Hermite-Hadamard不等式的一個q-模擬

時統(tǒng)業(yè),陳正義

(海軍指揮學院 信息系，江蘇 南京 211800)

0　引言和引理

著名的Hermite-Hadamard不等式[1]是凸函數(shù)理論中被廣泛研究的不等式之一，它是Jensen不等式的加細：

(1)

其中f是區(qū)間I上的凸函數(shù)，a，b∈I，a

有關不等式(1)的推廣和加細以及各種類型凸函數(shù)的Hermite-Hadamard型不等式，可參閱文獻[2]．王良成給出式(1)的如下推廣：

定理1[3]設f是[a，b]上的連續(xù)凸函數(shù)，p∈(0，1)，ξ=pa+(1-p)b，則

(2)

引理1[4]設f(x)是區(qū)間I上的凸函數(shù)，(a，b)I，則f(x)在(a，b)內的各點處都存在左、右導數(shù)(從而處處連續(xù))，且對x，y∈(a，b)，x

定義1[5]設f：[a，b]R→R是連續(xù)函數(shù)，x∈[a，b]，則稱

定義2[6]設f：[a，b]R→R是連續(xù)函數(shù)，x∈[a，b]，定義f的Riemann型q-積分為

由定義經簡單計算可知，對任意α∈R{-1}，x∈[a，b]，有下面公式[5]

(3)

引理2[7]設f，g：[a，b]R→R是連續(xù)函數(shù)，α∈R，則對任意x∈[a，b]有

引理3設f：[a，b]R→R是連續(xù)函數(shù)，則有

證由q-積分的定義得

引理4[8](q-Hermite-Hadamard不等式)設f：[a，b]R→R是連續(xù)凸函數(shù)，則有

(4)

當q→1時，由式(4)得到式(1)．

當q-導數(shù)的絕對值是凸函數(shù)時，文獻[9]給出由式(4)右端部分所產生的差式的估計．本文將給出式(1)的一個新的q模擬，使用的方法可見文獻[3]和文獻[8]．本文還仿照文獻[9]的方法，在q-導數(shù)的絕對值是凸函數(shù)、q-導數(shù)有界這兩種情況下，對由右端部分所產生的差式進行估計．當q→1時，得到已有文獻的結果．先引入下面記號：

f1(x)=f(pa+(1-p)x)，f2(x)=f(px+(1-p)b)，

Q(a,b;p,q;f)=

R(a,b;p,q;f)=

為證明本文的主要結果，需要下面q-積分的恒等式．

引理5設f：[a，b]→R是連續(xù)函數(shù)，aDqf在[a，b]上可積，則

(5)

證不妨設

由q-導數(shù)的定義有

于是有

由引理2得

又由引理3得

綜上所述，得

(6)

同理可得

(7)

注1設f是可微函數(shù)，在式(5)中令q→1得

1　主要結果

定理2設f：[a，b]→R是連續(xù)的凸函數(shù)，0

(8)

pa+(1-p)x=(1-λ(x))a+λ(x)b，px+(1-p)b=μ(x)a+(1-μ(x))b，

由凸函數(shù)的定義有

f(pa+(1-p)x)≤(1-λ(x))f(a)+λ(x)f(b)，

(9)

f(px+(1-p)b)≤μ(x)f(a)+(1-μ(x))f(b)，

(10)

對式(9)和式(10)中的x在[a，b]上求q-積分得

(11)

(12)

其中用到下面事實：利用引理2和公式(3)得

(13)

(14)

對式(13)、(14)中的x在[a，b]上求q-積分得

(15)

(16)

注2設f：[a，b]→R是連續(xù)的凸函數(shù)，在定理2中令p=1/2，q→1則有

q2|aDqg2(a)|+(1+q)|aDqg2(b)|]．

(17)

證由引理5及|aDqg1|和|aDqg2|的凸性得

由引理2和公式(3)得

同理可得

綜合以上結果，則式(17)得證．

注3在定理3中令q→1，則由式(17)得到下面梯形不等式[10]：

定理4設f：[a，b]→R是連續(xù)函數(shù)，函數(shù)g1(x)和g2(x)的定義同定理3，0

aDqg2在[a，b]上可積，且存在常數(shù)m1，M1，m2，M2，使得m1≤aDqg1≤M1，m2≤aDqg2≤M2，則有

(18)

證因為m1≤aDqg1≤M1，m2≤aDqg2≤M2，由引理5得

式(18)的右端部分得證．同理可證式(18)的左端部分．

參考文獻：

[1] Mitrinovic D S．Analytic inequalities[M]．New-York，Heidelerg，Berlin： Springer-Verlag，1970．

[2] Dragomir S S，Pearce C E M．Selected Topics on Hermite-Hadamard inequalities and applications[D]．Victoria：Victoria University，2000．

[3] 王良成．凸函數(shù)的Hadamard不等式的若干推廣[J]．數(shù)學的實踐與認識，2002，32(6)：1027-1030．

[4] 劉三陽，李廣民．數(shù)學分析十講[M]．北京：科學出版社，2011：89．

[5] Tariboon J，Ntouyas S K．Quantum integral inequalities on finite intervals[J]．J．Inequal．Appl．，2014(1)：121．

[6] Stankovic M S，Rajkovic P M，Marinkovic S D.Inequalities which includesq-integrals．Bull．Acad．Serbe Sci．Arts，Cl．Sci．Math．Natur．，Sci．Math．，2006，133(31)：137-146．

[7] Tariboon J,Ntouyas S K．Quantum calculus on finite intervals and applications to impulsive difference equations[J]．Advances in Difference Equations， 2013(1)：282．

[8] Marinkovic S D，Rajkovic P M，Stankovic M S．The inequalities for some types ofq-integrals[J]．Computers and Mathematics With Applications，2008，56(10)：2490-2498．

[9] Sudsutad W，Ntouyas S K，Tariboon J．Quantum integral inequalities for convex functions[J]．Journal of Mathematical Inequalities，2015，9(3)：781-793．

[10] Dragomir S S，Agarwal R P．Two inequalities for differentiable mappings and applications to special means of real numbers and trapezoidal formula[J]．Appl．Math．Let．,1998，11(5)：91-95．

[11] Ujevic N．New bounds for the first inequality of Ostrowski-Grüss type and applications[J]．Computers and Mathematics with Applications，2003，46(2)：421-427．