淺析數(shù)學(xué)分析教學(xué)中絕對(duì)值不等式的證明方法

李霞

【摘 要】通過(guò)幾個(gè)具體的實(shí)例，闡述了數(shù)學(xué)分析教學(xué)中絕對(duì)值不等式的證明方法。

【關(guān)鍵詞】絕對(duì)值不等式；證明

中圖分類號(hào)： G634.6 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼： A 文章編號(hào)： 2095-2457（2018）02-0115-002

【Abstract】Through several concrete examples，the proof methods of absolute value inequality in mathematical analysis teaching are expounded.

【Key words】Absolute inequality；Proof

《數(shù)學(xué)分析》是高等院校數(shù)學(xué)類專業(yè)和部分工科專業(yè)學(xué)生必修的一門基礎(chǔ)理論課程。它所涉及的處理問(wèn)題的思想、方法和技巧廣泛應(yīng)用到物理學(xué)、天文學(xué)、經(jīng)濟(jì)學(xué)等各個(gè)領(lǐng)域。而在《數(shù)學(xué)分析》學(xué)習(xí)過(guò)程中，從極限的證明到連續(xù)性分析再到定積分、級(jí)數(shù)等，絕對(duì)值不等式的證明可謂是重中之重。因此，能否找到最適合題目的絕對(duì)值不等式的證明辦法，在很多情況下成了學(xué)習(xí)《數(shù)學(xué)分析》的關(guān)鍵所在。本文通過(guò)實(shí)例對(duì)絕對(duì)值不等式的證明方法加以探討，以期對(duì)《數(shù)學(xué)分析》的教學(xué)與研究有所促進(jìn)。

1 利用絕對(duì)值不等式的等價(jià)條件去掉絕對(duì)值號(hào)

證明絕對(duì)值不等式的最直接方法就是利用絕對(duì)值不等式的一些等價(jià)條件諸如：|x-a|xb？圳x>a+b或x

例1證明ax（a>0，a≠1）在任意點(diǎn)x0∈R連續(xù)[1].

證明對(duì)任意的x0∈R，因?yàn)閨ax-a■|=a■|a■-1|，所以對(duì)任意給定的ε>0（不妨設(shè)ε

由定義知ax在點(diǎn)x0連續(xù).

在本例中，由于絕對(duì)值號(hào)中式子形式簡(jiǎn)單，故采取利用等價(jià)條件直接去掉絕對(duì)值的方式，這種方法也可用在在兩邊夾定理的證明中。

2 加項(xiàng)減項(xiàng)，同時(shí)利用三角不等式對(duì)絕對(duì)值不等式進(jìn)行拆分

在遇到絕對(duì)值內(nèi)表達(dá)式跨越有限多項(xiàng)相加減時(shí)，我們可以將該式中缺少的項(xiàng)通過(guò)加項(xiàng)減項(xiàng)的形式表達(dá)出來(lái)，并利用三角不等式對(duì)絕對(duì)值進(jìn)行展開，從而形成“通項(xiàng)”，便于證明絕對(duì)值不等式。如：

例2設(shè)a為常數(shù)，若數(shù)列{xn}滿足條件■|x■-x■|

證明數(shù)列{xn}收斂[2].

證明令yn■|xk-xk-1|，（n=2，3，…）.顯然數(shù)列{yn}單調(diào)增加并有上界a，所以數(shù)列{yn}收斂，由柯西收斂準(zhǔn)則，對(duì)任意ε>0，當(dāng)n>N時(shí)，對(duì)任意自然數(shù)p，有

而

由柯西收斂準(zhǔn)則，數(shù)列{xn}收斂.

在本例中，絕對(duì)值內(nèi)式子跨越數(shù)列的p+1項(xiàng)，類似的情況我們同樣在柯西收斂定理與一致收斂的定義中可以見到，同時(shí)，這種思想在實(shí)變函數(shù)的學(xué)習(xí)過(guò)程中也有著更加廣泛的應(yīng)用。

3 利用已知恒等式或不等式對(duì)絕對(duì)值不等式進(jìn)行放縮

例3設(shè)a>1，求證■■=1[1].

證明令bn=■-1，則bn>0，a=（1+bn）n≥1+nbn，

因而有■-1=b■≤■.

對(duì)于任給的ε>0，不妨設(shè)ε

取N=■，則當(dāng)n>N時(shí)，就有■-1<ε.由定義知■■=1成立.（下轉(zhuǎn)第114頁(yè)）

（上接第115頁(yè)）

本例通過(guò)伯努利不等式將絕對(duì)值內(nèi)的式子進(jìn)行代換，從而簡(jiǎn)單有效地解決了不等式的證明問(wèn)題。

除了上述三種方法之外，絕對(duì)值不等式的處理方法還有很多，在解題過(guò)程中，重點(diǎn)還是要學(xué)會(huì)靈活應(yīng)用，才能熟能生巧。

【參考文獻(xiàn)】

[1]劉春根，等.數(shù)學(xué)分析（上冊(cè)）[M].北京：高等教育出版社，2014.

[2]李世金，趙潔.數(shù)學(xué)分析解題方法600例[M].長(zhǎng)春：東北師范大學(xué)出版社，1992.