挖掘課本內(nèi)涵，培養(yǎng)思維能力

馬勇

摘要：培養(yǎng)學(xué)生思維能力是數(shù)學(xué)教學(xué)的重要目標(biāo)，如何能實(shí)現(xiàn)這一目標(biāo).靈活處理認(rèn)真研究課本的例（習(xí)）題，挖掘并掌握其中豐富內(nèi)涵，是一種行之有效辦法，其對(duì)培養(yǎng)學(xué)生思維發(fā)散性、靈活性、深刻性、創(chuàng)造性、廣闊性都有很大作用。

關(guān)鍵詞：思維能力；課本例題

例（習(xí)）題是教材的重要組成部分，這些例（習(xí)）題是編者從茫茫題海中經(jīng)過反復(fù)篩選、精心選擇出來的，是學(xué)生掌握雙基的重要來源，也是教師傳授知識(shí)的紐帶，它蘊(yùn)含著豐富的教學(xué)功能，處理好例（習(xí)）題的教學(xué)，對(duì)教學(xué)質(zhì)量大面積的提高、學(xué)生智力的發(fā)展、思維品質(zhì)的培養(yǎng)都是至關(guān)重要.

一、引申拓廣，培養(yǎng)思維的發(fā)散性

教學(xué)中，若對(duì)一些典型的例、習(xí)題進(jìn)行變式處理，如改變?cè)}的條件、結(jié)論、方法或逆向思維、反例分析等，即可以在演變多解過程中，使得學(xué)生在知識(shí)及方法的縱橫方向分別得以拓廣和延伸，培養(yǎng)學(xué)生的發(fā)散性思維.

例1：數(shù)學(xué)必修⑷P122第3題證明：對(duì)任意a，b，c，d∈R，恒有不等式（ac+bd）2≤（a2+b2） （c2+d2） （1）

先讓學(xué)生推證，發(fā)現(xiàn)他們用比較法、綜合法、反證法、放縮法都可以得到證明.此時(shí)進(jìn)一步追問：能否有更新穎的證法呢？

引導(dǎo)學(xué)生抓住“a2+b2”、“c2+d2”、“ac+bd”的結(jié)構(gòu)特征，因此可考慮用構(gòu)造法證明.

證法1 （向量法）構(gòu)造向量

則ac+bd=a2+b2 ·c2+d2 cosθ，

（ac+bd） 2=（a2+b2）（c2+d2） cos2θ

≤（a2+b2）（c2+d2）

證法2（構(gòu)造三角形）利用“三角形的兩邊之和大于第三邊”（上圖中OBCA為平行四邊形）

由|OA|+|OB|>|AB|及|OA|+|OB|>|OC|，不等式⑴迅速得證.

由解法一不少學(xué)生都能發(fā)現(xiàn)a與b，c與d可交換位置.

[變1]求證：（a2+b2）（c2+d2）≥（ad+bc） 2 ⑵

[變2]⑴式兩邊開方可否？

求證：a2+b2 c2+d2 ≥|ac+bd| ⑶

[變3]⑶式右邊去掉絕對(duì)值可否？

求證：a2+b2 c2+d2 ≥ac+bd ⑷

對(duì)于⑴式能否有更深刻的變化呢？將不等式⑴字母分別排序，得

（a12+a22）（b12+b22）≥（a1 b1+a2 b2） 2 ⑸

通過分析知道，可以按字母增加的方向演變.

[變4]設(shè)a1、a2 、a3 、b1、 b2、 b3∈R，

求證：（a12+a22+a32）（b12+b22+b32）≥（a1 b1+a2 b2+a3 b3） 2 ⑹

此時(shí)，利用學(xué)生的連續(xù)思維所產(chǎn)生的思維慣性，教師因勢利導(dǎo)，把問題推廣.

推廣 設(shè)ai，bi∈R（i=1，2……n），則

（a12+a22+……+an2） （b12+b22+……+bn2）

≥（a1 b1+a2 b2+……+an bn） 2 （當(dāng)且僅當(dāng)ai=kbi時(shí)，取“=”號(hào)）

這是一個(gè)重要的定理，叫柯西不等式.不等式⑸、⑹即柯西不等式當(dāng)n=2和 n=3時(shí)的特例.如此層層推進(jìn)，使結(jié)論更加完美，更具有普遍性.

上述對(duì)原題從不同角度進(jìn)行演變和多解，這樣從一題多變到一題多解，使知識(shí)橫向聯(lián)系，縱向深入，拓寬了學(xué)生的思路，培養(yǎng)了學(xué)生的發(fā)散思維.

二、融會(huì)貫通，培養(yǎng)思維的靈活性

數(shù)學(xué)中有很多知識(shí)是相互聯(lián)系的，現(xiàn)行新教材特別注意用聯(lián)系的觀點(diǎn)處理問題，課本中例、習(xí)題為我們提供了充足的素材和廣闊的空間.因此，在教學(xué)中充分利用課本例、習(xí)題之間相互聯(lián)系、互相作用、互相影響這一規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生串通教材，做到融會(huì)貫通，開闊學(xué)生的視野，增強(qiáng)學(xué)生思維的靈活性.

如研究空間面面關(guān)系，線面關(guān)系，線線關(guān)系時(shí)經(jīng)常要用到轉(zhuǎn)化思想方法來解題，通常有關(guān)線面平行、垂直的問題可轉(zhuǎn)化為線線平行、垂直的問題，而有關(guān)面面平行、垂直的問題可轉(zhuǎn)化為線面平行、垂直的問題.

三、標(biāo)新立異，培養(yǎng)思維的創(chuàng)造性

例題教學(xué)中，在學(xué)生掌握基本方法的同時(shí)，應(yīng)有意識(shí)地創(chuàng)設(shè)新活的思維情境，激勵(lì)學(xué)生不依常規(guī)、不受教材與教師傳授的方法的束縛，引導(dǎo)學(xué)生多角度、全方位地思考問題，鼓勵(lì)學(xué)生標(biāo)新立異、探究新解，達(dá)到開拓學(xué)生思維、鍛煉學(xué)生思維創(chuàng)造的目的.

例2：數(shù)學(xué)必修⑷P111例7，已知A（-1，-1），B（1，3），C（2，5）試判斷A、B、C三點(diǎn)之間的位置關(guān)系.這是一道基本題，但應(yīng)要求學(xué)生盡可能多地進(jìn)行多方位、多層次的聯(lián)系，尋求不同解法，如一些學(xué)生僅想到一些常規(guī)解法：

（1）證明|AB|+|BC|=|AC|；（2）證明點(diǎn)B在直線AC上；（3）證明直線AB、AC的方程相同或斜率相等.而有一些同學(xué)，聯(lián)想寬廣深刻，不但有上述解法，還得到了如下的非常規(guī)解法；（4）證明點(diǎn)C到直線AB的距離為0；（5）證明△ABC的面積等于零；（6）證明點(diǎn)B是有向線段AC的一個(gè)定比分點(diǎn)，顯然后者的解法較之于前者，更難想到，因而更具有創(chuàng)新性，有利于培養(yǎng)思維的廣泛性、創(chuàng)造性。

四、聯(lián)想轉(zhuǎn)化，培養(yǎng)思維的廣闊性

數(shù)學(xué)是一個(gè)具有內(nèi)在聯(lián)系的有機(jī)整體，各不同分支，不同部分，都是相互聯(lián)系、相互滲透的，解題方法、解題思路更是如此，因而，在課本例、習(xí)題的教學(xué)中應(yīng)有意識(shí)地教給學(xué)生類比、聯(lián)想、轉(zhuǎn)化的方法，以提高學(xué)生分析問題、解決問題的能力，促進(jìn)知識(shí)的正向遷移，培養(yǎng)思維的廣闊性。

例3：已知a，b，m∈R+，并且a

求證：a+mb+m >ab

教材上是用“分析法”證的，如果就此結(jié)束，效果不大，實(shí)際上，它內(nèi)蘊(yùn)著豐富的教學(xué)價(jià)值，如引導(dǎo)學(xué)生巧妙聯(lián)想，靈活轉(zhuǎn)換，構(gòu)造函數(shù)來證，則很富有意趣。

證明：令f（x）=a+xb+x =（x+b）+（a-b）b+x =1+a-bx+b

∵a-b<0，∴f（x）在[0，+∞）上為增函數(shù)，

∵m>0，∴f（m） >f（0） 即a+mb+m >ab

這樣的教學(xué)就使學(xué)生不再把函數(shù)與不等式割裂開來，而是融合為一個(gè)有機(jī)的整體，以后處理有關(guān)問題時(shí)將能迅速遷移，另如例1巧妙地利用了數(shù)形轉(zhuǎn)換解題的思想方法，這些都有助于培養(yǎng)學(xué)生思維的廣闊性、創(chuàng)造性。

綜上所述，課本是教學(xué)之本，深挖教材的潛力，充分發(fā)揮教材的自身作用，處理好課本例、習(xí)題的教學(xué)十分重要.立足課本，對(duì)課本典型例、習(xí)題進(jìn)行演變、探究、引申、拓廣、應(yīng)用，由點(diǎn)到面，由題及類，解剖一例，帶活一串，注意數(shù)學(xué)思想方法的滲透，這樣教學(xué)，深化了基礎(chǔ)知識(shí)，培養(yǎng)了思維品質(zhì)，發(fā)展了思維能力，這正是我們所要追求的目標(biāo)。