基于變密度法的平模臺振加強筋布局優(yōu)化

蔡安江，楊奇琦

(西安建筑科技大學(xué) 機電工程學(xué)院，西安 710055)

1 引 言

平模臺振因生產(chǎn)效率高且生產(chǎn)預(yù)制構(gòu)件種類多而成為裝配式建筑生產(chǎn)線的重要設(shè)備，但是普遍存在振動臺面剛度不足和振動能量利用率較低等問題，導(dǎo)致振動效果不理想，混凝土預(yù)制構(gòu)件成型質(zhì)量差。為了解決上述問題，振動臺面常采用加強筋結(jié)構(gòu)，既能為平模臺振各部件提供安裝位置，又能提高振動臺面剛度，改善振動臺面動力學(xué)傳遞特性[1,2]，使設(shè)備運行平穩(wěn)、噪聲降低、能量利用率提高，從而提升平模臺振的振動效果和混凝土預(yù)制構(gòu)件成型質(zhì)量。因此，研究振動臺面加強筋布局優(yōu)化對于提高平模臺振的振動效果具有重要意義。

隨著拓撲優(yōu)化技術(shù)的不斷成熟，國內(nèi)外學(xué)者關(guān)于加筋板殼結(jié)構(gòu)的優(yōu)化進行了大量研究工作。Tamijani等[3]采用伽遼金法對加筋板結(jié)構(gòu)進行了分析，建立了Kriging代理模型，并利用遺傳算法優(yōu)化加筋板結(jié)構(gòu)的尺寸和形狀，結(jié)果表明，采用無網(wǎng)格法可在保持板的幾何形狀和網(wǎng)格尺寸不變的情況下對每個設(shè)計點重新生成加強筋，大幅度縮短了計算時間。Xiang等[4]采用仿生設(shè)計方法對加筋工作臺的結(jié)構(gòu)進行拓撲優(yōu)化，與傳統(tǒng)設(shè)計相比，優(yōu)化后的仿生結(jié)構(gòu)變形量和重量減小，固有頻率提高，工作臺力學(xué)性能明顯提升。Li等[5]研究了薄板結(jié)構(gòu)在簡諧激振力作用下的加強筋布置問題，利用植物葉脈的自適應(yīng)生長機制，提出一種以指定位置的位移響應(yīng)幅值最小為目標的進化算法，實現(xiàn)了連續(xù)體結(jié)構(gòu)的剛度優(yōu)化設(shè)計。崔榮華等[6]研究了不同邊界條件下薄板的加強筋分布優(yōu)化，根據(jù)加筋板結(jié)構(gòu)各部分抗彎剛度的差異，建立等效剛度模型，基于水平集法得到了加強筋的最優(yōu)分布。劉海等[7]基于變密度法進行加強筋布局優(yōu)化來實現(xiàn)加筋箱體結(jié)構(gòu)降噪設(shè)計，利用移動漸近線(MMA)尋優(yōu)算法確定了加強筋的位置，取得了良好的降噪效果。李蕾等[8]提出了平板加強筋生長設(shè)計方法，利用單元靈敏度決定結(jié)構(gòu)中加強筋的保留或去除，獲得了多種邊界條件下平板加強筋的最優(yōu)布局。

振動臺面結(jié)構(gòu)設(shè)計時，臺面的剛度和強度等力學(xué)性必須滿足預(yù)制構(gòu)件最佳成型質(zhì)量的需求，并且要考慮各組成部件安裝位置的合理性，以使平模臺振達到理想的振動效果。振動臺面結(jié)構(gòu)設(shè)計不合理將無法生產(chǎn)滿足強度要求的預(yù)制構(gòu)件，因此振動臺面的優(yōu)化設(shè)計非常必要。目前，振動臺面結(jié)構(gòu)單一且存在很多局限性，其設(shè)計大多依賴工程人員的主觀經(jīng)驗，缺乏類似的振動臺面優(yōu)化設(shè)計工作。本文以提升平模臺振設(shè)備的振動效果為目標，基于變密度法對振動臺面加強筋的布局進行了拓撲優(yōu)化。

2 優(yōu)化問題分析

平模臺振系統(tǒng)模型如圖1所示，系統(tǒng)主要由振動臺面、底座和激振器組成。振動臺面由矩形鋼板和加強筋兩部分焊接而成，并有12個橡膠彈簧支撐，振動臺面兩側(cè)共安裝8個激振器提供激振力，激振力通過側(cè)板傳遞到臺面，再由臺面?zhèn)鬟f給混凝土預(yù)制構(gòu)件，為預(yù)制構(gòu)件提供振動能量并完成密實成型。

圖1 平模臺振系統(tǒng)模型

平模臺振力學(xué)模型如圖2所示，激振器對稱分布在振動臺面兩側(cè)，偏心塊做同步反向旋轉(zhuǎn)運動產(chǎn)生離心慣性力，慣性力沿x方向分力相互抵消，沿z方向分力疊加形成激振力，驅(qū)動振動臺面沿z方向作簡諧振動。

振動臺面總激振力為

(1)

式中Fr(x,y,t)為第r個激振器提供的激振力,m0為偏心塊質(zhì)量,ω為偏心塊角速度,t為時間。

平模臺振工作狀態(tài)是動態(tài)非線性的，振動臺面承受的載荷也具有復(fù)雜的非線性[9]，而拓撲優(yōu)化方法難以對動態(tài)非線性過程建立準確的數(shù)學(xué)模型?？紤]到若振動臺面在最大載荷工況下能滿足平模臺振的工作需求，則在其他工況下也能滿足工作需求。所以，進行拓撲優(yōu)化時選取載荷最大的工況進行分析，即振動臺面所受激振力最大。在此工況下，每個激振點處的激振力幅值為18 kN，且需約束振動臺面沿x和y方向的移動自由度及z方向的轉(zhuǎn)動自由度，振動臺面底部支承點處施加彈簧約束模擬橡膠彈簧底座。

目前，振動臺面加強筋大多采用如圖3所示的布局，加強筋等間距并排布置在臺面底部。其優(yōu)點在于加強筋的布置形式簡單，簡化了振動臺面的設(shè)計及制造，并且載荷能夠均勻分配到每個加強筋。這種振動臺面以總質(zhì)量最小為設(shè)計目標，以加強筋間距為設(shè)計變量，加強筋數(shù)量與振動臺面總質(zhì)量的關(guān)系如圖4所示?？梢钥闯觯S著加強筋數(shù)量的增加，振動臺面總質(zhì)量逐漸減小，直至矩形鋼板達到最小厚度。即存在最優(yōu)的加強筋數(shù)量，使得振動臺面實現(xiàn)輕量化設(shè)計目標。雖然此振動臺面結(jié)構(gòu)已用于實際生產(chǎn)，但是其存在一定的局限性，如振動臺面整體剛度不足和振動能量傳遞效率低等。

圖2 平模臺振力學(xué)模型

3 振動臺面的優(yōu)化設(shè)計

3.1 拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型

拓撲優(yōu)化的基本思想是在給定載荷及邊界條件下，在設(shè)計空間中尋找材料最優(yōu)分布形式[10-12]。與傳統(tǒng)優(yōu)化設(shè)計不同的是，拓撲優(yōu)化只需給出結(jié)構(gòu)參數(shù)(材料特性、載荷和邊界條件)和材料去除體積比[13-15]。

本文優(yōu)化問題實際上是材料分布狀態(tài)0～1優(yōu)化問題，即確定振動臺面基結(jié)構(gòu)材料的有(表示為1)與無(表示為0)，最終生成加強筋布局的設(shè)計方案。采用基于SIMP材料插值模型的拓撲優(yōu)化方法[16]，得到具有可變剛度的各向同性材料，將材料相對體積密度x(x在0～1之間連續(xù)變化)作為設(shè)計變量分配給設(shè)計空間的每個有限單元，該密度可直接影響單元剛度矩陣。為了消除沒有物理意義的中間密度，在設(shè)計變量中加入懲罰因子，迫使設(shè)計變量趨向于極值0或1，以生成更離散的結(jié)構(gòu)。

圖3 振動臺面加強筋的布局

圖4 加強筋數(shù)量與振動臺面總質(zhì)量的關(guān)系

SIMP材料插值模型如下：

(2)

式中Ke為e號單元優(yōu)化后剛度矩陣，K0為e號單元初始剛度矩陣，xe為e號單元的相對密度，p為中間密度懲罰因子，取p=3。xe的取值區(qū)間為[0,1]，當(dāng)xe取0時表示該單元材料缺失，當(dāng)xe取1時表示該單元充滿材料。為了避免剛度矩陣的奇異性，通常將單元相對密度下限xmin限制為很小的值。

以振動臺面結(jié)構(gòu)的剛度最大即柔度最小為優(yōu)化目標，以單元相對密度作為設(shè)計變量，以體積分數(shù)為約束條件，建立拓撲優(yōu)化數(shù)學(xué)模型如下：

(3)

式中x為單元相對密度向量，C為結(jié)構(gòu)總體柔度，F(xiàn)為結(jié)構(gòu)載荷向量，U為結(jié)構(gòu)位移向量，K為結(jié)構(gòu)總體剛度矩陣，V為結(jié)構(gòu)優(yōu)化后體積，f為保留體積比，V0為結(jié)構(gòu)設(shè)計域體積，ve為e號單元的體積，xmin為單元密度下限，取xmin=0.001，xmax為單元密度上限。

對拓撲優(yōu)化問題進行靈敏度分析，將目標函數(shù)相對于設(shè)計變量求導(dǎo)為

(4)

利用伴隨方法[17]，可得到以下結(jié)果

(5)

將SIMP材料插值模型引入到式(5)，得到結(jié)構(gòu)總?cè)岫认鄬υO(shè)計變量的靈敏度為

(6)

式中Ue為單元位移向量。

獲得靈敏度結(jié)果后，在求解優(yōu)化模型時采用最優(yōu)準則法，基于KKT(Karush Kuhn Tucker)條件得到拓撲優(yōu)化模型(3)最優(yōu)性條件表示為

(e=1，2，…，n)(7)

式中λ為拉格朗日乘子。本文載荷為設(shè)計獨立載荷，?C/?xe<0。式(7)可改寫為

(e=1，2，…，n)(8)

為了控制移動步長和確保迭代穩(wěn)定，引入步長因子ξ和阻尼因子δ，ξ和δ在區(qū)間[0,1]內(nèi)取值。由此可構(gòu)造設(shè)計變量的迭代公式為

(9)

i為迭代步數(shù)。

根據(jù)KKT條件可知，最優(yōu)解處的約束轉(zhuǎn)化為等式約束，將迭代公式代入取等號的體積約束中，可獲得關(guān)于λ的非線性代數(shù)方程，使用二分法便可得到拉格朗日乘子λ。

3.2 拓撲優(yōu)化有限元模型的建立

有限元軟件ANSYS Workbench的Topology Optimization拓撲優(yōu)化模塊使用的技術(shù)是基于變密度方法的，利用該模塊進行拓撲優(yōu)化的流程為,定義材料屬性，導(dǎo)入幾何模型；劃分基結(jié)構(gòu)網(wǎng)格，施加約束及載荷；設(shè)置拓撲優(yōu)化參數(shù)，計算求解。

在結(jié)構(gòu)拓撲優(yōu)化之前，首先需要確定設(shè)計空間及非設(shè)計空間。如圖5所示，設(shè)計空間為加強筋分布區(qū)域，此空間的材料需要部分去除；而非設(shè)計空間則是矩形鋼板區(qū)域，此空間結(jié)構(gòu)特征保持不變。加強筋分布區(qū)域厚度為200 mm，矩形鋼板區(qū)域厚度為10 mm，拓撲優(yōu)化過程中需要從厚度為210 mm的基結(jié)構(gòu)中去除設(shè)計空間的多余材料，生成加強筋材料的分布形式。

圖5 振動臺面設(shè)計空間及非設(shè)計空間

振動臺面基結(jié)構(gòu)有限元模型如圖6所示，臺面和加強筋材料均為Q235，主要材料參數(shù)為,彈性模量E=2×1011Pa，泊松比ν=0.3，密度ρ=7850 kg/m3。采用六面體單元對基結(jié)構(gòu)進行網(wǎng)格劃分，網(wǎng)格劃分過程中沿基結(jié)構(gòu)厚度方向劃分較為密集，劃分為4層網(wǎng)格。基結(jié)構(gòu)有限元模型共72376個單元，293738個節(jié)點。

3.3 體積分數(shù)的影響

體積分數(shù)(VF)是拓撲優(yōu)化的重要參數(shù)，在某些情況下可直接通過最終設(shè)計質(zhì)量確定體積分數(shù)。本文振動臺面原結(jié)構(gòu)中加強筋質(zhì)量(2692 kg)與設(shè)計空間質(zhì)量(56112 kg)相比非常小，導(dǎo)致體積分數(shù)小于5%。Rozvany[18]指出過低的體積分數(shù)不能用于密度拓撲優(yōu)化，通常采用較高的體積分數(shù)。此外，設(shè)計空間的體積分數(shù)響應(yīng)不能直接代表最終設(shè)計，因為沒有考慮到應(yīng)用不同截面加強筋來實現(xiàn)同樣的功能，同時加強筋的結(jié)構(gòu)特點也會導(dǎo)致體積分數(shù)非常小。

選取體積分數(shù)在5%～30%之間的拓撲優(yōu)化結(jié)果進行對比分析，如圖7所示。圖中黑色為需要刪除材料的區(qū)域，相對密度接近0；灰色為需要保留材料的區(qū)域，相對密度接近1。通過比較不同體積分數(shù)的拓撲優(yōu)化結(jié)果可以確定振動臺面最佳傳力路徑，指導(dǎo)加強筋的重新布局，最終生成可行的設(shè)計方案?？梢钥闯觯谂_面寬度方向上需要分布若干加強筋；但是對于不同的體積分數(shù)，臺面長度方向上材料分布有所差異，低體積分數(shù)不像高體積分數(shù)材料分布清晰穩(wěn)定，這是體積分數(shù)過低導(dǎo)致的。此外，所有拓撲優(yōu)化結(jié)果為對稱形狀，原因是拓撲優(yōu)化設(shè)計中存在對稱性約束，即結(jié)構(gòu)對稱面上指向邊界的位移自由度和繞邊界的轉(zhuǎn)動自由度受到約束。加強筋在尺寸調(diào)整和位置確定之前，其真實性能仍是未知的，因此進行加強筋布局的優(yōu)化研究時，體積分數(shù)是一個需要研究的重要參數(shù)。

圖6 振動臺面基結(jié)構(gòu)有限元模型

圖7 不同體積分數(shù)的拓撲優(yōu)化結(jié)果

3.4 振動臺面的結(jié)構(gòu)設(shè)計

依據(jù)拓撲優(yōu)化結(jié)果能夠確定加強筋位置，但不能確定加強筋具體的尺寸參數(shù)和截面形狀，故直接使用矩形梁單元代替材料分布區(qū)域是不正確的。通過查看拓撲優(yōu)化結(jié)果，材料分布區(qū)域的截面形狀與工字鋼的截面形狀較為吻合，且工字鋼具有質(zhì)量小、剛度大等優(yōu)點，因此選取不同型號的工字鋼作為振動臺面的加強筋。

振動臺面加強筋布局設(shè)計方案如圖8所示，綜合考慮振動臺面的強度、剛度及制造成本，在制定設(shè)計方案時選取體積分數(shù)為30%。根據(jù)拓撲優(yōu)化結(jié)果，在材料保留區(qū)域設(shè)置工字鋼生成新的設(shè)計方案，并通過有限元軟件測試，進一步提升振動臺面的力學(xué)性能。此外，為了便于振動臺面的制造以及滿足批量生產(chǎn)的需要，在符合結(jié)構(gòu)優(yōu)化結(jié)果的基礎(chǔ)上將加強筋設(shè)計為規(guī)則的軸對稱布局。

圖8 加強筋布局設(shè)計方案

設(shè)計方案中，工字鋼A的腹板處用來安裝激振器，工字鋼B和C的作用為組成模臺框架，增大臺面剛度和防止振動臺面發(fā)生撓曲?？紤]到振動臺面縱向尺寸較大，將其長度方向上的加強筋由原結(jié)構(gòu)的單工字鋼增加為雙工字鋼共同承受負載。振動臺面寬度方向上，加強筋由原結(jié)構(gòu)的等距分布改變?yōu)樾枰訌姴课坏姆堑染喾植?。二次加強?和2用來連接主要加強筋，加固振動臺面邊緣以及傳遞激振能量。工字鋼B的型號為25b，其余工字鋼型號均為20a。

優(yōu)化后振動臺面模型如圖9所示，振動臺面總質(zhì)量由原來的5878 kg變?yōu)?555 kg，減重323 kg，實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)輕量化設(shè)計。

圖9 優(yōu)化后振動臺面模型

4 振動臺面的性能評估

利用有限元軟件對優(yōu)化后的結(jié)構(gòu)進行模態(tài)分析和諧響應(yīng)分析，測試振動臺面力學(xué)性能及平模臺振振動效果。

4.1 模態(tài)分析

通過ANSYS Workbench的Modal模塊，計算得到振動臺面前8階振型如圖10所示，振動臺面前10階固有頻率列入表1。為了方便對比，將原結(jié)構(gòu)和優(yōu)化結(jié)構(gòu)的前10階固有頻率一并列入 表1?？梢钥闯觯瑑?yōu)化后振動臺面的固有頻率明顯提高，增幅在4.46%～32.71%。

圖10 優(yōu)化后振動臺面前8階振型

4.2 諧響應(yīng)分析

在實際工況中，平模臺振長時間處于周期振動狀態(tài)下工作，進行諧響應(yīng)分析能真實地反映振動臺面在工作中的力學(xué)性能。通過求解計算，得到優(yōu)化前后振動臺面在工作頻率50 Hz時的應(yīng)力分布云圖及位移云圖如圖11和圖12所示。

圖11 振動臺面應(yīng)力分布云圖

圖12 振動臺面位移云圖

對比發(fā)現(xiàn)，振動臺面強度提高，原結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力為 14.51 M Pa，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的最大應(yīng)力為 6.998 M Pa，比優(yōu)化前降低了51.77%；振動臺面整體剛度提高，原結(jié)構(gòu)的最大位移量為0.598 mm，優(yōu)化結(jié)構(gòu)的最大位移量為0.555 mm。而且優(yōu)化前最大變形出現(xiàn)在振動臺面中部，對預(yù)制構(gòu)件的成型質(zhì)量會產(chǎn)生較大影響，優(yōu)化后最大變形在振動臺面短邊邊緣處，可通過焊接角鋼的方法避免變形出現(xiàn)。

綜上所述，優(yōu)化后振動臺面的各階固有頻率避開了工作頻率50 Hz，有效避免了共振發(fā)生，防止了平模臺振設(shè)備損壞；優(yōu)化后振動臺面可顯著提高強度和剛度，從而提高了平模臺振設(shè)備的振動效果。

5 結(jié) 論

(1) 振動臺面作為平模臺振設(shè)備的關(guān)鍵部件，在工作中反復(fù)承受高頻簡諧載荷，其加強筋布局對平模臺振振動效果及混凝土預(yù)制構(gòu)件成型質(zhì)量有著重要影響。

(2) 提出了利用變密度拓撲優(yōu)化方法改進平模臺振振動臺面加強筋布局的方法，進行了結(jié)構(gòu)總?cè)岫认鄬τ谠O(shè)計變量的靈敏度分析，采用最優(yōu)準則法對拓撲優(yōu)化模型進行求解。根據(jù)拓撲優(yōu)化結(jié)果得到優(yōu)化后的振動臺面，其力學(xué)性能顯著提高，并且實現(xiàn)了結(jié)構(gòu)輕量化。

(3) 采用優(yōu)化后振動臺面的平模臺振可有效提高振動效果，很好滿足了平模臺振的性能要求。驗證了基于變密度法的振動臺面加強筋布局優(yōu)化的可行性，對工程實際中平模臺振的設(shè)計具有一定指導(dǎo)意義。