串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器中倒擺的穩(wěn)定性分析

朱 煜, 喻 強(qiáng), 徐登峰, 管高峰, 穆海華

(1. 電子科技大學(xué) 機(jī)械電子工程學(xué)院，成都 611731；2. 清華大學(xué) 機(jī)械工程系，北京 100084)

倒立的擺動(dòng)裝置(倒擺)因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、成本低廉等特點(diǎn)被廣泛應(yīng)用于自動(dòng)控制工程、機(jī)械工程等領(lǐng)域的各種設(shè)備中。Blitzer等[1-2]在1965年分別利用牛頓力學(xué)法和拉格朗日方程法建立了倒擺的運(yùn)動(dòng)方程，并分析了正弦激勵(lì)作用時(shí)倒擺的運(yùn)動(dòng)特性。Kalmus[3]在1970年分析了脈沖激勵(lì)作用時(shí)倒擺的運(yùn)動(dòng)特性。Pinoli等[4-5]分別在1993年和1994年開(kāi)始提出倒擺可用于水平隔振裝置中。但倒擺作為一種負(fù)剛度隔振系統(tǒng)單獨(dú)使用時(shí)極不穩(wěn)定，必須聯(lián)合其它裝置一起使用。Losurdo等[6-9]相繼提出倒擺可聯(lián)合金屬?gòu)椈?、鈹青銅片、高強(qiáng)度撓性關(guān)節(jié)、復(fù)合擺等一起使用，用于各種精密隔振系統(tǒng)中。

近年來(lái)，倒擺聯(lián)合空氣彈簧使用逐漸成為研究熱點(diǎn)[10-15]。空氣彈簧具有較低的垂直剛度和較大的水平剛度，倒擺具有較低的水平剛度和較大的垂直剛度，將倒擺與空氣彈簧串聯(lián)使用時(shí)，倒擺的水平剛度遠(yuǎn)小于空氣彈簧的水平剛度而垂直剛度遠(yuǎn)大于空氣彈簧的垂直剛度，串聯(lián)使用后的隔振器等效水平剛度近似為倒擺的水平剛度，等效垂直剛度近似為空氣彈簧的垂直剛度。因此，倒擺串聯(lián)空氣彈簧使用不僅解決了倒擺單獨(dú)使用時(shí)極不穩(wěn)定的問(wèn)題，還解決了空氣彈簧垂直和水平方向的隔振性能無(wú)法兼顧的問(wèn)題，使隔振器垂直和水平方向同時(shí)實(shí)現(xiàn)了低剛度(低固有頻率)。

雖然串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器具有上述的諸多優(yōu)點(diǎn)，但在使用過(guò)程中依然會(huì)出現(xiàn)倒擺穩(wěn)定性問(wèn)題。該穩(wěn)定性問(wèn)題主要是指倒擺偏離初始平衡位置后無(wú)法回復(fù)到原來(lái)的位置或回復(fù)時(shí)間過(guò)長(zhǎng)。文獻(xiàn)[16-18]中提到單擺在偏離初始平衡位置一個(gè)較小的角度后會(huì)受到一個(gè)指向平衡位置，大小與位移成正比的回復(fù)力的作用，從而使單擺能夠回復(fù)到原來(lái)的位置。倒擺作為一個(gè)倒立的單擺，串聯(lián)空氣彈簧后在水平外力作用下，會(huì)產(chǎn)生水平位移和偏轉(zhuǎn)(活塞偏轉(zhuǎn))，同時(shí)也會(huì)受到空氣彈簧給予的回復(fù)力和回復(fù)力矩(回復(fù)力產(chǎn)生的矩)作用?；貜?fù)力和回復(fù)力矩的大小和方向決定著倒擺能否回復(fù)到原來(lái)的位置。所以，以回復(fù)力和回復(fù)力矩的大小和方向來(lái)衡量倒擺的穩(wěn)定性。

為此，本文從串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)出發(fā)，分析其對(duì)倒擺穩(wěn)定性的影響，利用牛頓力學(xué)法建立倒擺穩(wěn)定性的力學(xué)模型，推導(dǎo)出回復(fù)力和回復(fù)力矩的數(shù)學(xué)模型，再結(jié)合具體實(shí)例對(duì)該數(shù)學(xué)模型進(jìn)行仿真分析，尋找影響倒擺穩(wěn)定性的主要結(jié)構(gòu)參數(shù)，最后根據(jù)仿真分析結(jié)果指導(dǎo)空氣彈簧隔振器的結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)。

1 理論分析

如圖1所示，串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器主要由負(fù)載、擺桿、上活塞、橡膠膜片、下活塞、壓環(huán)、腔室和空氣彈簧等組成。外力作用下，擺桿會(huì)移動(dòng)到圖中豎直雙點(diǎn)劃線所示位置，上下活塞也會(huì)繞著下活塞與擺桿的接觸點(diǎn)偏轉(zhuǎn)至圖中雙點(diǎn)劃線矩形所示位置，橡膠膜片由圖中黑色粗實(shí)線變成雙點(diǎn)劃線所示位置。如點(diǎn)劃線圓所示，左側(cè)橡膠膜片與活塞的接觸面積變大，右側(cè)橡膠膜片與活塞的接觸面積變小，在空氣彈簧內(nèi)部氣壓的作用下活塞(擺桿和負(fù)載)因受到回復(fù)力和回復(fù)力矩作用而回復(fù)到原來(lái)的初始平衡位置。

圖1 串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器示意圖Fig.1 The air spring vibration isolator in series with the inverted pendulum

如圖2所示，活塞的重心為O2，活塞與擺桿的接觸點(diǎn)為O1，F(xiàn)11和F12分別為活塞受到垂直于上活塞外表面的壓力，F(xiàn)21和F22分別為活塞受到沿著上活塞外表面向上的拉力，F(xiàn)p為空氣彈簧內(nèi)部氣體對(duì)活塞的有效支撐力，mg為活塞的重力，Mg為負(fù)載等對(duì)活塞的壓力。各力的合力就是活塞受到的回復(fù)力F，各力在O1點(diǎn)產(chǎn)生的合力矩就是活塞受到的回復(fù)力矩T。橡膠膜片與活塞接觸面積的變化以及空氣彈簧內(nèi)部氣壓的存在是回復(fù)力和回復(fù)力矩產(chǎn)生的主要原因，先分析橡膠膜片與活塞接觸面積的變化和空氣彈簧內(nèi)部氣體壓力的大小，再逐個(gè)分析圖2中各力的大小和方向以及在O1產(chǎn)生力矩的大小和方向，便可得到總的回復(fù)力F和回復(fù)力矩T。

圖2 活塞的受力分析Fig.2 The force analysis of the piston

1.1 橡膠膜片與活塞接觸面積的變化

將橡膠膜片與活塞的接觸面沿著活塞周向劃分成無(wú)數(shù)個(gè)小段，每個(gè)小段的高度即為該段對(duì)應(yīng)的橡膠膜片與活塞接觸的長(zhǎng)度。活塞發(fā)生如圖1所示的偏轉(zhuǎn)后，橡膠膜片與活塞最左側(cè)邊線的接觸長(zhǎng)度最長(zhǎng)，與活塞最右側(cè)邊線的接觸長(zhǎng)度最短。橡膠膜片與活塞接觸面每個(gè)小段的高度近似認(rèn)為是從最右側(cè)最短接觸長(zhǎng)度線性增加到最左側(cè)最長(zhǎng)接觸長(zhǎng)度，則求解橡膠膜片與活塞接觸面積的變化就相當(dāng)于求解橡膠膜片與活塞的最長(zhǎng)接觸長(zhǎng)度和最短接觸長(zhǎng)度。

如圖3所示，活塞由實(shí)線DMNH偏轉(zhuǎn)至雙點(diǎn)劃線D1M1N1H1，O為MN的中點(diǎn)，O1為M1N1的中點(diǎn)。設(shè)負(fù)載(擺桿)的水平位移為x，上活塞半徑為R，擺桿有效擺長(zhǎng)為h，活塞偏轉(zhuǎn)角度為θ。則D和D1之間的水平距離Δx1和豎直距離Δy1以及H和H1之間的水平距離Δx2和豎直距離Δy2分別為

Δx1=hsinθ+Rcosθ-R-x

(1)

(2)

Δx2=hsinθ-Rcosθ+R-x

(3)

(4)

圖3 活塞偏轉(zhuǎn)示意圖Fig.3 The deflection of the piston

如圖4(a)所示，左側(cè)橡膠膜片由ABCD變?yōu)锳1B1C1D1，橡膠膜片與上活塞的接觸長(zhǎng)度由CD變?yōu)镃1D1，設(shè)圓弧BC的半徑為r(包含橡膠膜片厚度)，圓弧B1C1的半徑為R1。橡膠膜片中簾布的存在使其無(wú)法被拉伸或壓縮而改變長(zhǎng)度，則為

(5)

式(5)中∑為定值，則可得到R1為

(6)

則橡膠膜片與活塞的最長(zhǎng)接觸長(zhǎng)度L為

(7)

如圖4(b)所示，右側(cè)橡膠膜片由EFGH變?yōu)镋1F1G1H1，橡膠膜片與活塞的接觸長(zhǎng)度由GH變?yōu)镚1H1，設(shè)圓弧F1G1的半徑為R2。同理，可得R2為

(8)

圖4 橡膠膜片變形示意圖Fig.4 The deformation of the elastomer diaphragm

則橡膠膜片與活塞的最短接觸長(zhǎng)度l為

(9)

1.2 空氣彈簧內(nèi)部壓強(qiáng)的計(jì)算

圖5 橡膠膜片與負(fù)載受力示意圖Fig.5 The force of the elastomer diaphragm and the load

由橡膠膜片的受力分析可知

(10)

空氣彈簧內(nèi)部氣體對(duì)負(fù)載的有效支撐力Fp為

Fp=π(P1-P0)(R+d)2

(11)

由負(fù)載的受力分析可知

(M+m)g=F2+Fp

(12)

則空氣彈簧內(nèi)部氣體壓力P1為

(13)

1.3 F11和F12產(chǎn)生的回復(fù)力和回復(fù)力矩

圖6 橡膠膜片與上活塞接觸示意圖Fig.6 The contact between elastomer diaphragm and upper piston

偏轉(zhuǎn)后的橡膠膜片與上活塞軸測(cè)圖如圖6(a)所示，主視圖如圖6(b)所示，橡膠膜片與上活塞的最長(zhǎng)接觸長(zhǎng)度C1D1為L(zhǎng)，最短接觸長(zhǎng)度G1H1為l。將圓環(huán)狀的橡膠膜片展開(kāi)成如圖6(c)所示的平面狀，橡膠膜片與上活塞的接觸長(zhǎng)度近似從G1H1處的l不斷線性增加到C1D1處的L，H1D1之間的長(zhǎng)度為πR。

如圖7(a)所示，取一小段橡膠膜片MN，其與H1的夾角為α，對(duì)應(yīng)的圓心角為dα。如圖7(b)所示，橡膠膜片MN受到垂直于其外表面的力dF，將該力正交分解成平行于H1D1的分力dF1和垂直于H1D1的分力dF3。將圖7(c)半圓弧H1ND1展開(kāi)成圖7(d)的線段H1ND1，則線段MN的長(zhǎng)度為

(14)

則作用在橡膠膜片MN的外表面的力dF為

(15)

如圖7所示，所有dF3的合力為零，dF1大小為

dF1=cosαdF

(16)

圖7 小段橡膠膜片“MN”Fig.7 A small part of the elastomer diaphragm “MN”

如圖8所示，記左側(cè)橡膠膜片所受到的所有分力dF1的合力為F11，其對(duì)點(diǎn)O1產(chǎn)生的有效力矩為T(mén)11；右側(cè)橡膠膜片所受到的所有分力dF1的合力為F12，其對(duì)點(diǎn)O1產(chǎn)生的有效力矩為T(mén)12，則F11、F12、T11和T12大小分別為(方向如圖8所示)

(17)

(18)

(19)

則合力F1和合力矩T1大小為(方向如圖8所示)

(20)

(21)

圖8 偏轉(zhuǎn)力矩T1示意圖Fig.8 The deflection torque T1

1.4 F21和F22產(chǎn)生的回復(fù)力和回復(fù)力矩

如圖9(a)所示，近似認(rèn)為活塞偏轉(zhuǎn)后最左側(cè)橡膠膜片鼓起部分為直徑2R1的圓弧，最右側(cè)橡膠膜片鼓起部分為直徑2R2的圓弧。圖9(b)為橡膠膜片與活塞的軸測(cè)圖，圖9(c)為橡膠膜片與活塞的截面圖，取一小段橡膠膜片AB，其有效的投影面為CD，與水平軸線的夾角為β，對(duì)應(yīng)的圓心角為dβ。橡膠膜片鼓起部分的有效投影面的長(zhǎng)度近似認(rèn)為是從2R1線性增加到2R2，則CD的長(zhǎng)度為

(22)

則該段橡膠膜片對(duì)上活塞的拉力dF2為

(23)

圖9 小段橡膠膜片“AB”Fig.9 A small part of the elastomer diaphragm “AB”

如圖10(a)所示，記左側(cè)橡膠膜片對(duì)上活塞的所有拉力dF2的合力為F21，其對(duì)點(diǎn)O1產(chǎn)生的有效力矩為T(mén)21；右側(cè)橡膠膜片對(duì)上活塞的所有拉力dF2的合力為F22，其對(duì)點(diǎn)O1產(chǎn)生的有效力矩為T(mén)22，則F21、F22、T21和T22大小分別為(方向如圖10(a)所示)

(24)

(25)

(26)

則合力F2和合力矩T2大小為(方向如圖10所示)

(27)

T2=T21-T22=

(28)

1.5 活塞重力產(chǎn)生的回復(fù)力矩

設(shè)活塞的重心高度為h1，則重力mg對(duì)點(diǎn)O1產(chǎn)生的力矩T3大小為(方向如圖10(b)所示)

T3=mgh1sinθ

(29)

圖10 偏轉(zhuǎn)力矩T2、T3和T示意圖Fig.10 The deflection torque T2，T3 and T

1.6 總回復(fù)力和回復(fù)力矩

綜上所述，總回復(fù)力F和總回復(fù)力矩T的大小為(方向如圖10(b)所示)

(30)

(31)

2 實(shí)例分析

某串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器實(shí)例如圖11所示，其各項(xiàng)參數(shù)值如表1所示。

圖11 空氣彈簧隔振器實(shí)例Fig.11 The actual air spring vibration isolator

參數(shù)名稱參數(shù)值負(fù)載的水平位移x/mm0～4擺桿的有效擺長(zhǎng)h/mm519活塞的偏轉(zhuǎn)角θ/rad0～arctan(x/h)上活塞的半徑R/mm143橡膠膜片鼓起圓弧的半徑r/mm3橡膠膜片的厚度d/mm1橡膠膜片鼓起部分的總長(zhǎng)度Σ/mm27．4活塞的總質(zhì)量m/kg15．5活塞的重心高度h1/mm363．4負(fù)載的總質(zhì)量M/kg3030標(biāo)準(zhǔn)大氣壓P0/Pa1．013×105重力加速度g/(m·s-2)9．8

將上述參數(shù)代入式(30)中，回復(fù)力F與水平位移x和偏轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系如圖12(a)所示，回復(fù)力F均為負(fù)值，其絕對(duì)值表示回復(fù)力F的大小，負(fù)號(hào)表示回復(fù)力F的方向總是與負(fù)載水平位移x的方向相反。隨著水平位移x的增大，回復(fù)力F的大小不斷增大，隨著活塞偏轉(zhuǎn)角度θ的增大，回復(fù)力F的大小不斷減小。

將上述參數(shù)代入式(31)中，回復(fù)力矩T與水平位移x和偏轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系如圖12(b)所示，回復(fù)力矩T絕對(duì)值表示回復(fù)力矩T的大小。隨著水平位移x的增大，回復(fù)力矩T的大小不斷增大，隨著活塞偏轉(zhuǎn)角度θ的增大，回復(fù)力矩T的大小先不斷減小后不斷增加。

圖12 回復(fù)力F和回復(fù)力矩T與水平位移x和偏轉(zhuǎn)角θ的關(guān)系Fig.12 The relationship between the restoring force F, the restoring torque T and the displacement x, the angle θ

3 仿真分析

倒擺穩(wěn)定性主要取決于回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的大小和方向，負(fù)載質(zhì)量、活塞質(zhì)量和重心高度等一定時(shí)，它們主要與擺桿擺長(zhǎng)h、上活塞半徑R、橡膠膜片鼓起圓弧半徑r和橡膠膜片厚度d有關(guān)。下面分別分析這些參數(shù)變化對(duì)回復(fù)力F和回復(fù)力矩T大小和方向的影響。

3.1 擺桿擺長(zhǎng)h對(duì)回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的影響

如圖13所示，分別取不同的擺桿擺長(zhǎng)h′，觀察回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的變化。隨著擺桿擺長(zhǎng)h的減小，回復(fù)力F的大小有所增加，加速活塞偏轉(zhuǎn)的力矩T大小有所降低。

圖13 擺桿擺長(zhǎng)h的變化對(duì)回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的影響Fig.13 The influence of the length h on the restoring force F and the restoring torque T

3.2 上活塞半徑R對(duì)回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的影響

如圖14所示，分別取不同的上活塞半徑R′，觀察回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的變化。隨著上活塞半徑R的減小，回復(fù)力F的大小有所增加，但加速活塞偏轉(zhuǎn)的力矩T大小也有所增加。

圖14 上活塞半徑R的變化對(duì)回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的影響Fig.14 The influence of the radius R on the restoring force F and the restoring torque T

3.3 圓弧半徑r對(duì)回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的影響

如圖15所示，分別取不同的橡膠膜片鼓起圓弧半徑r′，觀察回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的變化。圓弧半徑r的變化對(duì)回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的影響忽略不計(jì)。

圖15 圓弧半徑r的變化對(duì)回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的影響Fig.15 The influence of the arc radius r on the restoring force F and the restoring torque T

3.4 橡膠膜片厚度d對(duì)回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的影響

如圖16所示，分別取不同的橡膠膜片厚度d′，觀察回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的變化。橡膠膜片厚度d的變化對(duì)回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的影響忽略不計(jì)。

圖16 橡膠膜片厚度d的變化對(duì)回復(fù)力F和回復(fù)力矩T的影響Fig.16 The influence of the thickness d of the elastomer diaphragmon the restoring force F and the restoring torque T

4 結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)

綜上所述，為了增加倒擺的穩(wěn)定性，可以從以下方面進(jìn)行結(jié)構(gòu)優(yōu)化設(shè)計(jì)：

(1)適當(dāng)減小倒擺擺長(zhǎng)h。串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器為了獲得更好的水平方向隔振性能只有采用較長(zhǎng)的擺桿桿長(zhǎng)h，這樣會(huì)降低倒擺的穩(wěn)定性。因此，為了增加倒擺的穩(wěn)定性，在隔振器的具體設(shè)計(jì)時(shí)必須適當(dāng)減小擺桿擺長(zhǎng)h。一方面可以增加回復(fù)力的大小，使負(fù)載、活塞和擺桿等的水平位移能更快地減??；另一方面也可以降低加速活塞偏轉(zhuǎn)的力矩大小，使每個(gè)水平位移對(duì)應(yīng)的活塞偏轉(zhuǎn)角度有所降低。

(2)適當(dāng)減小上活塞半徑R。在空氣彈簧內(nèi)部氣體壓力有限的前提下，串聯(lián)倒擺的空氣彈簧隔振器為了追求更大的承載能力只有采用較大上活塞的半徑R，這樣也會(huì)降低倒擺的穩(wěn)定性。因此，為了增加倒擺的穩(wěn)定性，在隔振器的具體設(shè)計(jì)時(shí)必須犧牲承載能力而適當(dāng)減小活塞半徑R。這樣可以增加回復(fù)力的大小，使負(fù)載、活塞和擺桿等的水平位移能更快地減小，雖然也會(huì)增加加速活塞偏轉(zhuǎn)的力矩大小，但增加了回復(fù)力的大小更為重要。

(3)降低負(fù)載的重心高度。負(fù)載一定的情況下，負(fù)載在活塞轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量與其重心高度的平方成正比，降低負(fù)載的重心高度可減小負(fù)載轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的大小，從而使負(fù)載、活塞和倒擺在初始平衡位置處更加穩(wěn)定。

5 結(jié) 論

本文全面分析了空氣彈簧隔振器各個(gè)結(jié)構(gòu)參數(shù)對(duì)倒擺穩(wěn)定性的影響，得到了回復(fù)力和回復(fù)力矩的數(shù)學(xué)模型，通過(guò)對(duì)該模型進(jìn)行實(shí)例和仿真分析發(fā)現(xiàn)回復(fù)力和回復(fù)力矩主要與倒擺擺長(zhǎng)h和上活塞半徑R有關(guān)。一方面，可適當(dāng)減小倒擺擺長(zhǎng)和上活塞半徑來(lái)增加回復(fù)力的大小，增強(qiáng)倒擺的穩(wěn)定性；另一方面，可適當(dāng)降低負(fù)載的重心高度來(lái)降低負(fù)載在活塞轉(zhuǎn)動(dòng)支點(diǎn)處的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量大小，使倒擺在平衡位置處更加穩(wěn)定。

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