平面2R機械臂運動學分析

黃　健，李占賢

(華北理工大學 河北省工業(yè)機器人產(chǎn)業(yè)技術研究院，河北　唐山　063210)

0　引言

在實際工程領域,很多應用場合下不總是需要多自由度機器人的復雜運動,因此自由度少、結構簡單、經(jīng)濟實用的串聯(lián)機構早已引起國內(nèi)外研究者的濃厚興趣。隨著科技的進步,人們涉足的領域越來越廣,這就必然要求我們對知識和理論不斷進行創(chuàng)新[1]。目前，機器人的運動學分析有兩個問題需要解決:運動學正問題,即根據(jù)關節(jié)位移、速度、加速度和臂長求末端點的運動狀態(tài)；動力學逆問題,即已知末端點運動軌跡和臂長求解對應的關節(jié)位移、速度和加速度[2]。平面2R串聯(lián)機械臂的運動學分析至關重要，它可以為多自由度的復雜結構機器人的運動學分析、動力學分析、軌跡規(guī)劃和控制方法的研究提供理論基礎。

1　平面2R機械臂結構

平面2R機械臂主要由基座、大臂和小臂組成。基座固定不動，它的作用是固定機械臂，保持整個機械臂穩(wěn)定。大臂是通過大臂關節(jié)和底座連接的，它們之間構成轉動副。小臂是通過小臂關節(jié)和大臂連接的，它們之間構成轉動副，小臂末端通常會和手爪連接，整個機械臂在平面內(nèi)有兩個自由度[3]。平面2R機械臂結構如圖1所示。

2　平面2R機械臂的運動學正解

將平面2R機械臂機構簡化為數(shù)學模型并建立坐標系，如圖2所示。

圖2中，θ1和θ2均為矢量，規(guī)定逆時針方向為正，順時針方向為負。θ1>0為逆時針方向，θ2<0為順時針方向。

(1)

式(1)可以看成是坐標旋轉和坐標平移的復合變換。

將復合變換寫成矩陣形式：

(2)

依據(jù)Denavit-Htenberg法，用4×4的齊次變換矩陣描述相鄰兩連桿的空間關系，得到平面2R機械臂的連桿參數(shù)，如表1所示。

表1　平面2R機械臂的連桿參數(shù)

表1中，Li-1表示連桿i-1的長度；αi-1表示連桿i-1的扭角；di表示Li-1與軸線i的交點到Li與軸線i的交點的距離，沿軸線i測量；θi表示Li-1與Li之間的夾角，繞軸線i由Li-1到Li測量。

根據(jù)表1中的參數(shù)，可得到連桿變換矩陣：

根據(jù)變換矩陣的乘法公式可知：

根據(jù)圖1可知：

解得:

(3)

式(3)稱為平面2R機械手的運動學方程。

3　運動學逆解

3.1　關節(jié)角度逆解

末端點坐標與桿長的三角形幾何關系如圖3所示。圖3中-π-θ2<0為順時針方向。

圖3　三角形幾何關系

由余弦定理可知：

解得:

(4)

將L2=x2+y2代入式(4)中，得：

或

工程實際當中，多數(shù)情況下取θ2∈(-π，0)，則：

(5)

將式(5)代入式(3)中，得：

綜上所述，求得θ1和θ2為：

3.2　關節(jié)角速度逆解

操作臂的雅克比矩陣定義為它的操作速度與關節(jié)速度的線性變換，可以看成是從關節(jié)空間向操作空間運動速度的傳動比。操作臂的運動方程為：

x=x(q).

(6)

式(6)代表操作空間x與關節(jié)空間q之間的位移關系。將式(6)兩邊對時間求導，即可得出q與x的微分關系：

x′=J(q)q′.

(7)

其中：x′稱為末端操作空間的廣義速度；q′為關節(jié)速度；J(q)是偏導數(shù)矩陣，稱為操作臂的雅克比矩陣[4]。

將平面2R機械臂運動學方程兩邊同時對時間求一階導數(shù)，則得：

(8)

根據(jù)式(8)可以看出雅克比矩陣為：

則雅克比矩陣的逆矩陣為：

求得關節(jié)速度逆解為：

解得:

4　結語

平面2R機械臂的運動學正解表明末端點的位姿取決于大小臂長和大小臂關節(jié)角度，當臂長確定時，適當改變關節(jié)角度可以使末端點到達設定位置；運動學逆解表明關節(jié)角度、關節(jié)角速度和大小臂長以及末端點的運動狀態(tài)有關，當臂長一定，末端點運動軌跡確定時，在某時刻的角度和角速度是確定值，此時機械臂有確定的位置。通過對機械臂運動學正逆解的分析可以很容易控制機械臂運動參數(shù),使其達到預定位置來滿足工作和使用要求。

參考文獻：

[1]張磊.平面2R串聯(lián)機器人機構運動學分析[J].科技創(chuàng)新導報，2009(25):32-33．

[2]李朝暉，李立.平面2R機器人機構混沌運動的控制[J].西南交通大學學報，2006,41(1):11-14.

[3]楊廷力.機器人機構拓撲結構學[M].北京: 機械工業(yè)出版社，2004.

[4]黃真，趙永生，趙鐵石.高等空間機構學[M].北京: 高等教育出版社，2006.