一個(gè)非線性帶分布時(shí)滯尺度結(jié)構(gòu)的種群模型正穩(wěn)態(tài)解的存在性*

柏萌，馮兆永，周慶華

(1. 廣東省肇慶學(xué)院數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院，廣東 肇慶 526061；2. 中山大學(xué)數(shù)學(xué)學(xué)院，廣東 廣州 510275)

本文研究如下帶分布時(shí)滯的具有尺度結(jié)構(gòu)的非線性的種群模型:

(1)

對(duì)于0≤x≤m

(2)

問題(1)是一個(gè)帶分布時(shí)滯的具有尺度結(jié)構(gòu)的非線性的種群模型。在問題(1)中，既考慮新生個(gè)體的產(chǎn)生過程中需要的不可少的時(shí)間間隔，又考慮種群內(nèi)部競爭的影響。確切的說，問題(1)的分布時(shí)滯表示的是懷孕到生產(chǎn)或者產(chǎn)卵到孵化的時(shí)間間隔，這個(gè)時(shí)間間隔可以從0變到τ(參見文[1-5])，而且生長率γ、死亡率μ和繁衍概率β都與較小尺度種群和較大尺度種群的總密度相關(guān)。類似問題(1)的線性的帶分布時(shí)滯的具有尺度結(jié)構(gòu)的種群模型的全局解的適定性和解的漸近性態(tài)已在文[2]得出。問題(1)正的全局解的存在性已在文[4]得出。本文將研究問題(1)正穩(wěn)態(tài)解的存在性。對(duì)于非線性的種群發(fā)展方程，正穩(wěn)態(tài)解(即與時(shí)間無關(guān)的解)的存在性是很重要的問題，近年來不少學(xué)者用不同的方法研究了一系列非線性的不帶時(shí)滯的種群發(fā)展方程的正穩(wěn)態(tài)解的存在性[6-9]。文[6]用計(jì)算的方法研究了一個(gè)非時(shí)滯的帶尺度結(jié)構(gòu)的種群模型的正穩(wěn)態(tài)解的存在性。文[7-9]用算子半群的方法研究了一些非時(shí)滯的帶年齡結(jié)構(gòu)或者尺度結(jié)構(gòu)的種群模型的正穩(wěn)態(tài)解的存在性。本文主要利用文[7]和文[9]的算子半群方法，研究問題(1)的正穩(wěn)態(tài)解的存在性，由于此問題是帶分布時(shí)滯的，需要一些改進(jìn)，主要的改進(jìn)在將問題(1)這個(gè)帶分布時(shí)滯的種群模型正穩(wěn)態(tài)解的存在性問題轉(zhuǎn)化為巴拿赫空間上的柯西問題正穩(wěn)態(tài)解的存在性問題。

本文對(duì)生長率γ、死亡率μ和繁衍概率β的假設(shè)如下：

(H2)γ∈C([0,m]×[0,+∞)×[0,+∞)),存在常數(shù)γ0>0，使得對(duì)于所有的x∈[0,m]，N1∈[0,+∞)和N2∈[0,+∞)，都有γ(x,N1,N2)≥γ0。γ對(duì)于x存在一階偏導(dǎo)數(shù)γx∈C([0,m]×[0,+∞)×[0,+∞))，并且存在常數(shù)γ1>0，使得對(duì)于所有的x∈[0,m],N1∈[0,+∞)和N2∈[0,+∞)，都有|γx(x,N1,N2)|≤γ1。

(H3)β∈C([-τ,0]×[0,m]×[0,m]×[0,+∞)×[0,+∞)),β≥0，并且當(dāng)y>x時(shí),β(·,x,y,·,·)>0。

1　問題轉(zhuǎn)化

本節(jié)將問題(1)正穩(wěn)態(tài)解的存在性問題轉(zhuǎn)化為巴拿赫空間上的柯西問題正穩(wěn)態(tài)解的存在性問題?？稍谖腫1-3]中找到相似的轉(zhuǎn)化方法。

引入如下巴拿赫空間：

XL1[0,m], 其模為

X1L1[0,l], 其模為

X2L1[l,m], 其模為

Y{u∈W1,1(0,m):u(0)=0}，其模為

EL1([-τ,0],X)

其模為

A(V1,V2)u(-γ(·,V1,V2)u)′對(duì)于u∈X；

B(V1,V2)u-μ(·,V1,V2)u對(duì)于u∈X；Φ(V1,V2)對(duì)于

對(duì)于給定的v∈X，有A(V1,V2)∈L(Y,X),B(V1,V2)∈L(X)和Φ(V1,V2)∈L(E,X)。 利用以上記號(hào)，將問題(1)重新寫為巴拿赫空間X上的延遲微分方程的初邊值問題:

(3)

此處n:[0,+∞)→X定義為n(t)n(t,·);nt:[-τ,0)→X定義為nt(σ)n(t+σ),σ∈[-τ,0]，而且

接下來, 引入巴拿赫空間E上如下算子:

D(G)=W1,1([-τ,0],X)，

注意到G∈L(D(G),E)且Q∈L(D(G),X)。 令

X

Y

W1,1([-τ,0],X)×W1,1(0,m),

定義算子A(V1,V2):Y→X:

A(V1,V2)U

對(duì)于

利用以上記號(hào)，將問題(3)重新寫為巴拿赫空間X的柯西問題:

(4)

此處

于是問題(1)的正穩(wěn)態(tài)解的存在性問題，可以轉(zhuǎn)化成如下問題解的存在性問題:

(5)

對(duì)于

2　正穩(wěn)態(tài)解的存在性

本節(jié)首先考慮β可以分離的特殊情況，即

β(σ,x,y,N1,N2)=β1(x)β2(σ,y,N1,N2)

或者

β(σ,x,y,N1,N2)=β3(x,N1,N2)β4(σ,y)

或者

β(σ,x,y,N1,N2)=β5(x,N1)β6(σ,y,N2)

或者

β(σ,x,y,N1,N2)=β7(x,N2)β8(σ,y,N1)

利用文[7]中的定理2.5給出以上情況下問題(5)有解的充分條件。然后再用文[9]中的算子擾動(dòng)的方法給出β為一般情況下問題(5)有解的充分條件。

這里以

β(σ,x,y,N1,N2)=β1(x)β2(σ,y,N1,N2)

或者

β(σ,x,y,N1,N2)=β3(x,N1,N2)β4(σ,y)

為例, 其余的特殊情況的分析過程和結(jié)論類似。給出以下假設(shè)(H4)和(H4)′：

(P1) 當(dāng)(U1,U2)=(0,0)時(shí)，s(A(U1,U2))>0；

其中

Eλ(x,U1,U2)=

(λI-A(U1,U2))U=0

上述方程的解為

上式兩邊分別乘上eλσβ2(σ,x,U1,U2)，然后分別對(duì)x和σ從0到m和-τ到0積分，可得

于是可知，λ∈C是線性算子A(U1,U2)的特征值當(dāng)且僅當(dāng)λ是特征方程K(U1,U2)(λ)=1的解。

定理1假設(shè)條件(H1)-(H4)成立, 并且

則問題(5)有解。

定理2假設(shè)條件(H1)-(H3)以及(H4)′成立，并且

則問題(5)有解。

證明同定理1(略)。

接下來給出β為一般情況下問題(5)有解的充分條件。

定理3假設(shè)條件(H1)-(H3)以及以下的兩個(gè)假設(shè)條件成立:

而且

(H6) 存在

使得

σ∈[-τ,0],x,y∈[0,m]

而且

則問題(5)有解。

定理4假設(shè)條件(H1)-(H3)以及以下的兩個(gè)假設(shè)條件成立:

σ∈[-τ,0],x,y∈[0,m]

而且

則問題(5)有解。

證明同定理3(略)。

根據(jù)β的分離情況還可以提出類似定理3和定理4的充分條件, 這里不一一累述。

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