GNSS導(dǎo)航系統(tǒng)快速選星算法研究

王永梅

（1.中國科學(xué)院國家空間科學(xué)中心北京100190；2.中國科學(xué)院大學(xué)北京100190）

全球?qū)Ш叫l(wèi)星系統(tǒng)（GNSS）具有實(shí)時(shí)連續(xù)、全覆蓋、全天候的精密導(dǎo)航定位能力，被廣泛運(yùn)用于測量、授時(shí)、定位等領(lǐng)域，全球4大定位系統(tǒng)包括：GPS、GLONASS、北斗、伽利略。

隨著技術(shù)的發(fā)展，GNSS系統(tǒng)越來越成熟，有著無限的導(dǎo)航定位活力和潛能。但隨著可見星數(shù)目的增加，以及用戶對(duì)接收機(jī)處理數(shù)據(jù)的能力和速度提出的要求越來越高，無論是對(duì)單星導(dǎo)航系統(tǒng)還是多星導(dǎo)航系統(tǒng)，改進(jìn)的選星算法成為了定位技術(shù)的重要問題。文中調(diào)研了傳統(tǒng)的選星算法，整合了改良的幾種算法，并對(duì)該方法的精度、誤差、實(shí)時(shí)性進(jìn)行了剖析。

1 GDOP值介紹

衛(wèi)星導(dǎo)航的定義中，導(dǎo)航定位誤差的標(biāo)準(zhǔn)偏差σG可以用以下的式子表示：

衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)的定位精度由GDOP與σUERE兩方面決定，σUERE表示偽距測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差，GDOP表示σG和σUERE之間的比例關(guān)系。

從上式中不難發(fā)現(xiàn)，GDOP值是影響衛(wèi)星定位精度的一個(gè)關(guān)鍵參數(shù)，在偽距測量值的標(biāo)準(zhǔn)偏差確定的情況下，定位系統(tǒng)的精度和GDOP值呈反比例關(guān)系，簡言之，導(dǎo)航系統(tǒng)的精度隨GDOP值的減小而提高。因此最小的GDOP值成為GNSS導(dǎo)航系統(tǒng)追求的優(yōu)化指標(biāo)。GDOP值的計(jì)算公式如下：

上式a，b，c是方向余弦，N是可視星顆數(shù)。觀測矩陣如下：

1）單衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)

其中腳標(biāo)1，2…N表示N顆衛(wèi)星。

2）多衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)

GDOP可以用以下式子表示：

式中trace是求跡運(yùn)算。

2 常用的選星算法

2.1 最佳幾何誤差因子法

最佳幾何誤差因子法是對(duì)所有可見的衛(wèi)星，利用GDOP值的求解公式，得到最小的GDOP值的方法。假設(shè)某一時(shí)刻的可視星數(shù)為N，在N顆星中選m顆星用于導(dǎo)航，其中m＜N，共有種組合數(shù)。利用遍歷的方法，依次對(duì)每種組合數(shù)的幾何精度因子值求解，選幾何精度因子值最小的可視星組合進(jìn)行導(dǎo)航。該方法簡單可靠，有很好的定位精度，但在遍歷計(jì)算中，需要進(jìn)行次矩陣相乘和求逆的運(yùn)算，運(yùn)算復(fù)雜，用時(shí)長，尤其在可視星數(shù)目較多的時(shí)候?qū)崟r(shí)性差。

2.2 最大四面體體積法

最大四面體體積法是選擇由可視星和接收機(jī)形成的多面體中，體積V最大的組合來進(jìn)行導(dǎo)航的方法，因?yàn)閂越大，GDOP值越小，因此能提高導(dǎo)航能力。以4顆星的組合為例，在可視星中選則4顆和接收機(jī)組成四面體，分別求出所有組合的V，選V最大的可視星組合用于導(dǎo)航。因?yàn)樵摲椒ū闅v了所有4顆星的衛(wèi)星組合，計(jì)算了每種組合中四面體的體積，所以計(jì)算量大，耗時(shí)久，實(shí)時(shí)性差。

2.3 最大行列式法

最大行列式法是選擇由方向余弦組成的矩陣行列式值最大時(shí)所對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星組合。由幾何精度因子值的計(jì)算式發(fā)現(xiàn)，幾何精度因子值和行列式絕對(duì)值之間成反比關(guān)系，幾何精度因子值隨行列式絕對(duì)值的增加而減小。由于利用最大行列式法可減少因?yàn)镚DOP值計(jì)算帶來的次矩陣相乘和求逆運(yùn)算，因此降低了計(jì)算任務(wù)，并且耗時(shí)更短。

3 改進(jìn)的選星算法

上文介紹的幾種常用的選星算法計(jì)算量大，搜索時(shí)間長，無法滿足用戶對(duì)快速定位、高實(shí)時(shí)性等方面的需求。因此，本文整合了3種改進(jìn)的GNSS導(dǎo)航系統(tǒng)選星算法，分析了每個(gè)改進(jìn)算法的計(jì)算量、誤差和耗時(shí)性，對(duì)優(yōu)化的選星算法應(yīng)用于接收機(jī)進(jìn)行實(shí)時(shí)定位，具有重要的參考意義和價(jià)值。

3.1 基于仰角、方位角的選星算法

在可視星中居于頂位的星仰角越大，且居于底部仰角較小的可視星的方位角相差越平均，所得的幾何精度因子值會(huì)越小?；谘鼋?、方位角的選星方法[1]具體步驟如下：

1）根據(jù)導(dǎo)航系統(tǒng)，從可見星中確定用于導(dǎo)航定位的衛(wèi)星數(shù)a+b（a為頂座星數(shù)目，b為底座星數(shù)目）；

2）a顆居于頂部的可視星，其選取要求是選則仰角最大的星，再選取仰角最小的星為第1顆居于底部的星；

3）對(duì)剩下的可視衛(wèi)星的選取原則是，選則方位角與標(biāo)準(zhǔn)角接近，高度角也盡量小的衛(wèi)星，標(biāo)準(zhǔn)角的選取原則是依次在第一顆底部衛(wèi)星的方位角上加上的角度。

當(dāng)方位角與標(biāo)準(zhǔn)角差值小與高度角盡量小的要求發(fā)生沖突時(shí)，應(yīng)以哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)進(jìn)行選擇，已有學(xué)者提出解決方案，第一，通過引入Bi作為標(biāo)準(zhǔn)來進(jìn)行選擇，第二，利用模糊評(píng)判的思想提出了模糊選星算法進(jìn)行選擇。

仰角、方位角的算法中，最優(yōu)的頂座星和底座星的選取方法：當(dāng)選5顆可視星定位時(shí)，取2顆為頂座星，3顆為底座星，頂座星選擇仰角最大的和次大的，底座星選取仰角最小的為第3顆，選與第3顆可視星方位角差 120°、240°，且仰角最小的為第4、5顆。當(dāng)選6顆可視星進(jìn)行定位時(shí)，取2顆為頂座星，4顆為底座星，頂座星選仰角最大的和次大的，底座星選仰角最小的為第3顆，選與第3顆可視星方位角差90°、180°、270°，且仰角最小的為第4、5、6顆。

該快速選星方法中，用可視星的仰角α和方位角β來定義定位方程系數(shù)矩陣G，G又可分為單星導(dǎo)航系統(tǒng)和多星導(dǎo)航系統(tǒng)。

1）單衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)公式

2）雙衛(wèi)星導(dǎo)航系統(tǒng)公式

以北斗和GPS組合導(dǎo)航系統(tǒng)為例：

利用該選星算法和最佳幾何精度因子法，可獲得不同的GDOP值，進(jìn)行比較，可得，6星的GDOP值偏差小于1.98%，精度很高。

表1 算法結(jié)果比較

250分鐘總時(shí)間內(nèi)，對(duì)每分鐘的衛(wèi)星數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到的GDOP差值如圖1，可見該方法和最佳GDOP值方法對(duì)比，GDOP差值全部小于0.6，差小于0.2的時(shí)間段高達(dá)80%，表明仰角、方位角的算法有較好的定位能力。

圖1 GDOP差值

3.2 改進(jìn)的最大四面體體積法

最大四面體體積法：選出由接收機(jī)和可視星構(gòu)成的四面體中，體積V最大的可視星進(jìn)行定位。但由于GPS、GLONASS、北斗、伽利略系統(tǒng)的衛(wèi)星軌道高度不同，計(jì)算出的體積值大也不能代表定位精度高，因此需要改進(jìn)最大四面體體積算法。具體做法是：第一：選擇一顆仰角最大的可視星，第二：在其余的可視星中用最大體積法選4顆可視星，第三：可視星到接收機(jī)的長度單位化，使高度統(tǒng)一，避免體積偏差。以接收機(jī)為原點(diǎn)，把接收機(jī)與4顆衛(wèi)星的連線組成的矢量單位化，表示為e1、e2、e3、e4，把不同高度的軌道統(tǒng)一為相同的高度，把由這些矢量的末端形成的體積記作V，有如下關(guān)系式：

上式中，(HTH)*為HTH的伴隨矩陣，trace（）是矩陣的求跡運(yùn)算，假如設(shè)，那么。V和H之間關(guān)系是，，則GDOP值可表示為。由公式可知，利用體積V和行列式的關(guān)系，可以取消矩陣的復(fù)雜求逆運(yùn)算。

如圖2所示，該算法和最小幾何精度因子法及最大行列式法的計(jì)算值相比，求出的GDOP值在允許的誤差之內(nèi)[2]。從圖3可知改進(jìn)的最大四面體體積法的運(yùn)行時(shí)間最短，提高了實(shí)時(shí)性。

圖2 GDOP值比較圖

圖3 運(yùn)行時(shí)間匯總圖

3.3 改進(jìn)的行列式算法

以GPS衛(wèi)星系統(tǒng)為例，一般采用最小二乘法來獲得位置，但是算法的精度依賴于偽距的測量精度，實(shí)際定位過程中是假設(shè)偽距測量的精度相同，研究發(fā)現(xiàn)，觀測衛(wèi)星的仰角越大，偽距觀測量越小。為了解決這個(gè)問題，引入加權(quán)最小二乘法[3]。將偽距方程變化為矩陣方程：

r是衛(wèi)星與信號(hào)接收器之間的偽距值，Δxu、Δyu、Δzu表示信號(hào)接收器真實(shí)值與估計(jì)值在X、Y、Z方向上的偏差，c是光速，Δtu是衛(wèi)星時(shí)間偏差，a、b、c是X、Y、Z方向上的余弦值。上式可以簡化為：

σ代表GPS可視星偽距勘測誤差的方差，加權(quán)幾何精度因子為：

加權(quán)幾何精度因子主要與加權(quán)行列式WG有關(guān)，仿真得出GDOPWG隨著加權(quán)行列式WG的增大而減小。改良的方法為，第一，計(jì)算GPS系統(tǒng)中加權(quán)行列式的絕對(duì)值最大的m組星，第二，求解這m組可視星所對(duì)應(yīng)的加權(quán)GDOPWG值，第三，選則最小的GDOPWG相對(duì)應(yīng)的衛(wèi)星來定位。由此方法計(jì)算得出的精度如圖4所示，其中橫坐標(biāo)相對(duì)比值為(GDOPWG-GDOPmin)/GDOPmin，縱坐標(biāo)是 (GDOPWG-GDOPmin)/GDOPmin值小于某個(gè)數(shù)時(shí)，組合衛(wèi)星所占的百分比。由圖知，當(dāng)采用十五組GPS衛(wèi)星時(shí)，該改進(jìn)方法與最小幾何精度因子算法的差值小于0.1，所占比例高達(dá)80%，差值小于0.15的比例高達(dá)85%，充分說明改進(jìn)的加權(quán)行列式算法精度高，偏差小。

圖4 定位精度結(jié)果圖

在耗時(shí)方面，由圖5的仿真結(jié)果可知，改進(jìn)算法所需時(shí)間平均在15 ms，最小幾何精度因子算法所需時(shí)間在32 ms，充分表明該改進(jìn)算法比最小GDOP值算法所需時(shí)長少，耗時(shí)性更佳，時(shí)間上的優(yōu)越性在組合數(shù)越多時(shí)越能更好體現(xiàn)。

圖5 改進(jìn)行列式算法與最小GDOP值的耗時(shí)情況

4 結(jié) 論

通過總結(jié)GNSS系統(tǒng)中傳統(tǒng)的選星方法與改進(jìn)的幾種選星方法，得出以下結(jié)論：基于仰角、方位角的選星方法精度較高，6星的GDOP值與傳統(tǒng)最小幾何精度因子法相比偏差小于1.98%，且計(jì)算方法簡單，計(jì)算量小，實(shí)時(shí)性好，是一種高效的快速選星算法；改進(jìn)的體積法、改進(jìn)的行列式算法精度在允許范圍之內(nèi)，運(yùn)算量得到明顯改善，耗時(shí)性得到提高?？梢缘贸鲞@3種改進(jìn)的選星算法能很好應(yīng)用于接收機(jī)進(jìn)行快速選星，實(shí)現(xiàn)實(shí)時(shí)性定位。

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