泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析中的應(yīng)用

潘澤源

【摘 要】在機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析中應(yīng)用泛灰數(shù)學(xué)，可以從根本上提升其計(jì)算的精確度，以滿(mǎn)足實(shí)際的設(shè)計(jì)需求。但在實(shí)際的應(yīng)用過(guò)程中，還存在一些不足之處與問(wèn)題，影響機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析效率，例如，分析理論傳統(tǒng)、分析方法不合理等?；诖?，作者結(jié)合自身工作經(jīng)驗(yàn)，對(duì)泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析中的應(yīng)用進(jìn)行分析，以供相關(guān)人員參考。

【關(guān)鍵詞】泛灰數(shù)學(xué)；機(jī)器人；誤差分析

中圖分類(lèi)號(hào)： TB11 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）02-0131-002

【Abstract】Applying the pan grey mathematics to the error analysis of robot mechanism can improve the accuracy of its calculation in order to meet the actual design requirements.However，in the practical application process，there are still some shortcomings and problems，which affect the efficiency of the error analysis of the robot mechanism.For example，the analysis theory tradition and the analysis method are unreasonable.Based on the work experience，the author analyzes the application of the grey mathematics in the error analysis of the robot mechanism for reference.

【Key words】Pan-grey mathematics；Robot；The error analysis

0 引言

泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析中的應(yīng)用，為實(shí)際的誤差分析提供了新方法與新理論，可以有效的滿(mǎn)足當(dāng)前時(shí)代的需求，具有較強(qiáng)的應(yīng)用價(jià)值。例如，在機(jī)器人的手臂設(shè)計(jì)過(guò)程中，設(shè)計(jì)人員除了對(duì)相關(guān)的桿件、關(guān)節(jié)等原理與構(gòu)造進(jìn)行設(shè)計(jì)外，還需要結(jié)合設(shè)計(jì)的實(shí)際需求，對(duì)各桿件與關(guān)節(jié)的精度進(jìn)行測(cè)量，以滿(mǎn)足實(shí)際的設(shè)計(jì)需求。

1 泛灰數(shù)學(xué)分析

1.1 泛灰數(shù)學(xué)的發(fā)展

區(qū)間分析又被人們稱(chēng)為區(qū)間數(shù)學(xué)，其最早的應(yīng)用目的是對(duì)相關(guān)的誤差進(jìn)行分析研究，以保證明確其誤差的大小，在實(shí)際的運(yùn)算過(guò)程中，相同的自變量受運(yùn)算次序不同的影響，可能會(huì)導(dǎo)致產(chǎn)生不同的擴(kuò)展區(qū)間。例如，張紀(jì)元在對(duì)機(jī)械誤差進(jìn)行分析時(shí)，靈活利用三角函數(shù)的單調(diào)性，通過(guò)擴(kuò)展進(jìn)行區(qū)間法分析，但在實(shí)際的分析過(guò)程中，利用區(qū)間分析法可能出現(xiàn)誤差區(qū)間出現(xiàn)超差情況，誤差區(qū)間范圍過(guò)大，直接影響分析結(jié)果。基于此，通過(guò)不斷的完善與創(chuàng)新，灰色系統(tǒng)理論概念被提出，標(biāo)志著一門(mén)嶄新的數(shù)學(xué)研究領(lǐng)域的發(fā)展，同時(shí)，相對(duì)應(yīng)的“灰集合”概念逐漸衍生，區(qū)間灰數(shù)的運(yùn)算法則逐漸明確。在實(shí)際的運(yùn)算過(guò)程中，灰運(yùn)算與區(qū)間數(shù)學(xué)具有相同的特性，部分代數(shù)性質(zhì)難以表現(xiàn)，因此，泛灰數(shù)學(xué)概念逐漸提出，為機(jī)器人機(jī)構(gòu)的誤差分析奠定良好的基礎(chǔ)。

1.2 泛灰數(shù)學(xué)概念

當(dāng)前，人們將泛灰數(shù)學(xué)定義為：設(shè)論域U=R，R為實(shí)數(shù)集，則將R上的泛灰集成為泛灰數(shù)集，并將其有效的記為g（R），同時(shí)，稱(chēng)g（R）中的相關(guān)元素為灰數(shù)集，記作：g=（x，〖μ1，μ2〗），x∈R，μ，μ∈R①，在①中，x值代表觀測(cè)值，〖μ，μ〗代表灰信息部，并將g（0）=（0，〖0，0〗）稱(chēng)為g（R）中的零元，將g（1）=（1，〖1，1〗）稱(chēng)為g（R）中的單位元。同時(shí)，如果觀測(cè)部為零，則將灰信息部中的不為零的泛灰數(shù)集記為g（0）′，并稱(chēng)為亞零元，并且，將零元與亞零元統(tǒng)稱(chēng)為泛零元，記為g（0）′′。以泛灰數(shù)學(xué)的概念為基礎(chǔ)，逐漸對(duì)泛灰的除法與加法運(yùn)算進(jìn)行定義，同時(shí)，利用加法運(yùn)算定義與負(fù)元定義對(duì)減法進(jìn)行定義，利用相關(guān)的逆元定義進(jìn)行除法運(yùn)算定義，同時(shí)，明確各運(yùn)算定義的規(guī)律性，例如，泛灰加法運(yùn)算定律可以滿(mǎn)足交換律與結(jié)合律，具有封閉性特點(diǎn)，且存在唯一的零元；泛灰乘法運(yùn)算定律與加法定律相同，同時(shí)還可以滿(mǎn)足分配率。

1.3 區(qū)間灰數(shù)與泛灰數(shù)的轉(zhuǎn)化分析

以泛灰數(shù)的定義為基礎(chǔ)，在實(shí)際的運(yùn)算應(yīng)用過(guò)程中，可以將實(shí)際的泛灰數(shù)中（x，〖μ1，μ2〗）中的μ看作為數(shù)值x的最高或者最低的信任程度，以實(shí)際的數(shù)字為例，例如，μ1=0.5，μ2=0.7，則可以明確x的可信值在0.5x與0.7x之間，并用區(qū)間數(shù)進(jìn)行合理的表示，表示為[0.5x，0.7x]。同時(shí)，應(yīng)對(duì)μ的范圍進(jìn)行有效的限制，μ∈[-1，1]。同時(shí)，當(dāng)A[a，b]∈I（R）時(shí)，其數(shù)值均可以利用合理的泛灰數(shù)進(jìn)行表示：（x，〖μ，μ〗）表示，例如，以實(shí)際的數(shù)值為例，主要分為四種：

第一種，當(dāng)a>0時(shí)，存在[a，b]=（b，〖a/b，1〗），如實(shí)際數(shù)值的區(qū)間灰數(shù)：[1，2]=（2，〖0.5，1〗）。

第二種，當(dāng)ab<0時(shí)，并且max{a，b}=b時(shí)，存在[a，b]=（b，〖a/b，1〗）情況，如實(shí)際的數(shù)值區(qū)間灰數(shù)：[-1，2]，由此可知，此時(shí)的a=-1，b=2，而max{-1，2}=2，ab=-2，則可以得出[-1，2]=（2，〖0.5，1〗）。

第三種，當(dāng)ab<0時(shí)，并且max{a，b}=a時(shí)，存在[a，b]=（a，〖b/a，1〗）情況，如實(shí)際的數(shù)值區(qū)間灰數(shù)：[-2，1]，由此可知，此時(shí)的a=-2，b=1，而max{-2，1}=2，ab=-2<0，則可以得出[-2，1]=（-2，〖-0.5，1〗）。

第四種，當(dāng)b<0時(shí)，存在[a，b]=（a，〖b/a，1〗），入實(shí)際的數(shù)值區(qū)間灰數(shù)：[-2，-1]，由此可知，此時(shí)的a=-2，b=-1<0，則可以得出[-2，-1]=（-2，〖-0.5，1〗）。

通過(guò)上述的泛灰數(shù)與區(qū)間灰數(shù)的轉(zhuǎn)化可知，以相關(guān)的函數(shù)為基礎(chǔ)，在實(shí)際的運(yùn)算過(guò)程中，只要將區(qū)間灰數(shù)進(jìn)行合理的輸入，利用該函數(shù)就可以求出相對(duì)應(yīng)的泛灰數(shù)，以滿(mǎn)足實(shí)際的運(yùn)算需求。

1.4 對(duì)泛灰函數(shù)的區(qū)間分析功能進(jìn)行分析

泛灰數(shù)的實(shí)際應(yīng)用，屬于實(shí)數(shù)的推廣，在推廣應(yīng)用過(guò)程中，泛灰函數(shù)保留了相關(guān)的函數(shù)性質(zhì)，與區(qū)間數(shù)學(xué)相對(duì)比，具有明顯的優(yōu)勢(shì)，例如，具備區(qū)間分析功能優(yōu)勢(shì)，利用該功能優(yōu)勢(shì)，解決運(yùn)算過(guò)程中遇到的問(wèn)題。

2 泛灰運(yùn)算軟件開(kāi)發(fā)分析

MATLAB屬于數(shù)學(xué)軟件，以矩陣運(yùn)算的快速解釋程序?yàn)楹诵模趯?shí)際的應(yīng)用過(guò)程中，利用交互的方式，對(duì)用戶(hù)的各種指令進(jìn)行合理的分析，并輸出明確的結(jié)果。泛灰運(yùn)算軟件的應(yīng)用，為實(shí)際的分析提供了良好的集成開(kāi)放環(huán)境，用戶(hù)在使用過(guò)程中，可以進(jìn)行大量的系統(tǒng)命令，例如，命令繪圖、進(jìn)行數(shù)值運(yùn)算等。實(shí)際上，MATLAB提供了數(shù)量較多的工具箱，幫助工作人員進(jìn)行合理的問(wèn)題處理，并利用其解決實(shí)際問(wèn)題，靈活利用技術(shù)資源，以滿(mǎn)足當(dāng)前的實(shí)際需求。因此，以現(xiàn)階段的泛灰數(shù)學(xué)為原理，以實(shí)際的，MATLAB為基礎(chǔ)，進(jìn)行技術(shù)開(kāi)發(fā)，開(kāi)發(fā)出符合當(dāng)前需求的泛灰運(yùn)算工具箱。在實(shí)際的技術(shù)開(kāi)發(fā)過(guò)程中，其主要的開(kāi)發(fā)思維是以泛灰運(yùn)算、區(qū)間灰數(shù)以及泛灰轉(zhuǎn)化為依據(jù)，進(jìn)行合理的轉(zhuǎn)化，編制成完善的M文件，并建立合理的子文件，開(kāi)發(fā)出合理的泛灰運(yùn)算軟件，以滿(mǎn)足當(dāng)前實(shí)際的需求。

3 泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析中的應(yīng)用

以PUMA型機(jī)器人為基礎(chǔ)，進(jìn)行合理的誤差設(shè)計(jì)分析，在實(shí)際的設(shè)計(jì)過(guò)程中，首先要求機(jī)器人設(shè)計(jì)任務(wù)符合執(zhí)行功能的精度要求，利用合理的尺寸鏈達(dá)到精度目標(biāo)，以此來(lái)保證機(jī)器人的精度符合標(biāo)準(zhǔn)。

3.1 明確機(jī)器人機(jī)構(gòu)的泛灰誤差分析整體步驟

3.1.1 方程建立

在實(shí)際的分析過(guò)程中，需要分析人員結(jié)合實(shí)際研究情況建立完善的位置方程，設(shè)方程為f（q，l，x）=0，并且變化矩陣d（q，l，x）=0，在方程中，q為輸入運(yùn)動(dòng)參數(shù)已知量，l則為機(jī)構(gòu)參數(shù)；x為實(shí)際的待定輸出構(gòu)件位置參數(shù)數(shù)值，其中，q0、l0以及x0均為理想狀態(tài)下的機(jī)構(gòu)位置數(shù)值。

3.1.2 泛灰的拓展

在運(yùn)算分析過(guò)程中，將方程中的三個(gè)數(shù)值分別進(jìn)行假設(shè)，例如，設(shè)方程f中q，l，x分別為A，X，Y，由此可知向量值函數(shù)f1（q，l）在A、X中的泛灰拓展數(shù)值為F1（A，X，Y）=0，并且其變換矩陣為D（A，X，Y），因此，利用合理的泛灰軟件進(jìn)行合理的運(yùn)算，并求出相對(duì)應(yīng)的解。

3.2 對(duì)PUMA機(jī)器人機(jī)構(gòu)的誤差進(jìn)行分析

3.2.1 誤差分析

在PUMA機(jī)器人機(jī)構(gòu)中，利用現(xiàn)階段的矩陣描述方法進(jìn)行合理的變換矩建立，首先將機(jī)器人的桿件的進(jìn)行合理的劃分，并按照順序進(jìn)行排序，以第一個(gè)桿件為基礎(chǔ)，記為i，并以此類(lèi)推。此時(shí)可以有效的得出Ai的數(shù)值：[cosθi-sinθicosαisinθisinαiαicosθi]，[sinθicosθicosαi-cosθisinαiαisinθi][0sinαicosαidi][0001]。在數(shù)值中，θi主要是指xi圍繞zi軸進(jìn)行合理的旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到一定的角度時(shí)，xi與xi+1重合時(shí)旋轉(zhuǎn)的總角度值。di是指按照zi的方向進(jìn)行合理的旋轉(zhuǎn)，代表從i標(biāo)架原點(diǎn)Oi至zi與xi+1的交點(diǎn)間的距角度數(shù)值，而ai是指按照xi方向進(jìn)行合理的旋轉(zhuǎn)，代表zi與xi+1的交點(diǎn)i的標(biāo)架原點(diǎn)Oi的距角數(shù)值，αi是指繞xi軸進(jìn)行合理的旋轉(zhuǎn)，從zi到zi+1的角度數(shù)值，在實(shí)際的旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，其角度的方向依據(jù)右手定則原則進(jìn)行規(guī)定。在實(shí)際的運(yùn)算過(guò)程中，利用上述Ai的數(shù)值進(jìn)行求解，有效的求出機(jī)器人手臂的變換矩陣數(shù)值，并將其記為T(mén)n，由此可知，案例PUMA機(jī)器人的手臂變換矩陣數(shù)值等于T6=T1T2T3T4T5T6=[nxOxaxpx][nyoyaypy][nzozazpz][0001]，并且由此可知，其矩陣的數(shù)值為[nxOxax][nyoyay][nzozaz]，該數(shù)據(jù)值表示為機(jī)器人手臂末端的支架的姿勢(shì)，而實(shí)際的向量數(shù)值[px][py][pz]則表示機(jī)器人手臂末端標(biāo)架原點(diǎn)的坐標(biāo)數(shù)值，通過(guò)對(duì)機(jī)器人手臂變換矩陣數(shù)值進(jìn)行有效的計(jì)算，明確相關(guān)的數(shù)據(jù)均為泛灰數(shù)，并且，將計(jì)算過(guò)程中涉及的常數(shù)也作為泛灰數(shù)值，通常情況下，作為一種特殊的泛灰數(shù)值處理。

3.2.2 參數(shù)分析

實(shí)際上，PUMA機(jī)器人存在大量的基本參數(shù)，其主要參數(shù)包括輸入?yún)?shù)矩陣、機(jī)器人姿勢(shì)誤差以及機(jī)器人手臂末端標(biāo)架的位置參數(shù)等。在計(jì)算過(guò)程中，計(jì)算人員通常將上述參數(shù)表示為區(qū)間參數(shù)，通過(guò)相應(yīng)的軟件程序，進(jìn)行自動(dòng)的計(jì)算與輸入，完成輸入后，輸出實(shí)際的參數(shù)值，并進(jìn)行合理的表示。上述過(guò)程的主要目的是對(duì)實(shí)際存在的單獨(dú)誤差進(jìn)行合理的考察，并分析由單獨(dú)誤差引起的實(shí)際姿勢(shì)誤差與末端標(biāo)架位置誤差，為后續(xù)的分析提供參考依據(jù)，合理進(jìn)行平行度誤差與垂直誤差數(shù)據(jù)的選擇，保證分析結(jié)果的準(zhǔn)確性。通過(guò)有效的實(shí)踐，可以明確該驗(yàn)證分析方法的時(shí)效性與準(zhǔn)確性，例如，在實(shí)際的誤差分析過(guò)程中，將相關(guān)的基本參數(shù)與誤差進(jìn)行結(jié)合，并將其表示為區(qū)間數(shù)，通過(guò)運(yùn)用合理的泛灰數(shù)，可以高效的計(jì)算出各參數(shù)的實(shí)際區(qū)間表示，此時(shí)分析人員可以以實(shí)際的區(qū)間表示為依據(jù)，明確各誤差與各尺寸對(duì)實(shí)際的各個(gè)輸出參數(shù)的影響情況，以滿(mǎn)足實(shí)際的機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析需求。靈活應(yīng)用現(xiàn)有的泛灰運(yùn)算工具箱，在已知各參數(shù)驗(yàn)算輸出參數(shù)的誤差是否滿(mǎn)足實(shí)際的誤差需求，還可以對(duì)各個(gè)輸入?yún)?shù)的實(shí)際誤差進(jìn)行分析，并分析該參數(shù)誤差對(duì)輸出參數(shù)的實(shí)際影響，從根本上確定各參數(shù)的公差與偏差。

4 結(jié)論

綜上所述，泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人機(jī)構(gòu)誤差分析中的應(yīng)用，為機(jī)器人機(jī)構(gòu)運(yùn)動(dòng)誤差分析提供了新方式，并利用泛灰數(shù)學(xué)自身的性質(zhì)特點(diǎn)與優(yōu)勢(shì)，將分析的整體步驟進(jìn)行簡(jiǎn)單化，保證分析結(jié)果的直觀性與可靠性，提升分析效率。泛灰數(shù)學(xué)在機(jī)器人誤差分析、靈敏度分析以及復(fù)雜機(jī)構(gòu)分析中具有廣闊的應(yīng)用前景，符合當(dāng)前時(shí)代的要求。

【參考文獻(xiàn)】

[1]祁力群.區(qū)間分析[J].運(yùn)籌學(xué)雜志，1982，（1）：151-156.

[2]張紀(jì)元，沈守范.計(jì)算機(jī)構(gòu)學(xué)[M].北京：國(guó)防工業(yè)出版社，1996.