比r所對應(yīng)的計算誤差進一步減小，但差別不顯著。因此，可以r≥0.95作為式(23)的計算條件，即式(23)適用于r≥0.95的密集模態(tài)的準靜態(tài)加速度計算。r<0.95時，隨機振動的準靜態(tài)加速度計算則需要利用式(16)或式(17)。

一般情況下，稀疏模態(tài)和密集模態(tài)可能會同時存在，則需要把稀疏模態(tài)的加速度平方與密集模態(tài)的加速度平方相加。因此，包含稀疏模態(tài)和密集模態(tài)的準靜態(tài)加速度均方根為

aquasi=

(25)

考慮3σ準則的最大準靜態(tài)加速度載荷則為

aquasi-max=

(26)

5　密集模態(tài)的隨機振動準靜態(tài)載荷算例

兩個矩形薄板的四角由四根梁連接而形成的結(jié)構(gòu)在四根梁的根部受S=0.01g2/Hz的隨機振動加速度譜激勵(激勵方向為垂直板面，即Z向)，激勵頻段范圍為1～2000 Hz。板的尺寸為1×1 m2，板間距0.01 m，兩板的厚度分別為3 mm和3.1 mm，梁的截面尺寸為0.01×0.01 m2。板與梁的材料為鋁合金，總質(zhì)量約16.5 kg。結(jié)構(gòu)的有限元模型見圖4所示。

圖4　結(jié)構(gòu)的有限元模型Fig.4　Finite element model of the structure

通過有限元模態(tài)分析得到結(jié)構(gòu)的Z向前6階固有頻率和模態(tài)質(zhì)量比，如表1所示。表中數(shù)據(jù)顯示上述結(jié)構(gòu)具有密集模態(tài)。

表1　結(jié)構(gòu)的模態(tài)特性Table 1　Modal results for the structure

從表1看到1階、2階模態(tài)是比較接近的模態(tài)(頻率比f1/f2=0.971)，3階、4階以及5階、6階也是接近的模態(tài)(f3/f4=0.969，f5/f6=0.970)，也即有3個密集模態(tài)對，但3個密集模態(tài)對之間頻率間隔較遠，因此，依據(jù)式(25)，3個密集模態(tài)對可分別按密集模態(tài)計算準靜態(tài)加速度均方和，然后相加得到總準靜態(tài)加速度均方和，最后開根號得到準靜態(tài)加速度均方根。由式(25)計算得到準靜態(tài)加速度均方根(取Q=10)為9.87g，乘以總質(zhì)量換算為準靜態(tài)力均方根為162.8N。由于本例前兩階模態(tài)質(zhì)量比占結(jié)構(gòu)的主要部分，其它模態(tài)占比較小以致可以忽略，因此，只用前兩階模態(tài)計算也可到達較精確結(jié)果。為驗證方法，這里仍使用6階模態(tài)進行計算。

由于結(jié)構(gòu)簡單，基于有限元的隨機振動分析也可得到比較精確的四個角支反力功率譜曲線如圖5。分析中，在四根梁的根部輸入S=0.01g2/Hz的隨機振動加速度譜，阻尼取為0.05。由圖5可知一個角的支反力均方根為40.35 N，總的支反力均方根為161.4 N。與式(25)計算結(jié)果一致。

圖5　隨機振動激勵下結(jié)構(gòu)一個支撐點的支反力功率譜Fig.5　Reaction force power spectrum at one corner of the structure under random vibration excitation

式(25)計算結(jié)果、有限元計算結(jié)果以及模態(tài)質(zhì)量參與法計算結(jié)果的比較見表2所示。可以看到計算密集模態(tài)的計算結(jié)果與仿真分析結(jié)果接近。而模態(tài)質(zhì)量參與法計算結(jié)果較小，原因主要是沒有考慮密集模態(tài)的模態(tài)質(zhì)量耦合影響。對主要模態(tài)比較密集的結(jié)構(gòu)，使用模態(tài)質(zhì)量參與法計算隨機振動準靜態(tài)加速度或準靜態(tài)力會導致較大的誤差。

表2　不同計算方法的隨機振動準靜態(tài)力比較Table 2　Comparisons of quasi-static loading under random vibration using different calculation methods

6　結(jié)　論

本文利用模態(tài)理論和隨機譜理論推導得到了改進的模態(tài)質(zhì)量參與法，是同時可以考慮模態(tài)質(zhì)量耦合影響的完全模態(tài)質(zhì)量參與法，解決了原模態(tài)質(zhì)量參與法計算密集模態(tài)時準靜態(tài)載荷結(jié)果誤差較大問題。

以兩階主要模態(tài)為代表進行分析，得到模態(tài)質(zhì)量耦合影響與模態(tài)頻率比和模態(tài)質(zhì)量比的關(guān)系，模態(tài)越接近:模態(tài)質(zhì)量耦合對隨機振動準靜態(tài)載荷貢獻越大，同時模態(tài)質(zhì)量比越接近也會增加模態(tài)質(zhì)量耦合的影響作用。一般情況下，模態(tài)頻率比小于0.743時或者模態(tài)質(zhì)量比大于20時，模態(tài)質(zhì)量耦合的影響可以忽略，可以看做模態(tài)稀疏情況而使用原模態(tài)質(zhì)量參與法，反之,一般需要考慮模態(tài)質(zhì)量耦合影響，需要使用本文改進的模態(tài)質(zhì)量參與法。

針對模態(tài)頻率比大于0.95的密集模態(tài)結(jié)構(gòu)，本文還給出隨機振動準靜態(tài)加速度計算的簡便計算公式。文中算例驗證了所給方法的正確性。

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