RN上的分?jǐn)?shù)p-Laplacian方程弱解的存在性*

程偉，柏仕坤，徐家發(fā)

(重慶師范大學(xué)數(shù)學(xué)科學(xué)學(xué)院，重慶401331)

本文主要研究以下RN上的分?jǐn)?shù)p-Laplacian方程弱解的存在性：

(1)

x∈RN

為了獲得問(wèn)題(1)弱解的存在性，我們首先給出本文所使用的分?jǐn)?shù)Sobolev空間Ws,p(RN) 的相關(guān)知識(shí)，詳見(jiàn)文獻(xiàn)[1]。

定義Gagliardo半范數(shù)如下：

其中u:RN→R是一可測(cè)函數(shù)。定義分?jǐn)?shù)Sobolev空間

Ws,p(RN){u∈Lp(RN):u是可測(cè)的, 且[u]s,p<∞}

鑒于勢(shì)函數(shù)V(x)的出現(xiàn)，考慮如下的子空間：

Xs

并在其上賦予范數(shù)

在以下的行文中僅采用范數(shù)‖·‖Xs，并簡(jiǎn)記為‖·‖。

本文中，勢(shì)函數(shù)V(x)滿足條件：

1　若干引理與定義

由連續(xù)嵌入可得存在τq>0使得

(2)

近年來(lái)分?jǐn)?shù)階Laplacian方程是研究的熱點(diǎn)問(wèn)題，有大量的文獻(xiàn)討論該類(lèi)方程解的存在性等問(wèn)題，參見(jiàn)文獻(xiàn)[2-9]及其所附參考文獻(xiàn)。在文獻(xiàn)[3]中，作者采用山路定理，在經(jīng)典的Ambrosetti-Rabinowitz條件下，獲得了分?jǐn)?shù)階薛定諤方程非平凡弱解的存在性：

(-Δ)su+V(x)u=f(x,u),x∈RN

在文獻(xiàn)[4]中，作者采用變化的噴泉定理，在非線性項(xiàng)次臨界增長(zhǎng)的情況下，獲得了文獻(xiàn)[3]中問(wèn)題無(wú)窮多能量解的存在性。受以上文獻(xiàn)的啟發(fā)，本文采用山路定理來(lái)研究問(wèn)題(1)非平凡弱解的存在性。為此，本文始終假設(shè)非線性項(xiàng)f滿足次臨界條件：

(H1) 存在d1>0,d2>0使得

|f(x,t)|≤d1|t|p-1+d2|t|q-1,

以下給出問(wèn)題(1)對(duì)應(yīng)的能量泛函J:Xs→R如下：

(3)

從而由條件(H1)可得

d1|t|p+d2|t|q,?(x,t)∈RN×R

(4)

結(jié)合引理1可知J,ψ都是良定義的，且有如下的引理。

引理2若條件(V)和(H1)成立，則泛函J∈C1(Xs,R),且對(duì)任意的v∈Xs,其導(dǎo)數(shù)為

(u(x)-u(y))(v(x)-v(y))dxdy+

(5)

并由此可知J的臨界點(diǎn)就是問(wèn)題(1)的弱解。

證明記(Xs)*是Xs的對(duì)偶空間，定義算子A:Xs→(Xs)*如下：

〈Au,v〉=

下證A是有界連續(xù)算子。事實(shí)上，對(duì)任意的u,v∈Xs,根據(jù)H?lder不等式，有

(u(x)-u(y))(v(x)-v(y))dxdy≤

‖u‖p-1‖v‖

和

‖u‖p-1‖v‖

從而A有界。再證A的連續(xù)性。為此需要如下的不等式：

||a|p-2a-|b|p-2b|≤2p-2(p-1)|a-b|·

(|a|+|b|)p-2,?a,b∈R

令{un}?Xs,u∈Xs使得un→u。對(duì)任意的v∈Xs,‖v‖≤1,由H?lder不等式可得

c2‖un-u‖(‖un‖p-2+‖u‖p-2)→0,n→∞

和

(un(x)-un(y))-|u(x)-u(y)|p-2·

(u(x)-u(y))||v(x)-v(y)|dxdy≤

(un(x)-un(y))-|u(x)-u(y)|p-2·

c4‖un-u‖(‖un‖p-2+‖u‖p-2)→0,

n→∞

其中ci(i=1,2,3,4)為正常數(shù)。

綜上可得

從而A是連續(xù)的。

接下來(lái)首先證明

?u,v∈Xs

由條件(H1)， 結(jié)合(2)式可得

?u,v∈Xs

(6)

從而根據(jù)中值定理和Lebesgue控制收斂定理，對(duì)任意的?u,v∈Xs和s∈[0,1],有

再由(6)式可知ψ′(u)關(guān)于v是線性有界的，則ψ′(u)∈(Xs)*。

下證ψ′:Xs→(Xs)*是弱連續(xù)的。假設(shè)

un→u弱收斂于Xs

(7)

則由引理1可知

(8)

un(x)→u(x),a.e.x∈RN

(9)

注意到，

‖ψ′(un)-ψ′(u)‖(Xs)*=

從而存在v0∈Xs,‖v0‖=1使得

對(duì)r=p,q由于un→u強(qiáng)收斂于Lr(RN)中，根據(jù)文獻(xiàn)[10]中的引理A.1，存在{un}的子序列，仍記為{un}，以及g1∈Lp(RN),g2∈Lq(RN),使得對(duì)幾乎所有的x∈RN,有

|un(x)|,|u(x)|≤gi(x),i=1,2,?n∈N

從而根據(jù)條件(H1)和Young不等式，可推出

|f(x,un)-f(x,u)||v0|≤

d1(|un|p-1+|u|p-1)|v0|+

d2(|un|q-1+|u|q-1)|v0|≤

2d1|g1|p-1|v0|+2d2|g2|q-1|v0|≤

從而根據(jù)Lebesgue控制收斂定理，注意到(9)式，有

這顯然是矛盾的。從而l=0,因此

‖ψ′(un)-ψ′(u)‖(Xs)*→0,n→∞

類(lèi)似可證ψ′是連續(xù)的。

綜上所述，J∈C1(Xs,R),并且易知J的臨界點(diǎn)就是問(wèn)題(1)的弱解。證畢。

定義1[10-11]設(shè)(X,‖·‖)是實(shí)Banach空間，J∈C1(X,R) 。稱J滿足(Cc)條件，如果對(duì)于X中的任意序列{un}滿足：

J(un)→c,‖J′(un)‖(1+‖un‖)→0,

(n→∞)

則序列{un}均有收斂子列。

引理3[10-11](山路定理) 設(shè)(X,‖·‖)是實(shí)Banach空間，J∈C1(X,R)滿足(Cc)條件以及

(i)J(0)=0且存在β>0,ρ>0使得J(u)≥β,?u∈X,‖u‖=ρ;

(ii) 存在e∈X,‖e‖>ρ,使得J(e)≤0。

2　主要結(jié)果

首先給出本文所使用的假設(shè)條件：

(H3) 存在β*∈L1(RN)使得

σ(x,t)≤σ(x,s)+β*(x),?0≤t≤s或者s≤t≤0

其中σ(x,t)=f(x,t)t-pF(x,t);

(H4)f(x,t)=o(|t|p-2t),t→0,對(duì)x∈RN一致成立。

注1條件(H3)是驗(yàn)證(Cc)序列有界的重要條件，被廣泛運(yùn)用到各類(lèi)文獻(xiàn)[7,12-14]。在文獻(xiàn)[12]中，作者利用(H3)等條件獲得了如下問(wèn)題非負(fù)、非平凡弱解的存在性：

-Δpu-Δqu+a(x)|u|p-2u+

b(x)|u|q-2u=f(x,u),

x∈RN

例如，令F(x,t)=|t|pln(|t|+1),則它滿足條件(H3), 卻不滿足Ambrosetti-Rabinowitz條件：存在μ>p使得

0<μF(x,t)≤f(x,t)t,?(x,t)∈RN×R{0}

引理4若條件(V), (H1)-(H3)成立，則泛函J滿足(Cc)條件。

證明令{un}?Xs是一(Cc)序列，即對(duì)任意

c>0,J(un)→c,‖J′(un)‖(1+‖un‖)→0,n→∞

這表明

c=J(un)+o(1),〈J′(un),un〉=o(1),n→∞

從而

(10)

wn→w弱收斂于Xs

(11)

(12)

以下分兩種情況討論。

情況I：w不恒等于0。

記集合Ω≠={x∈RN:w(x)≠0}。顯然Ω≠有正的Lebesgue測(cè)度，且|un(x)|→∞,?x∈Ω≠。因而在Ω≠中，由條件(H2)可得

從而根據(jù)Fatou引理，有

然而根據(jù)(10)式可知

這兩式顯然是矛盾的。

情況II：w恒等于0。

下證J(tnun)有界。若tn=0,J(0)=0;若tn=1,J(tnun)=J(un)→c,這也是有界的。僅考慮tn∈(0,1),對(duì)足夠大的n, 有

運(yùn)用條件(H3)可得

其中c5是一正常數(shù)。

故對(duì)足夠大的n,有

這又是矛盾。

綜合上述兩種情況可知{un}在Xs中是有界的。從而存在u∈Xs使得在子列意義下，(7)-(9)式成立。下證un→u強(qiáng)收斂于Xs。

注意到

〈J′(un)-J′(u),un-u〉=

〈Aun-Au,un-u〉-〈ψ′(un)-

ψ′(u),un-u〉→0

先證

〈ψ′(un)-ψ′(u),un-u〉→0

(13)

事實(shí)上，根據(jù)條件(H1), (2) 式, (8)式可得

d2(|un|q-1+|u|q-1)]

|un-u|dx≤

再結(jié)合ψ′的定義，可知(13)式成立。

由(13)式可知

〈Aun-Au,un-u〉→0

(14)

注意到在Lp(RN)中un→u，根據(jù)H?lder不等式，有

(‖[V(x)]1/pun‖p-‖[V(x)]1/pu‖p)≤

從而

‖[V(x)]1/pun‖p→‖[V(x)]1/pu‖p

(15)

另一方面注意到，對(duì)任意的u,v∈Xs,有

(u(x)-u(y))-|w(x)-w(y)|p-2·

(w(x)-w(y))][(u(x)-u(y))-

(w(x)-w(y))]dxdy=

[(u(x)-u(y))-(w(x)-w(y))]dxdy-

(w(x)-w(y))(u(x)-u(y))dxdy+

結(jié)合(14)-(15)式可知[un]s,p→[u]s,p,再由(15)式可知‖un‖→‖u‖。因?yàn)閄s是局部一致凸空間，

弱收斂+依范數(shù)收斂?強(qiáng)收斂

所以u(píng)n→u強(qiáng)收斂于Xs。證畢。

定理1若條件(V), (H1)-(H4)成立，則問(wèn)題(1)至少存在一個(gè)非平凡弱解。

證明由引理4知僅需再證引理3中條件(i), (ii)成立。根據(jù)條件(H1), (H4)可得對(duì)任意的ε>0,總存在cε>0使得

|F(x,t)|≤ε|t|p+cε|t|q,?(x,t)∈RN×R

結(jié)合(2)式可得

進(jìn)而引理3(i)成立。

另一方面，由條件(H1), (H2)知，存在足夠大的M>0使得

注意到，若M足夠大，J(τv0)→-∞,τ→+∞。由此可知存在

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