履帶板三維力解耦算法研究

韓 慶， 魏來生， 賀力朋

(中國北方車輛研究所，北京 100072)

準(zhǔn)確獲取履帶傳遞的各個方向的力，對于開展整車動力學(xué)分析、解決車輛行駛過程脫帶問題、匹配行動系統(tǒng)性能、做好行動系統(tǒng)零部件優(yōu)化設(shè)計等均具有非常重要的意義.目前我國還沒有進行履帶動態(tài)力測試的能力.履帶式坦克裝甲車輛行駛過程中履帶所受的三維動態(tài)力，包括履帶板所承受的橫向力、壓力以及履帶板之間的拉力.

在測試過程中，由于受履帶本身的空間尺寸和結(jié)構(gòu)形式限制，組成測量三維力的電橋的應(yīng)變片只能布置在履帶板金屬表面上，這就導(dǎo)致了各個電橋輸出信號之間相互影響，存在維間耦合，因此通過電橋輸出的電壓無法直接換算出履帶板三維力，這種耦合也會對測量精度產(chǎn)生影響，因此必須想辦法消除維間耦合，實質(zhì)上就是將Ui=f(FXFyFz)關(guān)系函數(shù)通過各種算法，實現(xiàn)對各分力的準(zhǔn)確測量.

消除或抑制耦合的方法主要有兩個，一個是消除耦合產(chǎn)生的根源，即傳感器的制造工藝等諸多問題，一般很難解決；二是利用標(biāo)定矩陣，采取模擬或數(shù)字信號處理方法消除維間耦合，這種方法被廣泛采用.目前國內(nèi)外對維間耦合問題的研究頗多，但是許多解耦理論由于設(shè)計理論和計算過于復(fù)雜，很難用于工程化問題，本研究就履帶板三維力解耦方法進行論述.

1 多維力傳感器的解耦公式及基本形式

1.1 多維力傳感器的解耦原理

多維力傳感器解耦公式都是多項式形式的，基本分為兩個類型，一個是顯式公式，傳感器的載荷可直接用各分量的信號增量乘以相應(yīng)系數(shù)后相加得到；另一種是隱式公式，公式的兩邊都有包含載荷的項，需要使用迭代算法計算傳感器的載荷值.

顯式公式的用法比較簡單，因此應(yīng)用更為廣泛.一般將公式用矩陣形式表達(dá)，更為直觀和易于計算.

公式的擬合方法主要是傳統(tǒng)的最小二乘法、高斯消元法和相對較新的多項式響應(yīng)面法.本研究使用多項式響應(yīng)面法.

多項式響應(yīng)面是一種比較成熟的模型，在優(yōu)化領(lǐng)域、實驗數(shù)據(jù)處理領(lǐng)域應(yīng)用廣泛.假定參數(shù)是n維向量，該向量是待求函數(shù)的自變量，二者存在的函數(shù)關(guān)系為y=y(x).盡管待求的函數(shù)可能找不出準(zhǔn)確的表達(dá)式，但是，只要給定了參數(shù)值或設(shè)計點值，即取定了一個樣本點x(j)，總可以通過實體的或數(shù)值的試驗得到相應(yīng)的性能值y(j)=y(x(j))，這是對應(yīng)一個參數(shù)值或樣本點值的一個響應(yīng)值.如果做了足夠多的試驗，例如n個試驗，那么我們就可以利用n個樣本點及其n個響應(yīng)，利用待定系數(shù)的方法求出函數(shù)y=y(x)的近似函數(shù)y′=f(x).f(x)為需要構(gòu)造的響應(yīng)面函數(shù)[1].利用該響應(yīng)面函數(shù)，即可從試驗參數(shù)值求得待求的參數(shù).本研究中就是利用響應(yīng)面函數(shù)將試驗得到的電橋輸出電壓轉(zhuǎn)換成履帶三個方向的載荷.

實際中，根據(jù)工程經(jīng)驗，通常選取多項式的形式.通常一階多項式響應(yīng)面模型誤差較大，而高階多項式雖然精度較高，但由于其包含較多的項，計算量也隨之增長，擬合的計算過程會更復(fù)雜.根據(jù)響應(yīng)面函數(shù)表達(dá)式在能夠描述真實函數(shù)的前提下應(yīng)盡可能簡單[1]的原則，在很多工程實踐中，二階多項式響應(yīng)面模型應(yīng)用最為廣泛，因此本研究選取含交叉項的二次多項式的響應(yīng)面函數(shù)形式.即

(1)

根據(jù)式(1)可知模型中含有10個待估系數(shù).類似的，對于n元二階多項式待估參數(shù)的個數(shù)為：

nrc=(n+1)(n+2)/2.

(2)

待估系數(shù)需要ns組試驗點來確定(ns≥nrc)，進而確定待估系數(shù)值的大小.將式(1)寫為向量積形式

f(xi)=Xiβ.

(3)

式中：Xi是由樣本點xi構(gòu)成的行向量；i=1,2,...,n.

由于式(3)要滿足如下條件

f(Xi)=yi.

(4)

因此寫成矩陣的形式為

X·β=Y.

(5)

因為響應(yīng)面函數(shù)是近似函數(shù)，所以根據(jù)式(5)計算的Y值與試驗得到的響應(yīng)值間存在誤差.利用最小二乘原理使誤差的平方和最小，即

S(β)=‖ε‖2=(Y-Xβ)T(Y-Xβ).

(6)

使S(β)最小的的必要條件為

S(β)=‖ε‖2=
((Y-Xβ)T(Y-Xβ))=
2(Xβ-Y)TX=0.

(7)

可求得

β=XTX-1XTY.

(8)

式(8)為X列滿秩時得到的最小二乘解.最終將式(8)代入式(1)可得多項式擬合模型.

1.2 基于響應(yīng)面法的履帶板三維力解耦

履帶板三維力響應(yīng)面函數(shù)中，n=3，根據(jù)式(1)可知

(9)

設(shè)計變量分別為VFx，VFy，VFz，待求函數(shù)為

(10)

共進行ns組試驗.假設(shè)β0=0，將每組標(biāo)定試驗得到的樣本點代入式(3),可得到響應(yīng)函數(shù)值：

(11)

根據(jù)式(7)利用最小二乘原理使誤差的平方和最小，可得

(Xβ-Y)TX=0.

(12)

其中

將標(biāo)定數(shù)據(jù)代入式(8)，可得到β.

2 履帶板三維力靜態(tài)線性解耦方法

考慮到可測試履帶板的解耦算法既要實現(xiàn)消除維間耦合的目的，又要滿足可用于實際工程問題中，且可操作性強.所以重點研究了履帶板三維力靜態(tài)線性解耦的方法，即基于靜態(tài)線性標(biāo)定和響應(yīng)面法的解耦算法.

2.1 履帶板的標(biāo)定

最傳統(tǒng)的多維力靜態(tài)解耦方法是基于靜態(tài)線性標(biāo)定試驗的，因此履帶板三維力解耦首先也要開展標(biāo)定工作.

根據(jù)測試范圍，選擇n個標(biāo)定點，分別對每個方向施加載荷.具體如下：

1)拉力標(biāo)定.

試驗開始，由履帶剛性試驗臺施加拉力，逐步增加到100 kN拉力，然后再逐步卸載至履帶全松(因為有履帶自重，所以不能完全卸載到0 kN).測試不少于10個載荷值，讀取可測試履帶板采集的數(shù)據(jù).

2)橫向力標(biāo)定.

試驗開始，由履帶剛性試驗臺施加16～17 kN的預(yù)拉力，然后通過橫向力加載裝置從0 kN逐步增加到50 kN的橫向力，最后再逐步卸載至0 kN.測試不少于10個載荷值，讀取可測試履帶板采集的數(shù)據(jù).

3)壓力標(biāo)定.

試驗開始，由MSP250kN試驗臺施加壓力，從0 kN逐步增加到100 kN的壓力，然后再逐步卸載至0 kN，測試不少于10個載荷值，讀取可測試履帶板采集的數(shù)據(jù).

在一個標(biāo)定點上只施加一個載荷，會同時得到3個通道的輸出信號.只有與施加載荷方向一致的那個通道的輸出信號，才能反映履帶板在該方向上受到的力，其他兩個通道的輸出信號只反映施加的力在那兩個方向耦合的輸出結(jié)果.

記錄每個通道的輸出，得到履帶板3個方向上標(biāo)定的時間-電壓曲線，如圖1、圖2、圖3所示.

圖1 壓力方向加載時三個電橋時間-電壓曲線

圖2 橫向力方向加載時三個電橋時間-電壓曲線

圖3 拉力方向加載時3個電橋時間-電壓曲線

具體各通道輸出電壓值和施加載荷數(shù)值如表1所示

表1 各通道輸出電壓與相應(yīng)施加載荷數(shù)值

2.2 基于標(biāo)定結(jié)果的耦合矩陣的確定

為了盡可能精確地獲得耦合矩陣，從多次標(biāo)定結(jié)果中選擇較好的作為計算耦合矩陣的依據(jù).根據(jù)1.2節(jié)的算法，計算出的耦合矩陣為

得到可測試履帶板的耦合矩陣后，代入式(9)可得到解耦后的履帶板三維力值：

Fx=43.701×△VFx+42.693×△VFy-54.1938×△VFz+18.257×△VFx△VFy-346.17×△VFx△VFz-15.578×△VFy△VFz+161.68×△VFx2-13.1025×△VFy2+206.9203×△VFz2;

Fy=-3.788×△VFx+3.061×△VFy+1.821×△VFz-64.745×△VFx△VFy+120.892×△VFx△VFz+52.445×△VFy△VFz-54.6×△VFx2+15.8212×△VFy2-67.5484×△VFz2;

Fz= -47.0776×△VFx+10.502×△VFy+34.187×△VFz+59.069×△VFx△VFy-24.459×△VFx△VFz-51.271×△VFy△VFz+10.6595×△VFx2-11.81×△VFy2-11.14×△VFz2.

2.3 實際應(yīng)用與結(jié)果檢驗

利用通過以上算法得到的可測試履帶板的耦合矩陣，可得到實際測試過程中履帶所受的實時載荷，如圖4、圖5、圖6所示.實線加載值為實際施加的載荷值，虛線反算值為可測試履帶板測試得到的載荷值，

根據(jù)測試結(jié)果，我們能夠?qū)⒖蓽y試履帶板3個方向的耦合關(guān)系分解開來，效果顯著，誤差是滿量程的5%.

圖4 拉力方向時間-載荷曲線(加載值與反算值對比)

圖6 壓力方向時間-載荷曲線(加載值與反算值對比)

3 結(jié)束語

針對履帶三維力測試過程中存在維間耦合的問題，采用基于靜態(tài)線性標(biāo)定和響應(yīng)面法的解耦算法，提出了便于在工程應(yīng)用中實現(xiàn)的解耦方法，解決了履帶三維力之間的維間耦合問題，研究結(jié)論如下：

1)該方法是通過標(biāo)定試驗結(jié)果，建立近似顯函數(shù)的形式對履帶板三維力進行解耦計算的，易于工程應(yīng)用;

2)利用該方法對履帶板測試數(shù)據(jù)解耦得到的三維力與試驗臺施加的標(biāo)準(zhǔn)載荷對比，誤差是滿量程的5%；

因此，該方法適用于對履帶板三維力進行解耦.

[1] 隋允康,宇慧平.響應(yīng)面方法的改進及其對工程優(yōu)化的應(yīng)用[M].北京：科學(xué)出版社,2010.