關(guān)于高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的實(shí)踐與思考

陳元章

（廈門(mén)海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)，福建 廈門(mén) 361026）

高中數(shù)學(xué)建模的課堂教學(xué)實(shí)踐是一個(gè)不斷探索和創(chuàng)新、不斷完善和提升的過(guò)程。通過(guò)引入數(shù)學(xué)建模思想和方法，使數(shù)學(xué)建模滲透進(jìn)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的始終，可增進(jìn)學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)建模的認(rèn)知和理解，更好地促進(jìn)學(xué)生數(shù)學(xué)思維的發(fā)展，激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣和熱情，形成靈活應(yīng)用數(shù)學(xué)建模知識(shí)的實(shí)踐探究能力、觀察分析和抽象概括能力，深刻體會(huì)高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的價(jià)值和意義。

一、在概念教學(xué)中滲透建模思想，讓學(xué)生深入理解數(shù)學(xué)概念內(nèi)涵

數(shù)學(xué)概念教學(xué)極為重要，為了讓數(shù)學(xué)概念教學(xué)中不單調(diào)不枯燥，教師可嘗試進(jìn)行數(shù)學(xué)建模，對(duì)核心概念本質(zhì)屬性進(jìn)行抽象又簡(jiǎn)潔的刻畫(huà)，體驗(yàn)數(shù)學(xué)概念的獲得過(guò)程。在建模過(guò)程中，為了更好地培育學(xué)生的主動(dòng)學(xué)習(xí)意識(shí)和精神，發(fā)展未來(lái)生活中實(shí)用的知識(shí)和能力，教師要引領(lǐng)學(xué)生主動(dòng)學(xué)習(xí)、自主發(fā)現(xiàn)、獨(dú)立思考、善于歸納、勇于反思。概念模型建構(gòu)的關(guān)鍵是創(chuàng)設(shè)數(shù)學(xué)建模問(wèn)題情境，它可讓學(xué)生充分理解數(shù)學(xué)概念，形成開(kāi)放性思維，幫助理解開(kāi)放度較大的概念習(xí)題。以概念模型建構(gòu)為契機(jī)，形成獨(dú)特的體驗(yàn)式教學(xué)風(fēng)格，使數(shù)學(xué)建模思想滲透到學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)過(guò)程中，形成學(xué)數(shù)學(xué)用數(shù)學(xué)的建模意識(shí)。

案例1：在人教版《高中數(shù)學(xué)必修1》指數(shù)函數(shù)一課中的概念教學(xué)，教師引入數(shù)學(xué)建模的思想，運(yùn)用建模的方法來(lái)進(jìn)行教學(xué)。首先，引入“獎(jiǎng)勵(lì)硬幣”的建模情境和問(wèn)題，如果1號(hào)學(xué)生獎(jiǎng)2枚硬幣、2號(hào)學(xué)生獎(jiǎng)4枚硬幣、3號(hào)學(xué)生獎(jiǎng)8枚硬幣……，那么51號(hào)學(xué)生應(yīng)當(dāng)獎(jiǎng)多少枚硬幣？引領(lǐng)學(xué)生自主發(fā)現(xiàn)，1號(hào)：2=21；2號(hào)4=22；3號(hào)8=23……大膽假設(shè)，歸納得出y=2x（y代表學(xué)生獎(jiǎng)勵(lì)的硬幣數(shù)，x代表學(xué)生的座號(hào)數(shù)），然后再?gòu)木唧w的建模問(wèn)題情境中抽象出數(shù)學(xué)模型y=ax。

在這個(gè)巧妙的數(shù)學(xué)建模情境問(wèn)題中，可以使學(xué)生充分認(rèn)識(shí)指數(shù)的概念，理解指數(shù)函數(shù)的內(nèi)涵與外延，并且在這個(gè)“獎(jiǎng)勵(lì)硬幣”的娛樂(lè)性學(xué)習(xí)活動(dòng)過(guò)程中，極大激發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣。

二、在解題教學(xué)中引入建模方法，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力

在解決各類習(xí)題時(shí)，建立數(shù)學(xué)模型是一種十分有效的方法。習(xí)題教學(xué)的有效教學(xué)策略是教師采用一定數(shù)量的習(xí)題，讓學(xué)生進(jìn)行小組合作，完成數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)。通過(guò)數(shù)學(xué)建模的設(shè)計(jì)與合作學(xué)習(xí)，可以較好地培養(yǎng)學(xué)生的合作能力，培養(yǎng)學(xué)生觀察生活、分析問(wèn)題、解決問(wèn)題的能力，把學(xué)生帶入數(shù)學(xué)世界，充分感受到數(shù)學(xué)的魅力，從而主動(dòng)地融入到數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)中。用數(shù)學(xué)建模的思想方法解決數(shù)學(xué)習(xí)題，更好地鞏固所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)，培養(yǎng)學(xué)生的數(shù)學(xué)應(yīng)用意識(shí)，增強(qiáng)學(xué)生關(guān)于數(shù)學(xué)建模思想方法的認(rèn)識(shí)，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力。選用教材內(nèi)外的典例時(shí)，需要教師考慮所學(xué)的數(shù)學(xué)知識(shí)與生活應(yīng)用緊密聯(lián)系的特點(diǎn)，體現(xiàn)課標(biāo)中數(shù)學(xué)知識(shí)生活化的要求。

案例2：健身場(chǎng)所通常會(huì)有一個(gè)身高體重對(duì)照表，成年人〔身高（cm）-100〕×0.9=標(biāo)準(zhǔn)體重（kg），如果體重超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)體重的120%為偏胖，低于標(biāo)準(zhǔn)體重的80%為偏瘦。試問(wèn)：身高175cm、體重為78kg的未成年男生的體重是否屬于正常值？

首先，教師可以引導(dǎo)合作小組Ⅰ的學(xué)生進(jìn)行建模準(zhǔn)備，調(diào)查并采集未成年男生的身高及體重的數(shù)據(jù)；其次，讓合作小組Ⅱ的學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)處理。以身高為橫坐標(biāo)，體重為縱坐標(biāo)，繪制散點(diǎn)坐標(biāo)圖；再次，合作小組Ⅲ的學(xué)生進(jìn)行數(shù)據(jù)分析。根據(jù)所學(xué)數(shù)學(xué)知識(shí)，提出數(shù)學(xué)模型假設(shè)，數(shù)學(xué)模型為指數(shù)型y=a·bx或y=ax+b（x身高，y體重）。

三、在作業(yè)講評(píng)教學(xué)中鞏固建模能力，培養(yǎng)學(xué)生對(duì)模型的直觀識(shí)別能力

高中數(shù)學(xué)課堂教學(xué)時(shí)間極其有限，沒(méi)有給學(xué)生充分內(nèi)化的時(shí)間，因此必須布置課外作業(yè)以加強(qiáng)所學(xué)的建模知識(shí)，加深對(duì)建模思想和方法的理解和掌握，在課堂上還需要重點(diǎn)講評(píng)部分建模作業(yè)加以鞏固，以形成建模技能，達(dá)到熟練掌握的目的。從趣味性、生活化的數(shù)學(xué)建模作業(yè)中，學(xué)生感受和體驗(yàn)到數(shù)學(xué)的實(shí)用性價(jià)值，增強(qiáng)了數(shù)學(xué)建模思想。在講評(píng)教學(xué)中，重點(diǎn)鞏固建模的過(guò)程，著重提升學(xué)生的觀察分析能力、歸納總結(jié)能力與邏輯推理能力，提高學(xué)生對(duì)數(shù)學(xué)模型的直觀識(shí)別能力。

案例3：高中數(shù)學(xué)概念知識(shí)中的函數(shù)概念極其抽象，為了使學(xué)生更深刻地理解函數(shù)概念的本質(zhì)，教師可考慮重點(diǎn)講評(píng)如下數(shù)學(xué)建模作業(yè)的函數(shù)模型。

（1）某城市出租車的收費(fèi)標(biāo)準(zhǔn)為：三公里之內(nèi)為8元，每增加一公里增加1.7元。請(qǐng)問(wèn)：某人坐了10公里，需付多少錢(qián)？

根據(jù)題目的條件，可建模0≤S≤3，y=8；S≥3，y=8+1.7（S-3），建模后進(jìn)行驗(yàn)證，算出y=8+1.7（S-3）=8+1.7X7=19.9。

（2）移動(dòng)通訊開(kāi)設(shè)兩種不同的通訊業(yè)務(wù)，“全球通”是預(yù)先交納50元月基礎(chǔ)費(fèi)用，再每通話1分鐘付電話費(fèi)0.4元；“神州行”則無(wú)須交納月基礎(chǔ)費(fèi)用，每通話1分鐘付電話費(fèi)0.6元。如果以一個(gè)月為期，通話100分鐘，哪種更合算？

假設(shè)通話時(shí)間為t，“全球通”的通訊方式的費(fèi)用為y1元，“神州行”的費(fèi)用為y2元。根據(jù)題目的問(wèn)題情境，建模結(jié)果為y1=50+0.4t；y2=0.6t。利用數(shù)學(xué)模型可解決問(wèn)題，y1=50+0.4t=50+40=90元，y2=0.6t=0.6×100=60元。經(jīng)對(duì)比，神州行花費(fèi)少，更合算。

四、關(guān)于高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)的若干思考

1.建模教學(xué)要立足于學(xué)習(xí)興趣和知識(shí)基礎(chǔ)

建模教學(xué)并非易事，需要學(xué)生對(duì)實(shí)際問(wèn)題研究具有濃厚興趣和深厚扎實(shí)的數(shù)學(xué)知識(shí)，要求教師具備深入研究的能力，能準(zhǔn)確觀察研究對(duì)象的固有特征，發(fā)現(xiàn)內(nèi)在規(guī)律，建立起反映實(shí)際問(wèn)題的數(shù)量關(guān)系，分析建模問(wèn)題與數(shù)學(xué)知識(shí)之間的關(guān)聯(lián)性，使數(shù)學(xué)本質(zhì)由模糊逐漸走向清晰。

2.建模教學(xué)要注重過(guò)程和環(huán)境創(chuàng)設(shè)

數(shù)學(xué)建模教學(xué)的指導(dǎo)思想是：以實(shí)驗(yàn)為基礎(chǔ)，以學(xué)生為中心，以問(wèn)題為主線，以培養(yǎng)能力為目標(biāo)。這就要求教師在建模教學(xué)時(shí)，要重學(xué)生的體驗(yàn)過(guò)程，體驗(yàn)利用數(shù)學(xué)知識(shí)和方法去分析和解決問(wèn)題的全過(guò)程，提高分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力，以及應(yīng)用數(shù)學(xué)的意識(shí)和能力。教學(xué)過(guò)程的重點(diǎn)是創(chuàng)造建模情境，而建模情境和問(wèn)題沒(méi)有既定模式和現(xiàn)成答案，需要學(xué)生發(fā)揮想象力、聯(lián)想力和創(chuàng)造力，對(duì)于激發(fā)學(xué)生的發(fā)散性思維有極大的作用和意義，可激發(fā)學(xué)生探索數(shù)學(xué)模型的欲望和熱情，增強(qiáng)獲取新知識(shí)能力和創(chuàng)新探究能力，因而，教學(xué)時(shí)教師要重過(guò)程輕結(jié)果，重環(huán)境創(chuàng)設(shè)輕知識(shí)獲取。

3.建模教學(xué)要重視模型檢驗(yàn)環(huán)節(jié)

建模具有涉及面廣、形式靈活等特點(diǎn)。每個(gè)數(shù)學(xué)模型都存在一定的局限性，只適用于一定的條件范圍。有的建模過(guò)程沒(méi)有經(jīng)過(guò)規(guī)范的步驟，缺乏模型檢驗(yàn)環(huán)節(jié)。模型檢驗(yàn)是將模型分析的結(jié)果和實(shí)際情形進(jìn)行對(duì)比，以驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性，如果模型與實(shí)際較吻合，就可解釋實(shí)際含義，如果不吻合，就應(yīng)該修改假設(shè)，重新建模。

總之，教師要積極創(chuàng)設(shè)建模情境，成為學(xué)生的引領(lǐng)者和促進(jìn)者，讓學(xué)生積極主動(dòng)地參與到數(shù)學(xué)建模的學(xué)習(xí)中來(lái)，感知數(shù)學(xué)模型的建構(gòu)方式，成為建模的有心人。教師要根據(jù)學(xué)生的學(xué)情，把握數(shù)學(xué)模型問(wèn)題的深度和難度，激發(fā)和維持學(xué)生建模的學(xué)習(xí)欲望，培養(yǎng)數(shù)學(xué)創(chuàng)造性思維，將建模思想和方法應(yīng)用于現(xiàn)實(shí)生活中，以提高學(xué)生的抽象概括能力和應(yīng)用解題能力。

［1］楊立超.高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)探究［D］.大連：遼寧師范大學(xué)，2015.

［2］孫丹.建構(gòu)主義理論指導(dǎo)下的中學(xué)數(shù)學(xué)建模教學(xué)研究［D］.延吉：延邊大學(xué)，2015.

［3］徐園園.高中數(shù)學(xué)建模教學(xué)策略［D］.西安：西北大學(xué)，2015.

（陳元章，廈門(mén)海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)特級(jí)教師）