重基礎(chǔ)抓細(xì)節(jié) 答完整不失分
——三角形問題解答技巧例談

嚴(yán) 駿

三角形作為最基礎(chǔ)的幾何圖形之一，是初中數(shù)學(xué)重點(diǎn)學(xué)習(xí)與深入探究的對(duì)象，對(duì)三角形相關(guān)知識(shí)的理解及其研究方法的領(lǐng)悟，是后續(xù)學(xué)習(xí)四邊形、圓等知識(shí)的重要基礎(chǔ)，因此，對(duì)三角形的考查一直是歷年中考命題的熱點(diǎn).從題型來看，既有考查知識(shí)內(nèi)容相對(duì)單一的選擇題、填空題，又有分值較高、重在考查綜合應(yīng)用、自主探究能力的解答題.

為了使同學(xué)們更好地了解三角形在中考中的考查要點(diǎn)、呈現(xiàn)形式，并能做到規(guī)范答題，減少失分，現(xiàn)擷取2017年中考中兩道與三角形相關(guān)的解答題，分析解題思路，規(guī)范解題過程，提示得分要點(diǎn).希望能對(duì)同學(xué)們有所幫助.

例1 （2017·福建）如圖1，在△ABC中，∠BAC=90°，AD⊥BC，垂足為D.求作∠ABC的平分線，分別交AD，AC于P，Q兩點(diǎn)；并證明AP=AQ.（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫作法）

圖1

【思路分析】按作圖方法作出∠ABC的平分線，根據(jù)“等角的余角相等”得到∠BPD=∠AQP，再將∠BPD轉(zhuǎn)化為其對(duì)頂角∠APQ，得到∠APQ=∠AQP，從而證得AP=AQ.

【規(guī)范解答】作圖2如下，BQ就是所要求作的∠ABC的平分線，P、Q就是所要求作的點(diǎn).

圖2

證明：∵∠BAC=90°，∴∠AQP+∠ABQ=90°.

∵AD⊥BC，∴∠ADB=90°，

∴∠BPD+∠PBD=90°.

∵∠ABQ=∠PBD，∴∠BPD=∠AQP.

∵∠APQ=∠BPD，∴∠APQ=∠AQP，

∴AP=AQ.

【踩點(diǎn)提示】本題涉及基本尺規(guī)作圖、直角三角形的性質(zhì)、等腰三角形的判定等知識(shí)，著重考查對(duì)基礎(chǔ)知識(shí)與基本技能的掌握.作圖時(shí)，需做到作圖痕跡清晰可見，相交兩弧要盡量避開圖中已有線段，還應(yīng)注意的是雖然題目不要求寫作法，但作圖后對(duì)所作圖形的說明還是必要的，這一點(diǎn)很多同學(xué)往往會(huì)忽視.此外，本題的證明并不復(fù)雜，解答時(shí)應(yīng)做到嚴(yán)謹(jǐn)規(guī)范，步步有據(jù)，不能隨意地省略.

例2 （2017·北京）在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)（與點(diǎn)B、C不重合），連接AP，延長(zhǎng)BC至點(diǎn)Q，使得CQ=CP，過點(diǎn)Q作QH⊥AP于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M.

（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；

（2）用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明.

圖3

【思路分析】（1）由“∠ACB=90°，QH⊥AP”知∠PAC、∠Q都與∠APC互余，故∠Q=∠PAC=α，由“等腰直角△ABC”知∠B=45°，根據(jù)“三角形的外角等于和它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和”，可得∠AMQ=∠B+∠Q=45°+α.

（2）連接AQ，由AC垂直平分PQ可知AQ=AP，利用等腰三角形三線合一的性質(zhì)得∠QAC=∠PAC=α，結(jié)合（1）的結(jié)論，可知∠QAM=45°+α=∠AMQ，故有AQ=QM=AP.作MN⊥QB于點(diǎn)N，可證得Rt△QMN≌Rt△APC，故MN=PC=由于△MNB是等腰直角三角形，所以

【規(guī)范解答】（1）解：∵∠ACB=90°，QH⊥AP，

∴∠PAC+∠APC=∠Q+∠APC=90°，

∴∠Q=∠PAC=α.

∵△ABC是等腰直角三角形，

∴∠CAB=∠B=45°.

∴∠AMQ=∠B+∠Q=45°+α.

圖4

理由如下：

如圖4，連接AQ，作MN⊥QB，垂足為N.

∵∠ACB=90°，CQ=CP，∴AQ=AP，

∴∠QAC=∠PAC=α.

∵∠CAB=45°，

∴∠QAM= ∠CAB+∠QAC=45°+α.

由（1）知，∠AMQ=45°+α，∠MQB=∠PAC，

∴∠QAM=∠AMQ，

∴AQ=QM=AP.

在△QMN和△APC中，

∴△QMN≌△APC（AAS），

∵∠MNB=90°，∠B=45°，

∴△MNB為等腰直角三角形，

【踩點(diǎn)提示】本題是一道綜合性較強(qiáng)的解答題，涉及等腰三角形、直角三角形、全等三角形的性質(zhì)與判定等多個(gè)知識(shí)點(diǎn)，考查綜合運(yùn)用知識(shí)的能力，發(fā)現(xiàn)、提出問題以及分析、解決問題的能力.本題設(shè)置了兩個(gè)小問題，第（1）題較為簡(jiǎn)單，它的設(shè)置其實(shí)是為解決第（2）題提供了臺(tái)階與抓手，這也是很多綜合題常見的命題方法，解題時(shí)應(yīng)予以充分的重視.第（2）題的要求是先“表示”，后“證明”，不少同學(xué)在答題時(shí)習(xí)慣直接推導(dǎo)出結(jié)論，從而造成失分，需引起注意.此外，在證明全等三角形時(shí)，我們提倡用大括號(hào)按順序列出三個(gè)條件的做法，這樣做不僅顯得條理清晰，而且便于閱卷老師批閱.

學(xué)會(huì)反思是學(xué)力提升的重要手段，做完本題后，我們還可以進(jìn)一步思考：若點(diǎn)P在線段BC的延長(zhǎng)線或反向延長(zhǎng)線上，問題該如何解決呢？感興趣的同學(xué)不妨試一試.