洪水峰量聯(lián)合分布的4種重現(xiàn)水平對(duì)比*

陳子燊，劉占明，趙青

(1.中山大學(xué)地理學(xué)院，廣東 廣州 510275；2.佛山科學(xué)技術(shù)學(xué)院，廣東 佛山 528000；3.中山市南區(qū)水利所，廣東 中山 528455)

政府間氣候變化專門委員會(huì)(IPCC)第5次評(píng)估報(bào)告預(yù)測(cè)氣候變化會(huì)增大包括洪澇在內(nèi)的各種水文極端事件發(fā)生的概率，此對(duì)江河堤圍和水庫(kù)大壩等水利工程設(shè)施將造成嚴(yán)重威脅。如何評(píng)估變化環(huán)境下水文極端事件的風(fēng)險(xiǎn)并提出相應(yīng)的設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)是應(yīng)對(duì)洪澇災(zāi)害的重要科學(xué)與工程應(yīng)用問題。洪水過程是由洪峰流量、洪水總量和洪水歷時(shí)等多個(gè)特征要素有機(jī)組成的一個(gè)整體，至今對(duì)多變量洪水頻率分析已經(jīng)有較多的研究[1-5]，文獻(xiàn)[6]對(duì)此作了述評(píng)。李天元等[7]認(rèn)為目前大多數(shù)研究還限于在構(gòu)建多變量洪水聯(lián)合分布的基礎(chǔ)上進(jìn)行聯(lián)合重現(xiàn)期和條件概率的分析。郭生練等[8]進(jìn)一步指出，對(duì)于給定的重現(xiàn)期水平，存在無窮多種滿足防洪標(biāo)準(zhǔn)的洪峰、洪水總量組合，如何合理地選擇設(shè)計(jì)值是關(guān)鍵問題，如何在多變量框架下進(jìn)行洪水聯(lián)合設(shè)計(jì)值估算和風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估仍然是一個(gè)有爭(zhēng)議的問題，應(yīng)加強(qiáng)這方面的研究。

至今，“或”和“且”重現(xiàn)期是最常用的兩種多變量重現(xiàn)期定義方法，但在安全與危險(xiǎn)事件的判定上兩者都存在著較大局限性[9]。Salvadori等[10]針對(duì)“或”重現(xiàn)期的不足提出了劃分安全與危險(xiǎn)臨界域的新多變量重現(xiàn)期——Kendall重現(xiàn)期(Kendall return periods，KRP。又稱二次重現(xiàn)期，secondary return periods)，其相關(guān)原理已在海岸工程設(shè)計(jì)研究中得到了初步應(yīng)用[11-12]。隨后，進(jìn)一步針對(duì)“且”重現(xiàn)期的不足，基于生存Kendall分布函數(shù)，提出了劃分安全與危險(xiǎn)的臨界域的新多變量重現(xiàn)期—生存kendall重現(xiàn)期(survival Kendall return periods，SKRP)[13]。本文擬通過實(shí)例對(duì)比分析 “或”首次重現(xiàn)期和二次重現(xiàn)期的聯(lián)合設(shè)計(jì)水平、“且”首次重現(xiàn)期和生存Kendall重現(xiàn)期的聯(lián)合設(shè)計(jì)水平之間的差異，希翼有助于深化對(duì)洪水風(fēng)險(xiǎn)的認(rèn)識(shí)，為防洪設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)提供新的參考。

1　理論與方法

1.1　Copula函數(shù)與首次重現(xiàn)期

根據(jù)Sklar定理，若F(·)是一個(gè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的累積分布函數(shù)，其邊緣分布函數(shù)是連續(xù)函數(shù)u=FX(x),v=FY(y)，則有唯一的Copula函數(shù)C使得：

F(x,y)=P(X≤x,Y≤y)=

C(FX(x),FY(y))=C(u,v)

(1)

(2)

(3)

“或”重現(xiàn)期和“且”重現(xiàn)期也統(tǒng)稱為首次重現(xiàn)期(primary return periods)。

1.2　Kendall分布函數(shù)與Kendall重現(xiàn)期

從首次重現(xiàn)期可知，不同的u、v組合只要其出現(xiàn)累積概率(記為t)相同都可產(chǎn)生相同的重現(xiàn)期。針對(duì)“或”首次重現(xiàn)期定義的安全域/危險(xiǎn)域存在誤判的問題，Salvadori等[10]利用Nelsen[14]定義的Kendall分布函數(shù)劃分出亞臨界(安全域)、臨界(警戒事件)和超臨界(危險(xiǎn)域)3種情景。通過判定累積概率是否小于或等于某臨界概率t，將多維的極值事件投射為一維分布。則基于Copula函數(shù)累積概率為t的(u,v)組合值，Kendall分布函數(shù)KC為[15]：

KC(t)=t-φ(t)/φ′(t),0

(4)

式中，φ′(t)為φ(t)的右導(dǎo)數(shù)。由Kendall分布函數(shù)確定的重現(xiàn)期即Kendall重現(xiàn)期為：

(5)

1.3　生存Kendall函數(shù)與生存Kendall重現(xiàn)期

(6)

定義TSK為生存Kendall重現(xiàn)期(survival Kendall return period，SKRP)：

(7)

1.3　聯(lián)合分布設(shè)計(jì)值

多變量聯(lián)合分布同一個(gè)重現(xiàn)期可以有不同的分位數(shù)組合與之對(duì)應(yīng)，這些分位數(shù)組合無法通過概率分布的反函數(shù)直接計(jì)算。具有相同重現(xiàn)期Tp(C(u,v)=p)的分位值組合構(gòu)成了一個(gè)二維點(diǎn)集(等曲線)，設(shè)計(jì)分位數(shù)組合必然存在一個(gè)使聯(lián)合概率密度f(wàn)(u,v)達(dá)到最大值的組合(um,vm)，即該組合出現(xiàn)的可能性最大。因此，在設(shè)定重現(xiàn)期條件下出現(xiàn)最大可能組合的設(shè)計(jì)值可作為工程設(shè)計(jì)與風(fēng)險(xiǎn)管控標(biāo)準(zhǔn)的合理選擇。

(8)

f(u,v)=c(u,v)f(u)f(v)

(9)

式中，c為二維Copula的概率密度函數(shù)。

2　示例研究

2.1　基本數(shù)據(jù)

位于珠江三角洲河口區(qū)的增江是珠江流域三大干流之一東江的一級(jí)支流，河流全長(zhǎng)203 km, 流域面積約3 160 km2。1954年設(shè)立的麒麟咀水文站是增江流量控制站和國(guó)家重要水文站，距河口距離33 km，集水面積2 866 km2。本研究采用麒麟咀水文站1954-2011年共58 a的逐日流量數(shù)據(jù)，按年最大值提取此水文站歷年洪水的洪峰流量Q與同場(chǎng)洪水總量W作為研究樣本。

2.2　邊緣分布與聯(lián)合分布

采用水文頻率分析中常用的3種三參數(shù)概率分布：皮爾遜三型分布(P-III)、廣義極值分布(GEV)、對(duì)數(shù)正態(tài)分布(GNO)分別擬合洪峰流量、洪水總量和洪峰水位樣本。參數(shù)估計(jì)使用線性矩(L-矩)方法。經(jīng)驗(yàn)頻率分布使用Gringorten公式。擬合結(jié)果采用均方根誤差(RMSE)、和概率點(diǎn)據(jù)相關(guān)系數(shù)(PPCC)檢驗(yàn)其擬合優(yōu)度。如表1所示，洪峰流量序列選用GEV分布, 洪量序列選用P-III分布。

表1　洪峰和洪量的概率分布參數(shù)與擬合優(yōu)度檢驗(yàn)值Table 1　The parameters of the marginal distribution and the values of goodness of fit test

洪峰Q和洪量W的Kendall相關(guān)系數(shù)為0.565。采用相關(guān)性指標(biāo)法計(jì)算Q-W聯(lián)合分布的Gumbel-Hougaard copula、Frank copula、A-M-H copula和Clayton copula的參數(shù)θ及相應(yīng)的AIC和OLS值，計(jì)算結(jié)果見表2。以O(shè)LS和AIC值最小，擬合度最高的二維Gumbel -Hougaard copula構(gòu)建的洪水峰量聯(lián)合分布的Copula模式如下：

C(FQ(q),FW(w))=

exp{-[(-lnFQ(q))2.299+

(-lnFW(w))2.299]1/2.299}

(10)

表2洪水峰量聯(lián)合分布的參數(shù)估計(jì)與擬合優(yōu)度評(píng)價(jià)結(jié)果
Table 2Results of parameter estimation and goodness-of-fit tests for four Copulas

ArchimedeanCopulaθOLSAICClayton2.5980.031-173A-M-H0.9900.047-152Gumbel-Hougaard2.2990.025-183Frank7.0550.028-178

2.3　條件概率分布

分析某特定洪峰流量條件下，出現(xiàn)洪水總量的概率分布。當(dāng)給定Q≥q時(shí)，W≥w的條件概率為：

(11)

條件重現(xiàn)期為：

(12)

從表3可看出：① 當(dāng)麒麟咀洪峰流量大于等于某一特定頻率設(shè)計(jì)值時(shí)，洪水總量出現(xiàn)大于等于該頻率設(shè)計(jì)值的條件概率隨著超值概率的減小而減小，以Q出現(xiàn)大于等于概率P1%時(shí)的設(shè)計(jì)洪峰流量Q=3 635 m3/s為例，洪水總量出現(xiàn)大于等于P10%、P5%、P2%、P1%、P0.5%和P0.2%的條件概率分別為0.981、0.950、0.836、0.651、0.417和0.189，其相應(yīng)的條件重現(xiàn)期為：1.0、1.1、1.2、1.5、2.4和5.3 a。② 反之，洪量大于等于某一特定頻率設(shè)計(jì)值時(shí)，洪峰流量出現(xiàn)大于等于該頻率設(shè)計(jì)值的條件概率隨著超值概率的減小而增大。如，百年一遇的設(shè)計(jì)洪量W=1 702×106m3，其與洪峰流量的遭遇隨超值概率的減小而增大，洪峰流量出現(xiàn)大于等于P10%、P5%、P2%、P1%、P0.5%和P0.2%的條件概率分別為0.098、0.190、0.418、0.651、0.834、0.947，其相應(yīng)的條件重現(xiàn)期為：10.2、5.3、2.4、1.5、1.2和1.1 a。此外，洪水峰量同頻率遭遇的概率超過64.9%，表明二者遭遇的概率非常高。上述分析表明，可能存在著滿足多種防洪標(biāo)準(zhǔn)的洪水峰量組合，需要合理地推算其設(shè)計(jì)值。

表3Q-W洪水組合條件概率
Table 3Conditional probabilities ofQ-W

P(W≥w|Q≥q)或P(Q≥q|W≥w)W/Q2396278532763635398544369600.6720.8510.9540.9810.9920.99811890.4250.6600.8800.9500.9800.99414830.1910.3520.6530.8360.9310.97917020.0980.1900.4180.6510.8340.94719180.0500.0980.2330.4170.6490.87322000.0200.0400.0980.1890.3490.649

圖1　P(W≥w|Q≥q)條件概率分布圖Fig.1　Diagram of conditional probability distributions of joint distribution between flood discharges and volumes

2.4　聯(lián)合分布重現(xiàn)期和危險(xiǎn)率

2.5　洪水設(shè)計(jì)值

按設(shè)定重現(xiàn)期(500、200、100、50、20和10 a)推算麒麟咀測(cè)站的洪峰流量和洪水總量單變量設(shè)計(jì)值，以出現(xiàn)概率最大的原理推算洪水峰量聯(lián)合分布的“或”重現(xiàn)期、“且”重現(xiàn)期、Kendall 重現(xiàn)期和生存Kendall 重現(xiàn)期設(shè)計(jì)值列于表5。結(jié)果顯示，對(duì)于設(shè)定的10 ～ 500 a重現(xiàn)期，按Kendall重現(xiàn)期推算的設(shè)計(jì)洪峰流量和設(shè)計(jì)洪水總量分別小于“或” 重現(xiàn)期設(shè)計(jì)值和邊緣分布設(shè)計(jì)值，按Kendall重現(xiàn)期推算的洪峰流量和設(shè)計(jì)洪水總量設(shè)計(jì)值和相應(yīng)邊緣分布設(shè)計(jì)值的相對(duì)誤差分別為-2.8% ～ -5.4%和-3.8% ～ -8.1%；推算的生存Kendall重現(xiàn)期設(shè)計(jì)洪峰流量和設(shè)計(jì)洪水總量分別大于“且”重現(xiàn)期設(shè)計(jì)洪水值和邊緣分布設(shè)計(jì)值，生存Kendall重現(xiàn)期設(shè)計(jì)洪水值和相應(yīng)的邊緣分布設(shè)計(jì)值二者的相對(duì)誤差分別為2.4% ～ 3.8%和0.3% ～ 4.8%。這一結(jié)果也表明，按目前有關(guān)規(guī)范設(shè)計(jì)要求的單變量洪水要素設(shè)計(jì)值已達(dá)到設(shè)計(jì)洪水安全標(biāo)準(zhǔn)，按洪水峰量聯(lián)合分布的“或”重現(xiàn)期推算的洪水設(shè)計(jì)值存在高估問題，導(dǎo)致投入費(fèi)用偏大，按洪水峰量聯(lián)合分布“且”重現(xiàn)期推算的洪水設(shè)計(jì)值存在低估問題，可能增大防洪工程損毀風(fēng)險(xiǎn)。按洪水峰量聯(lián)合分布的Kendall重現(xiàn)期或生存Kendall重現(xiàn)期推算的洪水設(shè)計(jì)值可為防洪工程安全與設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)提供更堅(jiān)實(shí)的理論依據(jù)。為了比較，進(jìn)一步推算洪峰—洪量同頻率分布設(shè)計(jì)值[16]：

表5　不同重現(xiàn)期下洪峰流量與洪水總量的設(shè)計(jì)值Table 5　Design values of flood discharges and flood volumes at different return periods

u1=u2=[1-(1/Tu1,u2)]α;

(13)

3　結(jié)　論

本文對(duì)比分析了增江流域麒麟咀斷面洪峰洪量之間的二維聯(lián)合分布及其4種重現(xiàn)水平，有以下結(jié)論：

1)對(duì)于預(yù)設(shè)的重現(xiàn)期，相對(duì)于“或”聯(lián)合重現(xiàn)期，Kendall重現(xiàn)期可更準(zhǔn)確地識(shí)別單個(gè)超臨界區(qū)域的風(fēng)險(xiǎn)率；相對(duì)于“且”聯(lián)合重現(xiàn)期，生存Kendall重現(xiàn)期可更好地描述洪峰洪量同時(shí)超閾值情況下的風(fēng)險(xiǎn)率。

2)按目前有關(guān)規(guī)范設(shè)計(jì)要求的單變量洪水要素設(shè)計(jì)值基本達(dá)到設(shè)計(jì)標(biāo)準(zhǔn)，按洪峰洪量“或”重現(xiàn)期和同頻率推算的設(shè)計(jì)洪水分位數(shù)偏高，工程費(fèi)用偏大，采用Kendall重現(xiàn)期和生存Kendall重現(xiàn)期推算的設(shè)計(jì)洪水值可為防洪工程風(fēng)險(xiǎn)管理與設(shè)計(jì)提供新的選擇與參考。

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