談高中數(shù)學(xué)中的恒成立問題

陳德華

(江蘇省溧陽市竹簀中學(xué) 213351)

高中數(shù)學(xué)十分考驗(yàn)學(xué)生的綜合能力，而且學(xué)生在進(jìn)行數(shù)學(xué)問題的解決過程中會(huì)提升自身的思維能力，所以教師在進(jìn)行高中數(shù)學(xué)教授時(shí)要注意講究方法，從而提升學(xué)生在數(shù)學(xué)方面的綜合素質(zhì).數(shù)學(xué)問題有很多種類，而且針對(duì)不同的不同種類的數(shù)學(xué)問題有不同的解決方法，學(xué)生只有掌握了正確的解決方法，才能夠高效率地去解決數(shù)學(xué)問題，所以教師在平時(shí)課堂教授過程中應(yīng)該多多去傳授給學(xué)生解題方法，而不應(yīng)該讓學(xué)生去進(jìn)行記憶解題.恒成立問題是數(shù)學(xué)問題的一個(gè)重要類別，而且解決該問題時(shí)有很多種思路和方法，例如分離參數(shù)法，函數(shù)最值法等，教師在進(jìn)行教授時(shí)應(yīng)該針對(duì)每一種解題方法都舉例說明，并讓學(xué)生做適當(dāng)?shù)木毩?xí)，在做題的過程中去進(jìn)行總結(jié)，從而提升學(xué)生自身的邏輯能力和解決數(shù)學(xué)問題的能力.

一、構(gòu)造函數(shù)恒成立法

函數(shù)是數(shù)學(xué)問題中一個(gè)很重要的類別，通過函數(shù)學(xué)生可以解決很多問題，并且將數(shù)學(xué)問題進(jìn)行簡(jiǎn)化.而恒成立問題是指在已知條件下，無論其他變量有什么變化，其命題都永遠(yuǎn)成立.高中數(shù)學(xué)恒成立問題中涉及到很多函數(shù)，所以在進(jìn)行該問題的解決時(shí)，教師不妨讓學(xué)生利用函數(shù)去求解.一次函數(shù)，二次函數(shù)甚至是多元函數(shù)等都是數(shù)學(xué)中重要的知識(shí)點(diǎn)，也是考試的重點(diǎn)內(nèi)容.函數(shù)在數(shù)學(xué)問題中以多種形式展現(xiàn)，因此其學(xué)習(xí)難度系數(shù)較大，所以教師在讓學(xué)生利用函數(shù)去解決恒成立問題時(shí)，要教授給學(xué)生正確的方法，讓數(shù)學(xué)問題不再成為難題.而利用函數(shù)去解決恒成立問題，其中一個(gè)重要的方法就是構(gòu)造新函數(shù)，通過新函數(shù)的構(gòu)造來簡(jiǎn)化問題，從而使得恒成立求解更加容易，讓學(xué)生能夠更加高效率的解決恒成立問題.除此之外，函數(shù)可以在坐標(biāo)系中作圖，所以在解決恒成立問題時(shí)，教師可以利用函數(shù)的圖像來進(jìn)行求值.

我們?cè)诶煤瘮?shù)解決恒成立問題時(shí)要注意轉(zhuǎn)化，可以通過未知數(shù)的轉(zhuǎn)化，或者是將函數(shù)轉(zhuǎn)化成圖像來進(jìn)行求解.例如，若不等式2x-1>m(x2-1)，對(duì)滿足-2≤m≤2所有的x都成立，求x的取值范圍.這是一道關(guān)于不等式的恒成立問題，而且不等號(hào)兩邊都有未知數(shù)，我們不妨先將原不等式轉(zhuǎn)化為m(x2-1)-(2x-1)<0，而為了借助函數(shù)去解決該問題，我們可以再構(gòu)造函數(shù)f(m)=(x2-1)m-(2x-1)(-2≤m≤2)，不難發(fā)現(xiàn)，該函數(shù)是一次函數(shù)，那么題干中的不等式恒成立問題便轉(zhuǎn)化成一次函數(shù)的恒成立問題，即f(m)>0恒成立.在該問題中，需要求出變量的取值范圍，x為已知參數(shù)，這與以往的求未知數(shù)的取值范圍不同.那么在此問題中，我們可以針對(duì)一次項(xiàng)的系數(shù)進(jìn)行分類，當(dāng)x-1分別等于0，小于0，大于0時(shí)，讓函數(shù)大于0的關(guān)于x的解集，根據(jù)此種方法，我們將x看成變量，完成了函數(shù)變量的轉(zhuǎn)化，從而更加容易的解決恒成立問題.所以學(xué)生在平時(shí)解決恒成立問題中，不妨多多去利用函數(shù)的性質(zhì)來簡(jiǎn)化恒成立問題.

二、數(shù)形結(jié)合恒成立法

數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過程中會(huì)有很多圖形，而且這些圖形與數(shù)字有著密切的聯(lián)系，并且在解題過程中，若利用圖像，會(huì)簡(jiǎn)化問題的解決步驟.而且圖像與很多類數(shù)學(xué)問題都有聯(lián)系，例如函數(shù)問題.而在進(jìn)行函數(shù)圖像繪畫時(shí)，首先需要去構(gòu)造函數(shù)，并且求出自變量的范圍，而后再做出坐標(biāo)系去考慮函數(shù)與函數(shù)圖像之間的聯(lián)系，最后作出函數(shù)圖像.在數(shù)學(xué)問題的解決過程中，數(shù)形結(jié)合的思想應(yīng)用很普遍，也很高效.利用該思想可以直接將一些復(fù)雜難懂的公式以及概念通過圖像直觀表示出來，從而使得學(xué)生能夠更進(jìn)一步的理解數(shù)學(xué)問題.而在解決恒成立問題過程中，學(xué)生也可以利用數(shù)形結(jié)合的方法去進(jìn)行該類問題的解決，且通過做出圖像能夠更加準(zhǔn)確地求出恒成立問題成立時(shí)未知數(shù)的范圍.例如，解由2x-1≥x-2，x+8≥4x-1組成的方程組，傳統(tǒng)解法中直接去計(jì)算方程組的解，但為了簡(jiǎn)便計(jì)算，我們可以將其看成為不等式的恒成立問題并且去利用圖像進(jìn)行求解，首先我們計(jì)算出每一個(gè)方程的解集，作出數(shù)軸，并將兩個(gè)方程的解集分別標(biāo)在數(shù)軸上，取其交集，而交集即是恒成立問題的解，也是該方程組的解.很明顯這種方法比直接解方程組速度快，正確率高.所以學(xué)生在解決恒成立問題時(shí)，不妨多多作圖像，從而在圖像中尋找解決問題的簡(jiǎn)便方法.

三、分離參數(shù)恒成立法

恒成立問題往往是求不同變量的取值范圍，而且在該問題的整式中會(huì)含有多種參數(shù)，包括已知和未知參數(shù).所以學(xué)生在進(jìn)行解題時(shí)，要能夠?qū)⑦@些參數(shù)進(jìn)行分離，分離的過程可以通過將含有參數(shù)的不等式問題進(jìn)行變形來實(shí)現(xiàn).分離參數(shù)解決恒成立問題，能夠?qū)?fù)雜的恒成立問題簡(jiǎn)單化，且能夠提升解決問題的正確率和效率.在平時(shí)的數(shù)學(xué)問題解答過程中，我們通常將不同的位置數(shù)轉(zhuǎn)換成未知元x，在恒成立習(xí)題中，我們可以將參數(shù)視作主元，通過這種轉(zhuǎn)化可以簡(jiǎn)化恒成立問題.分離參數(shù)進(jìn)行恒成立問題的解決時(shí)，學(xué)生需要正確將未知數(shù)轉(zhuǎn)化，而實(shí)現(xiàn)此能力需要學(xué)生進(jìn)行多次的鍛煉，那么教師在平時(shí)的課堂上，便可以多多去帶領(lǐng)學(xué)生練習(xí)該方面的習(xí)題.

例如在“x∈R時(shí)，不等式4a+sinx+a2≥0恒成立，求出實(shí)數(shù)a的取值范圍.”的恒成立問題解題過程中，通過觀察已知條件，我們發(fā)現(xiàn)該問題中有兩個(gè)變量a和x，其中x∈R，另一變量a范圍是求值數(shù)，所以在利用分離參數(shù)解決恒成立問題時(shí)，首先我們要對(duì)a和x進(jìn)行分離，解出解析式的變形后為sin2x+4sinx5，最終我們解出a的范圍:小于-1或者是大于5.在該問題中，我們通過分離參數(shù)，將恒成立問題轉(zhuǎn)化成求得函數(shù)的最值問題，從而進(jìn)行進(jìn)一步參數(shù)的求值.

總之，高中數(shù)學(xué)恒成立問題主要是探求未知數(shù)的取值范圍和解集，而且往往恒成立問題中會(huì)摻雜許多其他種類的數(shù)學(xué)知識(shí)，包括數(shù)學(xué)的函數(shù)，數(shù)學(xué)不等式以及各種圖像等，這便讓恒成立問題解決起來變得困難.但也正是由于恒成立問題中包含許多其他類問題，我們所能用來解決問題的數(shù)學(xué)性質(zhì)增多，這便為我們解決數(shù)學(xué)恒成立問題提供了多種方法.教師在進(jìn)行恒成立問題的教授時(shí)應(yīng)該讓學(xué)生多多去練習(xí)，并且在練習(xí)中學(xué)會(huì)總結(jié)，從而讓學(xué)生找出最適合自己的解決恒成立問題的解題方法.

參考文獻(xiàn)：

[1]孟凡棟.恒成立型不等式中參數(shù)范圍的幾種求法[J].數(shù)學(xué)教學(xué)通訊,2004(01).