帶非線性延遲項(xiàng)的分?jǐn)?shù)階微分積分方程收斂性*

鄭偉珊

(韓山師范學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 潮州 521041 )

分?jǐn)?shù)階微分積分是關(guān)于任意階微分和積分的理論，它與整數(shù)階微分積分是統(tǒng)一的，是整數(shù)階微分積分的推廣。整數(shù)階微分積分作為描述經(jīng)典物理及相關(guān)學(xué)科理論的解析數(shù)學(xué)工具已為人們普遍接受，不少問題的數(shù)學(xué)模型最終都?xì)w結(jié)為整數(shù)階微分積分方程的定解問題， 其無論在理論分析還是數(shù)值求解方面都已有較完善的理論。但當(dāng)進(jìn)入到復(fù)雜系統(tǒng)和復(fù)雜現(xiàn)象的研究時(shí)，經(jīng)典整數(shù)階微分積分方程對(duì)這些系統(tǒng)的描述將遇到困難，而分?jǐn)?shù)階微分積分方程因更好地刻畫和描述了自然現(xiàn)象、動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的變化過程而得到了廣泛的應(yīng)用，比如在金融領(lǐng)域，分?jǐn)?shù)階微分積分方程可用于描述長(zhǎng)時(shí)間極限時(shí)的對(duì)數(shù)價(jià)格，可以更好的表現(xiàn)在長(zhǎng)時(shí)間區(qū)間上價(jià)格的自然變動(dòng)[1]；在醫(yī)學(xué)成像領(lǐng)域，Hall等[2]指出了MRI數(shù)據(jù)在復(fù)雜環(huán)境如人腦組織環(huán)境中的反常擴(kuò)散現(xiàn)象，并用一類分?jǐn)?shù)階微分積分方程進(jìn)行了模擬;國(guó)內(nèi)學(xué)者王瑞萍等[3]研究分?jǐn)?shù)階PD 速度控制器的永磁同步電動(dòng)機(jī)控制問題。此外分?jǐn)?shù)階微分積分方程也已經(jīng)被成功應(yīng)用于生物、物理、化學(xué)、水文、環(huán)境等方向，因此發(fā)展分?jǐn)?shù)階微分積分方程的理論及給出相應(yīng)的數(shù)值方法具有廣闊的應(yīng)用前景。

目前已有幾種求解分?jǐn)?shù)階微分積分方程的方法，包括外推法[4]、配置法[5]和Adomian分解方法[6]， 但是只有少數(shù)運(yùn)用數(shù)值求解分?jǐn)?shù)階微分積分方程的方法，其中大多數(shù)是用有限差分方法，而這些通常都局限于低維度和有限精度的范圍。近年來譜方法因其高精度受到了廣泛的關(guān)注。關(guān)于譜方法的文獻(xiàn)不少，上海大學(xué)郭本瑜等[7]創(chuàng)建了在非均勻Jacobi權(quán)Sobolev空間中Jacobi逼近的正交投影和配置理論，這對(duì)譜方法中的數(shù)值誤差估計(jì)分析具有重要的作用。香港湯濤等專家提供了大量基本的譜算法及相應(yīng)的收斂性及誤差分析理論，這些常應(yīng)用于實(shí)際中的線性和非線性問題。陳艷萍教授等提出了用Jacobi譜配置法求解了一類弱奇性Volterra積分方程，還用Legendre譜配置法求解具有光滑核的第二類Volterra積分方程，嚴(yán)格證明該方法誤差呈譜精度收斂，并且近年也將這些方法延拓至分?jǐn)?shù)階微分積分方程[8-9]，其中的分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)為Caputo導(dǎo)數(shù)，無獨(dú)有偶丁金鳳等也研究基于Caputo 導(dǎo)數(shù)下的含時(shí)滯的Hamilton 系統(tǒng)的分?jǐn)?shù)階Noether 理論[10]。本文所討論的分?jǐn)?shù)階微分積分方程，其導(dǎo)數(shù)和積分分別為Caputo分?jǐn)?shù)階導(dǎo)數(shù)和Riemann-Liouville分?jǐn)?shù)階積分，具體為：

(1)

(2)

其中t∈ [a,b]，Γ(·)為Gamma函數(shù)，n為任意正整數(shù)且n- 1 <γ

(3)

下面給出本文所研究的方程形式:

(4)

(5)

1　Jacobi配置方法

1.1　配置點(diǎn)的設(shè)置

相應(yīng)的范數(shù)定義為:

(6)

(7)

1.2　積分區(qū)間的轉(zhuǎn)換

下面對(duì)式(4)和式(5)進(jìn)行變量代換，令

倘若再記

則有

(8)

u(x)-u(-1)=

(9)

u(γ)(xi)=

(10)

u(xi)=

(11)

對(duì)于方程(10)和方程(11)，當(dāng)xi很小時(shí)，對(duì)

幾乎沒有可以應(yīng)用的信息，故要獲得高階精度特別困難，為此通過如下線性變換將兩積分區(qū)間轉(zhuǎn)化成固定區(qū)間[-1,1]，令

(12)

(13)

其中-1 ≤θ≤ 1，則方程(10)和方程(11)可以重記為:

u(γ)(xi)=

(14)

(15)

1.3　運(yùn)用高斯求積公式求近似解

下面應(yīng)用高斯積分法則近似處理方程(14)和方程(15)，首先對(duì)于方程(14)，用legendre-Gauss積分法則(6)近似計(jì)算:

u(s(xi,θk))ωk+g(xi)

(16)

而相應(yīng)方程(15)可近似為:

(17)

(18)

U(s(xi,θk))ωk+g(xi)=

(19)

(20)

2　基本引理

在這一節(jié)將介紹一些在對(duì)隨后定理證明有幫助的引理，這里I= (-1,1)。

(21)

其中

(22)

(23)

(24)

(25)

(26)

(27)

(28)

(29)

(30)

證明因?yàn)?/p>

故有

再由引理4獲得所要證明結(jié)論。

引理6[15-16]對(duì)于一個(gè)非負(fù)整數(shù)r和k∈(0,1)，存在一個(gè)常數(shù)Cr,k>0，使得對(duì)于任意函數(shù)v∈Cr,k([-1,1])都存在一個(gè)多項(xiàng)式函數(shù)TNv∈PN，使得

(31)

引理7[17k∈(0,1)，0

則對(duì)于任意函數(shù)v∈C([-1,1])，都存在一個(gè)正的常數(shù)C使得

引理8[18]對(duì)于每個(gè)有界函數(shù)v，都存在一個(gè)獨(dú)立于v的常數(shù)C， 使得

引理9[19]對(duì)所有可測(cè)函數(shù)f≥0，當(dāng)1

3　收斂分析

本節(jié)將進(jìn)行收斂性分析，其目標(biāo)是證明方程的精確解與逼近解以及精確導(dǎo)數(shù)與逼近導(dǎo)數(shù)之間的誤差均呈指數(shù)收斂。首先將L∞(I)空間上的進(jìn)行收斂性分析。

(32)

(33)

其中N足夠大，C是獨(dú)立于N但依賴K(x,s)和μ的常數(shù)，

(34)

(35)

證明利用離散內(nèi)積(23)，令

(36)

因此數(shù)值方法(19)和(20)可以寫為

(37)

(38)

進(jìn)一步可將式(37)化為：

(39)

記誤差函數(shù)e(x) =U(x) -u(x)，eγ(x) =Uγ(x) -u(γ)(x)，利用引理1， 有

|Ii,1(x)|≤

(40)

再由式(12)和式(13)知，式(39)和式(38)分別可以化為

(41)

(42)

(43)

(44)

這里

J3(x)=INu(γ)(x)-u(γ)(x)，

得

|eγ(x)|≤LqT(1+ξ)·

(45)

故由引理5有

(46)

再由式(44)有

(47)

綜上得

(48)

(49)

下面對(duì)式(48)及式(49)右端逐項(xiàng)進(jìn)行誤差估計(jì)，首先利用引理3、式(40)和式(49)，有

(50)

又由引理2中的式(25)有

(51)

再次利用引理2中的式(25)，并令m=1，有

|J4|L∞(I)≤

(52)

(53)

最后一個(gè)不等式，我們?cè)谝韵虑闆r下使用引理6

假設(shè)N足夠大， 由式(50)-式(53)，有

定理2如果定理1中給出的假設(shè)成立，且N足夠大，則有

(54)

(55)

這里k∈(0,γ)，C是獨(dú)立于N的常數(shù)，而

證明根據(jù)式(44)和式(45)，利用引理5的結(jié)論和引理9廣義的Hardy不等式有

(56)

(57)

現(xiàn)在使用引理8，可得

(58)

再根據(jù)定理1(令m=1)的收斂結(jié)果，有

故

(59)

由引理2中的式(24)可以得到

(60)

對(duì)于J4(x)的估計(jì)，使用引理2中的式(24)并令m=1時(shí)，得

(61)

對(duì)于J5(x)的估計(jì)，借助引理6，引理7和引理8，且當(dāng)k∈(0,1-μ)有

(62)

最后一個(gè)不等號(hào)利用定理1的收斂性結(jié)果，故當(dāng)N足夠大，聯(lián)合式(56)-(57)、式(59)-(62) 即可得定理所要證明的結(jié)論(54)和(55)，其中γ=1-μ。

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