具有Banach代數(shù)的無正規(guī)的錐度量空間上擬收縮映射的不動點定理的改進*

樸勇杰

(延邊大學理學院數(shù)學系，吉林 延吉 133002)

1974年Ciric在完備的度量空間(X,d)上引進了X上的自映射T擬收縮映射的概念：如果存在k∈[0,1)使得對任何x,y∈X，總有

d(Tx,Ty)≤kmax{d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty),

d(x,Ty),d(y,Tx)}

并證明了完備的度量空間上任何擬收縮映射必有唯一不動點。

最近，Kumam等[1]引進了如下概念：稱度量空間X上自映射T是推廣的擬收縮的，如果存在q∈[0,1)使得對任何x,y∈X，成立

d(Tx,Ty)≤qmax{d(x,y),

d(x,Tx),d(y,Ty),d(x,Ty),

d(y,Tx),d(T2x,x),d(T2x,Tx),

d(T2x,y),d(T2x,Ty)}

文獻[1]用實例說明了新的擬收縮概念明顯弱于Ciric的擬收縮，并證明當X是T-軌道完備時T具有唯一不動點。因此所得結論明顯推廣和改進了Ciric的結果。

2007年，Huang等[2]引進了錐度量空間的概念，推廣和改進了通常的實空間，并得到若干的不動點定理。特別是近幾年，一些作者在錐度量空間上研究了擬收縮映射，得到了若干重要結果[3-7]。

最近， 在文獻[8-10]中引進了具有Banach代數(shù)的錐度量空間并得到了一些推廣的不動點定理， 特別是， Liu等[9]在正規(guī)條件下得到了關于擬收縮映射的不動點存在定理。之后， 許紹元等[11]和Huang等[12]分別用兩種不同的方式證明了在非正規(guī)的條件下文獻[9]中得到的結果仍然成立，所得結果具有一定的意義。

在本文，將沿用文獻[11-12]中的研究方法并結合文獻[1]中的推廣的擬收縮條件討論并得到無正規(guī)條件下的新的不動點定理，推廣和改進文獻[9,11-12]中的相應結果。

1　基本知識

設Α總是實Banach代數(shù)，即Α是具有乘法運算的實Banach空間，其運算滿足如下性質(zhì)(對任何x,y,z∈Α,α∈R)：

(i) (xy)z=x(yz)；

(ii)x(y+z)=xy+xz,(x+y)z=xz+yz；

(iii)α(xy)=(αx)y=x(αy)；

本文總假設Α具有單位元(即乘法單位元)e使得對任何x∈Α均有ex=xe=x。一個元x∈Α被稱為可逆的，如果存在稱之為逆元的元y∈Α使得yx=xy=e。x的逆元y用x-1表示。詳文獻[13]。

命題1[13]設Α是具有單位元e的實Banach代數(shù)且x∈Α。如果x的譜半徑r(x)<1， 即

則(e-x)是可逆的，且有

注1i) 對任何

詳見文獻[13]；

稱具有零元0的Banach代數(shù)Α的子集P為錐，如果

(i)P是非空閉集且滿足{0,e}?P；

(ii) 對任何非負實數(shù)α,β，αP+βP?P；

(iii)P2=PP?P；

(iv)P∩(-P)={0}。

對于給定的錐P?Α， 定義關于P的半序≤如下：x≤y當且僅當y-x∈P。x

稱錐P是正規(guī)的是指存在正實數(shù)M使得對任何x,y∈Α，

滿足上述條件的最小的正數(shù)M被稱為P的正規(guī)常數(shù)。

定義1[8-10]設X≠?。如果映射d:X×X→Α滿足

(i)對任何x,y∈X,d(x,y)≥0且d(x,y)=0當且僅當x=y；

(ii)對任何x,y∈X,d(x,y)=d(y,x)；

(iii) 對任何x,y,z∈X,d(x,z)≤d(x,y)+d(y,z)。

則稱d是X上的錐度量，(X,d)是具有Banach代數(shù)Α的錐度量空間。

注3關于具有Banach代數(shù)的錐度量空間的例子可參看文獻[8-10]。

定義2[8-10]設(X,d)是具有Banach代數(shù)Α的錐度量空間，x∈X且{xn}是X中的序列。 則

(i) 稱{xn}收斂于x是指對任何c∈Α且c0，存在自然數(shù)N使得對任何n≥N，d(xn,x)?c。記為或xn→x。

(ii) 稱{xn}是柯西的是指任何c∈Α且c0，存在自然數(shù)N使得對任何n,m≥N，d(xn,xm)?c。

(iii) 稱(X,d)是完備的是指(X,d)中的每個柯西序列都在(X,d)中收斂。

引理1[14-15]設E是具有體錐P的Banach空間。 若對任何c0，成立0≤u≤c，則u=0。

定義3[16-17]設P是Banach代數(shù)Α中的體錐。稱序列{un}?P為c-序列，如果對任何c0，存在自然數(shù)N使得對任何n≥N，un?c。

命題2[16]設P是Banach代數(shù)Α中的體錐，{xn}和{yn}是P中的兩個序列。如果{xn}和{yn}都是c-序列且α,β≥0，則{αxn+βyn}也是c-序列。

命題3[16]設P是Banach代數(shù)Α中的體錐，{xn}是P中的序列。則下列命題等價：

(i) {xn}是c-序列；

(ii) 對任何c0，存在自然數(shù)N1使得對任何n≥N1時un

(iii) 對任何c0，存在自然數(shù)N2使得對任何n≥N2時un≤c。

命題4[10]如果P是Banach代數(shù)Α中的體錐，k∈P是任意給定的向量且{un}是c-序列，則{kun}也是c-序列。

命題5[10]設(X,d)是具有Banach代數(shù)Α的錐度量空間且P是Α中的體錐。 若{xn}是X中收斂于x∈X的序列。 則

(i) {d(xn,x)}是c-序列；

(ii)對任何自然數(shù)p，{d(xn,xn+p)}也是c-序列；

命題6[10]設Α是Banach代數(shù)且x,y∈Α。如果x和y可交換，則r(xy)≤r(x)r(y)。

定義4設(X,d)是具有Banach代數(shù)Α的錐度量空間，T:X→X是一個映射。對任何x∈X及正整數(shù)n，令

OT(x,n)=

{x,Tx,T2x,…,Tnx},OT(x,+∞)=

{x,Tx,T2x,…}

稱OT(x,+∞)為x點的T-軌道，稱(X,d)為T-軌道完備是指OT(x,+∞)中的每個柯西序列必收斂。

注4定義4是文獻[1]中相應定義在具有Banach代數(shù)Α的錐度量空間上表現(xiàn)形式。

2　擬收縮映射的不動點定理的推廣

文獻[9,11-12]中給出如下定義：

定義5設(X,d)是具有Banach代數(shù)Α的錐度量空間。 稱一個映射T:X→X為擬收縮的是指存在k∈P且r(k)<1使得對任何x,y∈X，成立

d(Tx,Ty)≤ku

(1)

其中u∈{d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty),d(x,Ty),d(y,Tx)}。

文獻[11-12]在X的非正規(guī)條件下分別給出了如下擬收縮映射的不動點存在定理：

定理1設(X,d)是具有Banach代數(shù)Α的完備錐度量空間。如果T:X→X為擬收縮映射，即滿足式(1)。則T有唯一不動點，并且對任何x∈X，迭代序列{Tnx}收斂于該不動點。

下面，首先給出如下新的一類擬收縮映射的不動點存在定理。

定理2設(X,d)是具有Banach代數(shù)Α的錐度量空間，T:X→X為自映射。如果X是T-軌道完備的且存在k∈P且r(k)<1使得對任何x,y∈X，成立

d(Tx,Ty)≤kv(x,y)

(2)

其中v(x,y)∈A(x,y){d(T2x,x),d(T2x,Tx),d(T2x,y),d(T2x,Ty)}。則T有唯一不動點，并且對任何x∈X，迭代序列{Tnx}收斂于該不動點。

證明任取x0x∈X并定義xn=Tnx=Tn-1xn-1,n=1,2,…，構造一個序列對任何固定的i=1,2,…，根據(jù)式(2),

d(xi,xi+1)=d(Txi-1,Txi)≤kv(xi-1,xi)

(3)

其中

v(xi-1,xi)∈A(xi-1,xi)=

{d(T2xi-1,xi-1),d(T2xi-1,Txi-1),

d(T2xi-1,xi),d(T2xi-1,Txi)}

即v(xi-1,xi)∈A(xi-1,xi)={d(xi+1,xi-1),d(xi+1,xi),0}。

如果v(xi-1,xi)=d(xi+1,xi-1)，則根據(jù)式(3)得到

d(xi,xi+1)≤kd(xi+1,xi-1)

如果v(xi-1,xi)=d(xi+1,xi)，則根據(jù)式(3)得到

d(xi,xi+1)≤kd(xi+1,xi)?(e-k)d(xi,xi+1)≤0

于是根據(jù)命題 1得到

d(xi,xi+1)=0≤kd(xi+1,xi-1)

如果v(xi-1,xi)=0，則根據(jù)式(3)得到

d(xi,xi+1)=0≤kd(xi+1,xi-1)

綜合上三種情況得到

d(xi,xi+1)≤kd(xi+1,xi-1)，i=1,2,…

(4)

對任何固定的i=1,2,…，利用式(2),

d(xi,xi+2)=d(Txi-1,Txi+1)≤kv(xi-1,xi+1)

(5)

其中v(xi-1,xi+1)∈A(xi-1,xi)={d(xi+1,xi-1),d(xi+1,xi),0,d(xi+1,xi+2)}。

若v(xi-1,xi+1)=d(xi+1,xi-1)，則根據(jù)式(5)得到

d(xi,xi+2)≤kd(xi-1,xi+1)

若v(xi-1,xi+1)=d(xi+1,xi)，則根據(jù)式(5)和式(4)得到

d(xi,xi+2)≤kd(xi,xi+1)≤k2d(xi-1,xi+1)

若v(xi-1,xi+1)=0，則根據(jù)式(5)得到

d(xi,xi+2)≤0≤kd(xi-1,xi+1)

若v(xi-1,xi+1)=d(xi+1,xi+2)，則根據(jù)式(5)和式(4)得到

d(xi,xi+2)≤kd(xi+1,xi+2)≤k2d(xi,xi+2)

于是

(e-k2)d(xi,xi+2)≤0

根據(jù)命題 6可知r(k2)≤(r(k))2<1，于是根據(jù)命題 1可知e-k2是可逆的，因此由上式得到

d(xi,xi+2)≤0≤kd(xi-1,xi+1)

綜合上述四個情況得到

[d(xi,xi+2)≤kd(xi-1,xi+1)]∨[d(xi,xi+2)≤

k2d(xi-1,xi+1)], ?i=1,2,…

(6)

把式(6)寫成

d(xi,xi+2)≤k(i,i+2)d(xi-1,xi+1), ?i=1,2,…

(7)

其中[k(i,i+2)=k]∨[k(i,i+2)=k2]。

下面將證明：對任何自然數(shù)n，當兩個自然數(shù)i,j滿足1≤i,j≤n時成立

d(xi,xj)≤k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

(8)

當n=1時i=j=1，于是式(8)顯然成立。假設n=m時式(8)成立， 即

d(xi,xj)≤

k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]，?1≤i,j≤m

(9)

現(xiàn)設n=m+1。由于當1≤i,j≤m時式(8)成立，于是可設j=m+1,1≤i≤m。

由于

d(xi,xm+1)=d(Txi-1,Txm)≤kv(xi-1,xm)

其中v(xi-1,xm)∈A(xi-1,xm)={d(xi-1,xi+1),d(xi,xi+1),d(xi+1,xm),d(xi+1,xm+1)}。

(I) 考慮i=1的情況。此時v(x0,xm)∈{d(x0,x2),d(x1,x2),d(x2,xm),d(x2,xm+1)}。

1) 當v(x0,xm)=d(x0,x2)時，

d(x1,xm+1)≤kd(x0,x2)≤

k[d(x0,x1)+d(x1,x2)]≤

k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

2) 當v(x0,xm)=d(x1,x2)時,

d(x1,xm+1)≤kd(x1,x2)≤

k[d(x0,x1)+d(x1,x2)]≤

k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

3) 當v(x0,xm)=d(x2,xm)時,

d(x1,xm+1)≤kd(x2,xm)≤

k[d(x1,x2)+d(x1,xm)]≤

k[d(x0,x1)+d(x1,x2)]+kd(x1,xm)

結合式(9)得到

d(x1,xm+1)≤k[d(x0,x1)+d(x1,x2)]+

kk(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

即

d(x1,xm+1)≤

k[e+k(e-k)-1][d(x0,x1)+d(x1,x2)]=

k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

4) 當v(x0,xm)=d(x2,xm+1)時,

d(x1,xm+1)≤

k[d(x1,x2)+d(x1,xm+1)]≤

k[d(x0,x1)+d(x1,x2)]+kd(x1,xm+1)

于是得到

d(x1,xm+1)≤k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

綜合以上討論可知當i=1,j=m+1時式(8)成立。

(II) 考慮i=m的情況。此時

d(xm,xm+1)=d(Txm-1,Txm)≤kv(xm-1,xm)

其中v(xm-1,xm)∈A(xm-1,xm)={d(xm-1,xm+1),d(xm,xm+1),0}。

1) 若v(xm-1,xm)=d(xm-1,xm+1)，則

d(xm,xm+1)≤kd(xm-1,xm+1)≤

k[d(xm-1,xm)+d(xm,xm+1)]

即

d(xm,xm+1)≤k(e-k)-1d(xm-1,xm)

于是根據(jù)式(4)和式(7)得到

d(xm,xm+1)≤k2(e-k)-1d(xm-2,xm)≤

k2(e-k)-1k(m-2,m)k(m-3,m-1)…k(1,3)d(x0,x2)≤

k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

2) 若v(xm-1,xm)=d(xm,xm+1)，則

d(xm,xm+1)≤

kd(xm,xm+1)?(e-k)d(xm,xm+1)≤0

于是

d(xm,xm+1)≤k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

3) 若v(xm-1,xm)=0，則顯然成立

d(xm,xm+1)≤k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

綜合上述三種情況可知當i=m,j=m+1時式(8)仍成立。

(III) 考慮2≤i≤m-1的情況。此時，由于i+1≤m，因此當v(xi-1,xm)取A(xi-1,xm)中的元d(xi-1,xi+1),d(xi,xi+1),d(xi+1,xm)之一時根據(jù)歸納原理得到

d(xi,xm+1)≤kv(xi-1,xm)≤

k2(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

而當v(xi-1,xm)=d(xi+1,xm+1)時

d(xi,xm+1)≤kd(xi+1,xm+1)≤

k[d(xi,xi+1)+d(xi,xm+1)]

于是得到

d(xi,xm+1)≤k(e-k)-1d(xi,xi+1)

因此根據(jù)式(4)和式(7)得到

d(xi,xm+1)≤k2(e-k)-1d(xi-1,xi+1)≤

k2(e-k)-1k(i-1,i+1)k(i-2,i)…k(1,3)d(x0,x2)≤

k(e-k)-1d(x0,x2)≤

k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

綜合上述討論可知當2≤i≤m-1,j=m+1時(8)仍然成立。 于是綜合所有情況并根據(jù)歸納法知式(8)成立。

對任何兩個自然數(shù)n,m且1

d(xn,xm)=d(Txn-1,Txm-1)≤kv(xn-1,xm-1)

其中v(xn-1,xm-1)∈A(xn-1,xm-1)={d(xn-1,xn+1),d(xn,xn+1),d(xn+1,xm-1),d(xn+1,xm)}。 令

C(n,m)={d(xi,xj)|n≤i,j≤m}

則由上式可知對每個u∈C(n,m)，存在v∈C(n-1,m)使得u≤kv。于是得到

d(xn,xm)≤ku1≤k2u2≤…≤

kn-1un-1≤kn(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

(10)

其中

u1∈C(n-1,m),

u2∈C(n-2,m),…,un-1∈C(1,m)

及

un-1≤k(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]

(根據(jù)式(8))

由于

kn(e-k)-1[d(x0,x1)+d(x1,x2)]?c

于是結合式(10)得到對任何c0，存在自然數(shù)N>1使得m≥n>N時d(xn,xm)?c。因此{xn}是OT(x,+∞)中的柯西序列，所以根據(jù)T-軌道完備性存在x*∈X使得xn→x*。

根據(jù)式(2), 對任何自然數(shù)n，

d(x*,Tx*)≤

d(x*,xn)+d(Txn-1,Tx*)≤

d(x*,xn)+kv(xn-1,x*)

(11)

其中v(xn-1,x*)∈A(xn-1,x*)={d(xn-1,xn+1),d(xn,xn+1),d(xn+1,x*),d(xn+1,Tx*)}。

1) 若v(xn-1,x*)=d(xn-1,xn+1)，則根據(jù)式(11)得到

d(x*,Tx*)≤d(x*,xn)+kd(xn-1,xn+1)

(12)

2) 若v(xn-1,x*)=d(xn,xn+1)， 則根據(jù)式(11)得到

d(x*,Tx*)≤d(x*,xn)+kd(xn,xn+1)

(13)

3) 若v(xn-1,x*)=d(xn+1,x*)， 則根據(jù)式(11)得到

d(x*,Tx*)≤d(x*,xn)+kd(xn+1,x*)

(14)

4) 若v(xn-1,x*)=d(xn+1,Tx*)， 則根據(jù)式(11)得到

d(x*,Tx*)≤d(x*,xn)+kd(xn+1,Tx*)≤

d(x*,xn)+k[d(xn+1,x*)+d(x*,Tx*)]

于是得到

d(x*,Tx*)≤

(e-k)-1[d(x*,xn)+k[d(xn+1,x*)]

(15)

因此綜合四種情況可知無論何種，由命題2-命題5，都有

d(x*,Tx*)≤yn

其中{yn}是錐P中的c-序列。于是根據(jù)定義3，對任何c0，存在自然數(shù)N使得當n>N時d(x*,Tx*)≤yn?c，因此根據(jù)引理 1得到d(x*,Tx*)=0，故x*是T的不動點。

如果y*也是T的不動點，則根據(jù)式(2)得到

d(x*,y*)=d(Tx*,Ty*)≤kv(x*,y*)

其中v(x*,y*)∈A(x*,y*)={d(x*,y*),0}。于是容易得到x*=y*，因此x*是T的唯一不動點。

記

B(x,y)=

{d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty),d(x,Ty),d(y,Tx)}；

D(x,y)=

{d(x,y),d(x,Tx),d(y,Ty),d(x,Ty),d(y,Tx),

d(T2x,x),d(T2x,Tx),d(T2x,y),d(T2x,Ty)}

則D(x,y)=A(x,y)∪B(x,y)。

注5用(X,d)的T-軌道完備性代替定理 1中的(X,d)的完備性，定理 1仍然成立。

注6定理1的證明的關鍵一步是：對任何自然數(shù)n，當兩個自然數(shù)i,j滿足1≤i,j≤n時成立d(xi,xj)≤k(e-k)-1d(x0,x1)(詳見文獻[11-12]中的證明)，但是這結果也滿足式(8)。

結合定理1和定理2并根據(jù)注5和注6， 得到如下具有Banach代數(shù)的非正規(guī)的錐度量空間上Ciric定理(即定理1)的推廣結果。

定理3設(X,d)是具有Banach代數(shù)Α的錐度量空間，T:X→X為自映射。如果X是T-軌道完備的且存在k∈P且r(k)<1使得對任何x,y∈X，成立

d(Tx,Ty)≤kv(x,y)

(2)

其中v(x,y)∈D(x,y)。則T有唯一不動點，并且對任何x∈X，迭代序列{Tnx}收斂于該不動點。

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