基于細菌覓食算法的自適應NURBS曲線插補*

谷 巖 周 巖 林潔瓊 曹東旭 劉 陽 孫彥東

(長春工業(yè)大學機電工程學院, 吉林 長春 130012)

隨著制造行業(yè)的不斷發(fā)展，自由型曲線曲面加工所采用的直線和圓弧逼近的傳統(tǒng)方法已經(jīng)無法滿足現(xiàn)階段對加工件的加工精度及加工效率的要求，近年來，多位學者對NURBS曲線插補方法進行了深入探究，如沈洪垚提出了基于節(jié)點組合優(yōu)化策略的刀路曲線擬合方法研究[1],提高了NURBS曲線的加工精度；羅福源等提出了NURBS曲線S形加減速雙向尋優(yōu)插補算法研究[2]，對速度進行相應規(guī)劃，使得曲線過渡更為平滑；在實際加工過程中，一些學者利用智能算法對速度和路徑進行重新規(guī)劃，以獲得更優(yōu)解[3]。本文在現(xiàn)有理論基礎上，提出利用細菌覓食算法優(yōu)化NURBS曲線的控制點變量個數(shù)及關鍵位置信息，調整曲線參數(shù)使其得到最優(yōu)解，減小計算載荷，并通過對速度關鍵點進行S型加減速規(guī)劃控制，可使得曲線加工速度保持最佳，加工過程平穩(wěn)無波動，從而達到高效高精加工的要求。

1 NURBS曲線規(guī)劃

1.1 NURBS曲線定義

在參數(shù)化曲線表示形式中，一條三次NURBS曲線可以表述為：

C(u)=(x(u),y(u),z(u))

(1)

其中u為任意值，0≤u≤1。

將曲線轉化為參數(shù)形式對于機床多軸控制非常方便，通?？梢酝ㄟ^參數(shù)方程單獨驅動每一軸的運動。因此為了實現(xiàn)多軸聯(lián)動，我們可以將等式擴展為p次NURBS參數(shù)方程。

確定p次NURBS曲線C(u)的表示方法為：

(2)

式中，節(jié)點矢量U={u0,u1,…un-p+1}，控制頂點P={P0,P1,…Pn}、權重因子w={w0,w1…wn}，定義Ni,p(u)為P階基函數(shù)，其定義需滿足以下要求：

(3)

(4)

1.2 弓高誤差的計算

弓高誤差被認為是影響加工精度的關鍵因素，也是用來判定曲線加工精度的重要參數(shù)，在數(shù)控插補時，可以利用曲率半徑來限制弓高誤差[4]，用弦線段對兩相鄰插補點間的弧段進行逼近來實現(xiàn)對參數(shù)曲線運動軌跡控制,這種逼近將會帶來插補弓高誤差[5](如圖1)，因此需要通過規(guī)劃合理刀具路徑及速度來減小弓高誤差，提高加工精度。將插補點C(u)處的微弧段近似于圓弧處理,由幾何知識可知，曲線曲率ρ、進給速度Vi、插補周期T以及最大限制插補弓高誤差δmax之間滿足下式:

(5)

2 細菌覓食算法優(yōu)化NURBS曲線

2.1 細菌覓食算法(BFO)綜述

細菌覓食算法是一種新的生物啟發(fā)優(yōu)化算法，該算法可以解決非線性、多維的全局性優(yōu)化問題[6]。由式(2)和式(4)可知，若想優(yōu)化NURBS曲線，可以通過優(yōu)化控制頂點和權重因子來實現(xiàn)，而權重值的優(yōu)化過程復雜而繁瑣。為方便深入探究，本文利用細菌覓食算法優(yōu)化控制點的參數(shù)值及變量個數(shù)，以優(yōu)化NURBS軌跡，減小計算負荷。

為了便于BFO直接參與曲線插補，引入適應度函數(shù)概念，使BFO模型操作結果與NURBS控制點建立函數(shù)關系。首先創(chuàng)建Pn組控制點，每組控制點對應的權重值w(0

由式(2)可知，NURBS曲線的pu值可得：

(6)

為了降低NURBS求導的計算復雜度[7]，便于構造適應度函數(shù)，本文將NURBS曲線改寫為矩陣形式：

(7)

(8)

通過式(7)、(8)可將NURBS描述為：

(9)

其中：P為有序數(shù)據(jù)點集矩陣；W(u)為NURBS曲線基函數(shù)?？傻贸銮€控制點C的近似解：

C=(ATA)-1ATP

(10)

代入式(2)可得到矩陣形式參數(shù)擬合曲線：

C(u)=A(ATA)-1ATP

(11)

記Cj(u) 為擬合曲線上對應參數(shù)tj的點，則誤差平方和為：

(12)

結合式(4)，可導出適應度函數(shù)公式：

(13)

其中，k為搜索半徑的倒數(shù)。構造函數(shù)關系后，需要對Err及Pn兩個參數(shù)進行整體優(yōu)化，開始進行算法優(yōu)化操作。

1.4 細菌覓食算法優(yōu)化實現(xiàn)

(1)趨向性操作

在BFO 模型中,細菌的趨向性操作的數(shù)學表達式為:

(14)

將大腸桿菌覓食的特性抽象為數(shù)學模型，為提高穩(wěn)定性，采用間隔法選取優(yōu)化點，并保留初始點P0和終止點Pn,計算每兩個相隔控制點的函數(shù)適應度值，并比較結果決定是否保留原有值或使用新值替換原有值。

(2)繁殖性操作

(15)

(3)遷移性操作

(4)聚集性操作

此處聚集性操作為可選性操作，前文提到在曲率變化較小的位置采用遷移性操作以減少計算程度，而為了使得誤差進一步縮小，可以選用聚集性操作，參數(shù)優(yōu)值會在曲率變化較大處密化，此種方式可在增加部分計算的情況下獲得更優(yōu)解。

(5)算法檢驗

根據(jù)BFO算法進行迭代，并通過式(14)進行檢驗，可得出結論當?shù)螖?shù)為496次時接近最優(yōu)(如圖2)。為更加確定優(yōu)化結果，本文控制點數(shù)量為500個。

3 NURBS曲線速度自適應插補

3.1 NURBS曲線插補速度規(guī)劃

在曲線插補過程中，最大速度不能超過機床限制速度，最大誤差不能超過弓高誤差[8]，故有公式：

(16)

整段加工過程需要滿足機床動力學約束條件：

(17)

通常根據(jù)曲線曲率極值點進行分段，對該段內速度進行探究，發(fā)現(xiàn)部分速度點雖滿足誤差要求，但在曲線拐點處(即曲線曲率極值點處)速度變化明顯，加速度ai及加加速度Ji無法滿足機床最大承載能力，故需要對速度進行重新規(guī)劃，以滿足機床約束。

3.2 速度重規(guī)劃——S型加減速研究

由3.1節(jié)知，曲線速度規(guī)劃僅在曲率變化較大時不滿足要求。為使得加工過程速度平穩(wěn)變化，減小速度波動，本文采用七段式S型加減速對速度進行規(guī)劃：

將加減速的過程分為七段：加加速階段(t0-t1)、勻加速階段(t1-t2)、減加速階段(t2-t3)、勻速段(t3-t4)、加減速階段(t4-t5)、勻減速階段(t5-t6)、減減速階段(t6-t7)。當曲線曲率較小時，設加加速度Ji=Jmax,則可知各階段速度、加速度如表1。

表1 七段速度規(guī)劃表

ztJ(t)a(t)V(t)S(t)10≤t≤t1J1J1t1V1+12J1t12V1t1+12J1t132t1≤t≤t20AVt1+At2St1+V1t2-12At223t2tt3J3A-J3t3Vt2+At3-12J3t32St2+V3t3-12At32-16J3t334t3tt400Vt3≡Vt4≡VcSt3+V3t45t4tt5J5-J5t5Vt4+12J5t52St4+V4t5-16J5t536t5tt60-DVt5-Dt6St5+V5t6-12Dt627t6tt7J7-D+J7t72Vt6-Dt7+12J7t72St6+V6t7-12Dt72-16J7t73

根據(jù)表1所示的規(guī)劃方法，可得到對應速度曲線，如圖3。

由圖知：此種方法可以滿足速度的平滑連續(xù)變化，與直線三段式加減速規(guī)劃法相比加工過程更為平穩(wěn)，減小了速度和加速度突變，與指數(shù)曲線加減速規(guī)劃法相比，加工所需規(guī)劃時間短，效率更高，可以適用于高精高速加工及柔性制造。

3.3 速度規(guī)劃設計

在實際加工中，存在加加速度滿足而速度超限的情況，故需要對速度進行檢驗，通過以下幾步驟：

(1)設vi為速度最大點，即當vi=vmax時,將該點與機床限定最大值vlimit進行比較。

(2)若vi>vlimit，則在vi-1處提前結束加速過程，并將加加速度J調整為最小值Ji=Jmin。

(3)檢測vi和vi+1是否滿足要求，若滿足，則令J=0，繼續(xù)速度規(guī)劃，若不滿足，重復步驟(2)，直至符合要求。

(4)結束速度規(guī)劃檢測程序。

4 仿真及實驗

4.1 仿真

為了驗證本文提出優(yōu)化算法的可行性，本文采用復雜的蝴蝶形曲線加以仿真及實驗驗證。

仿真軟件采用MATHWORKS公司提供的MATLAB軟件，此軟件可處理相應的曲線參數(shù)，工作平臺選用Pentium?Dual-Core E5300,內存為2GB，經(jīng)過仿真得出參數(shù)曲線(如圖4)。

同時對預先規(guī)劃的實時速度進行擬合，得出X軸參數(shù)u與速度v的關系(如圖5)。

同理可得Y軸參數(shù)u與速度v的關系(如圖6)。

4.2 實驗驗證

為驗證此方法實際可行，進行實驗加工加以驗證(圖7)。實驗平臺選用五軸精密拋光機床，控制器采用AEROTECH公司的A3200純軟件控制器，實驗刀具采用威特N3J62501(φ0.1 mm)尖刻刀，采用一步連續(xù)加工方式，對上述方法加以驗證(圖8)。

通過A3200中的Digital Scope模塊對加工過程參數(shù)進行采集，得到實驗各項參數(shù)，通過對急轉角局部采樣數(shù)據(jù)進行分析，得到圖9～12所示參數(shù)圖像。

從圖9看出X軸的實際速度與其理論速度存在誤差，但大體走勢與預期的基本相同且在誤差允許范圍內。圖10是其局部放大圖，由于機床震顫產(chǎn)生較大速度波動。圖11中的速度大體趨勢與X軸相同且比X軸更加平穩(wěn)，這點由圖12中的跟蹤誤差可以看出。在圖12中X軸的跟蹤誤差明顯大于Y軸的，由于誤差在允許范圍內，驗證速度規(guī)劃是正確的。

5 結語

(1)本文利用細菌覓食算法對NURBS曲線的控制點數(shù)量及關鍵位置信息進行優(yōu)化，分別經(jīng)過趨向性操作、繁殖性操作、遷移性操作以及可選擇的聚集性操作對控制點數(shù)量及位置進行調整，并利用曲線弓高誤差對曲線關鍵位置信息進行檢驗及調整，從而得到最優(yōu)解，構造出平滑曲線，并減小了計算負荷，使得算法優(yōu)化實時在線加工成為可能。

(2)本文通過確定加減速關鍵點，在急轉角進行速度規(guī)劃，在誤差及機床限制范圍內得到最優(yōu)速度，并通過S型加減速對加速度變化過大段進行重新規(guī)劃，保證了速度的平滑連續(xù)變化，比直線三段式加減速規(guī)劃法更加平穩(wěn)，比指數(shù)曲線加減速規(guī)劃法效率更高，本文通過對蝴蝶型曲線進行仿真以及實驗驗證，保證最優(yōu)速度在限制范圍內前提下，提高了加工精度。從實驗中采集的數(shù)據(jù)可以看到誤差在允許范圍內，證實了本文優(yōu)化算法的可行性。

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