大型重載并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺(tái)動(dòng)力學(xué)建模

李二偉　趙鐵石　王　唱　邊　輝　胡強(qiáng)強(qiáng)　冀文杰

(1.燕山大學(xué)河北省并聯(lián)機(jī)器人與機(jī)電系統(tǒng)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004；2.燕山大學(xué)先進(jìn)鍛壓成形技術(shù)與科學(xué)教育部重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室， 秦皇島 066004)

0　引言

受海風(fēng)、浪、涌等的影響，在系泊或動(dòng)態(tài)定位系統(tǒng)作用下的補(bǔ)給船仍會(huì)產(chǎn)生橫搖、縱搖和垂蕩三自由度的復(fù)合運(yùn)動(dòng)，在高海況下，這些運(yùn)動(dòng)會(huì)嚴(yán)重影響海上平臺(tái)(如風(fēng)電塔、鉆井平臺(tái))的貨物補(bǔ)給和轉(zhuǎn)運(yùn)，如不采取措施甚至?xí)斐杉装鍝p壞、人員誤傷和財(cái)產(chǎn)損失。荷蘭Barge Master公司設(shè)計(jì)了一種用于海上接貨的穩(wěn)定平臺(tái)[1]并已商用，其機(jī)構(gòu)形式為3SS-3SPS兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)機(jī)構(gòu)，可以補(bǔ)償船舶的橫搖、縱搖和垂蕩運(yùn)動(dòng)。

并聯(lián)機(jī)構(gòu)具有剛度大、承載能力大、累積誤差小的優(yōu)點(diǎn)，在很多領(lǐng)域都有應(yīng)用。具有兩轉(zhuǎn)一移的少自由度并聯(lián)機(jī)構(gòu)3-RPS得到眾多學(xué)者的研究[2-10]。并聯(lián)機(jī)構(gòu)動(dòng)力學(xué)的建模方法常用的有牛頓-歐拉法[11]、拉格朗日法[12]、凱恩法[13]和影響系數(shù)法[14]。落海偉等[15]運(yùn)用子結(jié)構(gòu)綜合和模態(tài)縮聚技術(shù)，提出了全3-RPS全柔性并聯(lián)機(jī)構(gòu)的彈性動(dòng)力學(xué)建模方法；LEE等[16]采用拉格朗日方法分析了3-RPS機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)特性；ZHANG等[17]運(yùn)用螺旋理論分析了3-RPS機(jī)構(gòu)的動(dòng)力學(xué)；LI等[18]在考慮基于3-RPS機(jī)構(gòu)的A3主軸頭重力的情況下，建立了從操作空間外力到關(guān)節(jié)空間關(guān)節(jié)反力的全雅可比矩陣。

本文設(shè)計(jì)一個(gè)可以補(bǔ)償船舶橫搖、縱搖和垂蕩的具有3個(gè)變形剪叉分支的兩轉(zhuǎn)一移并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺(tái)。基于矢量法分析上平臺(tái)的伴隨位移、速度和加速度，相應(yīng)求得其位置解，然后基于螺旋理論建立該機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)解析模型，最后通過數(shù)值算例進(jìn)行仿真驗(yàn)證。

1　并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺(tái)構(gòu)型分析

圖1　并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺(tái)Fig.1　Parallel stabilizing cargo-receiving platform

圖2　變形剪叉分支的造型圖和機(jī)構(gòu)等效圖Fig.2　Profile diagram and equivalent mechanism of MSM limb

1.1　分支的機(jī)構(gòu)描述和等效

建立隨體坐標(biāo)系{Ai}，Ai位于對(duì)稱中心點(diǎn)，X軸與U1副的第2個(gè)軸線平行，Y軸沿U1副和U1′副中心的連線，Z軸根據(jù)右手法則確定。分支中桿1和1′、桿2和2′、兩個(gè)驅(qū)動(dòng)單元采用相同結(jié)構(gòu)，且都關(guān)于XAY面對(duì)稱布置。設(shè)U1、U1′、R12、R1′2′和R22′各運(yùn)動(dòng)副中心點(diǎn)的坐標(biāo)分別為(0，-b1，0)，(0，b1′，0)，(0，b2，c2)，(0，-b2′，-c2′)和(0，b3，c3)。根據(jù)運(yùn)動(dòng)的約束螺旋法，當(dāng)2個(gè)SPS驅(qū)動(dòng)單元同步運(yùn)動(dòng)時(shí)，即b1=b1′，b2=b2′，c2=c2′，b3=0，變形剪叉分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系為(由于SPS驅(qū)動(dòng)單元為6自由度分支，不影響分支的運(yùn)動(dòng)等效分析，這里忽略其運(yùn)動(dòng)螺旋)

(1)

經(jīng)過線性組合，可得式(1)運(yùn)動(dòng)等效螺旋系為

(2)

所以當(dāng)兩驅(qū)動(dòng)單元同步時(shí)，變形剪叉分支和RPS分支運(yùn)動(dòng)等效。

1.2　穩(wěn)定接貨平臺(tái)的機(jī)構(gòu)描述

為便于分析，首先把變形剪叉分支等效為RPS分支，則整個(gè)機(jī)構(gòu)可以等效為3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)，如圖3所示，建立下述右手坐標(biāo)系：地球坐標(biāo)系{e}、船舶(慣性測(cè)量模塊)坐標(biāo)系{s}、下平臺(tái)坐標(biāo)系{o}、上平臺(tái)坐標(biāo)系{p}。初始時(shí){s}系與{e}系重合，{p}系、{o}系和{s}系的x、y坐標(biāo)軸相互平行，z軸相互重合。{p}系坐標(biāo)原點(diǎn)p位于上平臺(tái)鉸鏈點(diǎn)Bi(i=1，2，3)圍成圓的圓心，且圓的半徑為rb，xp軸過B1鉸鏈點(diǎn)，yp軸平行于B2、B3鉸鏈點(diǎn)的連線。{o}系坐標(biāo)原點(diǎn)o位于下平臺(tái)等效鉸鏈點(diǎn)Ai(i=1，2，3)圍成圓的圓心，且圓的半徑為ra，xo軸過A1等效鉸鏈點(diǎn)，yo軸平行于A2、A3等效鉸鏈點(diǎn)的連線。另外oA2、oA3與xo軸的夾角分別為θ1和θ2。

圖3　并聯(lián)穩(wěn)定平臺(tái)的等效機(jī)構(gòu)Fig.3　Equivalent mechanism of PSCRP

2　并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺(tái)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

2.1　等效3-RPS并聯(lián)機(jī)構(gòu)的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

erep=eres+Ressrso+ReooroBi-RepprpBi

(3)

由于轉(zhuǎn)動(dòng)副的限制，各等效RPS分支的球鉸中心Bi(i=1,2,3)的軌跡被分別限制在與轉(zhuǎn)動(dòng)副軸線垂直且過轉(zhuǎn)動(dòng)副鉸鏈點(diǎn)Ai(i=1,2,3)的平面內(nèi)，則

(4)

式(3)和(4)共有12個(gè)線性方程，含有12個(gè)未知數(shù)(x、y、γ、oxBi、oyBi、ozBi，i=1,2,3)，則聯(lián)立可解得

(5)

其中

u1=sθ1tθ2-sθ2tθ1u2=tθ1tθ2(sθ1-sθ2)

u3=tθ1(1-cθ2)-tθ2(1-cθ1)
δ=γ+θ2

式中c表示cos，s表示sin，t表示tan。

(6)

(7)

其中

則可求得上平臺(tái){p}相對(duì)地球{e}的旋量速度eVep和旋量加速度eAep為

(8)

(9)

其中

同樣可求得下平臺(tái){o}相對(duì)地球{e}的旋量速度eVeo和旋量加速度eAeo為

(10)

(11)

{e}、{o}、{p}三者之間的旋量速度和旋量加速度有以下關(guān)系

eVep=eVeo+eVop=eVeo+AdgeooVop

(12)

(13)

由式(12)和(13)可分別求得{p}相對(duì)于{o}表示在{o}系的旋量速度oVop和旋量加速度oAop。

在{o}系中，根據(jù)矢量的疊加原理可得

orop=oroAi+orAiBi-RopprpBi(i=1,2,3)

(14)

聯(lián)立式(3)和(14)，可求得等效鉸鏈點(diǎn)Ai到Bi表示在{o}系的矢徑orAiBi和距離li=|orAiBi|。

在{o}系中，運(yùn)用虛設(shè)機(jī)構(gòu)法[19]和旋量加速度理論[20]對(duì)3-RPS機(jī)構(gòu)進(jìn)行速度和加速度分析。首先對(duì)各等效RPS分支分別虛設(shè)與R副垂直且不平行P副的轉(zhuǎn)動(dòng)副，并設(shè)為驅(qū)動(dòng)副，虛設(shè)后的機(jī)構(gòu)如圖4所示，則第i分支的運(yùn)動(dòng)螺旋系為

(15)

式中O——3×1零矩陣

對(duì)于第1分支os11=oe1，os12=oe2；對(duì)于第2分支os21=Rot(ozo,θ1)oe1，os22=Rot(ozo,θ1)oe2；對(duì)于第3分支os31=Rot(ozo,θ2)oe1，os32=Rot(ozo,θ2)oe2。則

(16)

圖4　等效3-RPS機(jī)構(gòu)的虛設(shè)機(jī)構(gòu)Fig.4　Virtual mechanism of equivalent 3-RPS

2.2　變形剪叉分支的運(yùn)動(dòng)學(xué)分析

(17)

圖5　變形剪叉分支建模Fig.5　Model of morph scissors mechanism

對(duì)偏置搖桿滑塊平面機(jī)構(gòu)AiBiBi2Ai2和搖桿搖塊平面機(jī)構(gòu)Ai1Bi1Ai2可以分別建立如下封閉的位置矢量方程

lAi2Ai+lAiBi=lAi2Bi2+lBi2Bi

(18)

lAi2Ai1+lAi1Bi1=lAi2Bi1

(19)

根據(jù)文獻(xiàn)[21]中的復(fù)數(shù)矢量法可解得

(20)

其中

A=liB=L5

λi2=λi1+θ3

注意λi1有2個(gè)解，需要根據(jù)機(jī)構(gòu)的初始安裝情況和機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)的連續(xù)性進(jìn)行取舍。

對(duì)各分支中桿1、2、1′和2′建立坐標(biāo)系，則可分別求出它們相對(duì)下平臺(tái)且表示在{Ai}系旋量速度和旋量加速度，并可通過伴隨變換矩陣的作用表示在{o}系中。

3　動(dòng)力學(xué)分析

(21)

圖6　上平臺(tái)受力分析Fig.6　Force analysis of upper platform

上平臺(tái)的慣性力旋量和重力旋量分別為

(22)

其中

式中oNp——上平臺(tái)的慣性張量矩陣

聯(lián)立式(21)和(22)可求得各分支提供給上平臺(tái)的約束力fj(j=1,2,…，6)。

以分支與上平臺(tái)鉸接的萬向副鉸軸為研究對(duì)象，忽略其重力和慣性力，其受力線矢fioSi和fi+3oSi+3以及桿1、1′分別對(duì)其提供的5個(gè)約束力螺旋如圖7所示。

以桿2為研究對(duì)象，其受到慣性力、重力、萬向鉸軸對(duì)其施加5個(gè)支反力螺旋和桿1對(duì)其施加的5個(gè)支反力螺旋，如圖8所示。

圖7　萬向副鉸軸受力分析Fig.7　Force analysis of universal pair

圖8　變形剪叉分支的受力分析Fig.8　Force analysis of morph scissors mechanism

忽略驅(qū)動(dòng)單元的質(zhì)量和慣性力，以桿1為研究對(duì)象，其受到慣性力、重力、桿2對(duì)其提供的5個(gè)支反力螺旋、下平臺(tái)對(duì)其提供的4個(gè)支反力螺旋和驅(qū)動(dòng)單元提供的驅(qū)動(dòng)力螺旋，如圖9所示。

圖9　桿1的受力分析Fig.9　Force analysis of link 1

4　數(shù)值算例

為了驗(yàn)證上述模型正確性，對(duì)圖1所示并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺(tái)進(jìn)行數(shù)值算例驗(yàn)證，在三維造型中測(cè)得各桿件結(jié)構(gòu)參數(shù)：ra=7.5 m，rb=7.38 m，z0=3.5 m，θ1=θ2=120°，θ3=10.2°，L1=4.8 m，L2=4.79 m，L3=2.25 m，L4=0.785 m，L5=2.5 m，orso=(0，0，0.225)Tm，mp=50 000 kg，Ip=diag(4.76×105，8.36×105，4.3×105)kg·m2，m1=1 705 kg，I1=diag(4.3×104，1.9×103，4.28×104)kg·m2，m1′=1 776 kg，I1′=diag(4.53×104，2.6×103，4.57×104)kg·m2，m2=754 kg，I2=diag(397，86，460)kg·m2，m2′=735 kg，I2′=diag(391，72，441)kg·m2。

忽略摩擦力、驅(qū)動(dòng)單元的重力和慣性力，給定重力加速度g=9.8 m/s2。假設(shè)慣性測(cè)量模塊測(cè)得船舶橫搖、縱搖和垂蕩規(guī)律分別為α(t)=6sin(2πt/6)，β(t)=3sin(2πt/4)，h(t)=1.5sin(2πt/6)。

圖10　剪叉分支的放大倍數(shù)曲線Fig.10　Amplification factor curves of MSM

圖11　Matlab得到的驅(qū)動(dòng)力曲線Fig.11　Force curves obtained by Matlab

圖12　穩(wěn)定接貨平臺(tái)的線條模型Fig.12　Polyline model of PSCRP

在ADAMS軟件中建立含變形剪叉分支的并聯(lián)穩(wěn)定接貨機(jī)構(gòu)的線條模型，如圖12所示，添加相應(yīng)約束，進(jìn)行相應(yīng)的運(yùn)動(dòng)學(xué)、動(dòng)力學(xué)仿真和曲線后處理，可得各分支SPS驅(qū)動(dòng)單元的驅(qū)動(dòng)力曲線，如圖13所示，通過對(duì)比可看出ADAMS仿真結(jié)果與Matlab所得相應(yīng)結(jié)果在驅(qū)動(dòng)力數(shù)值的求解精度達(dá)0.1 kN，這是由于ADAMS做動(dòng)力學(xué)仿真時(shí)需要考慮每個(gè)運(yùn)動(dòng)部件的質(zhì)量，而Matlab程序只考慮了上平臺(tái)和負(fù)載的質(zhì)量。仿真結(jié)果驗(yàn)證了運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)建模的正確性。據(jù)此可以初選驅(qū)動(dòng)元件并進(jìn)行進(jìn)一步的優(yōu)化設(shè)計(jì)和控制研究。

圖13　ADAMS仿真測(cè)得的驅(qū)動(dòng)力曲線Fig.13　Force curves obtained by ADAMS

5　結(jié)束語

針對(duì)海上貨物安全轉(zhuǎn)運(yùn)的需要，設(shè)計(jì)了一種具有3個(gè)變形剪叉分支的大型重載并聯(lián)穩(wěn)定接貨平臺(tái)，其變形剪叉分支具有行程放大的特性，使整個(gè)接貨平臺(tái)結(jié)構(gòu)更加緊湊并且可以補(bǔ)償船舶較大的垂蕩運(yùn)動(dòng)。建立了運(yùn)動(dòng)學(xué)和動(dòng)力學(xué)模型并用數(shù)值算例驗(yàn)證了其正確性。

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