基于Donnell-Mushtari理論的彈性基礎(chǔ)薄壁圓柱殼的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)研究

楊永寶， 危銀濤， 李雪冰， 張新月

(1.清華大學(xué) 汽車安全與節(jié)能國家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室，北京 100084； 2. 燕山大學(xué) 車輛與能源學(xué)院，秦皇島 066004)

薄壁圓柱殼作為一種簡單、高效的結(jié)構(gòu)在各工程領(lǐng)域均得到廣泛應(yīng)用，如常見的輪胎、油罐、飛機(jī)、潛艇等具體部件。但類似結(jié)構(gòu)在受到外界復(fù)雜激勵(lì)作用后易出現(xiàn)失穩(wěn)等現(xiàn)象而影響正常工作，故薄壁圓柱殼動(dòng)力學(xué)特性的研究對此類結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)和分析有重要工程意義。

有關(guān)文獻(xiàn)十分豐富，尤其是針對簡支、固支等經(jīng)典邊界條件下圓柱殼固有振動(dòng)特性的研究[1-8]。Leissa[9]在著名的殼振動(dòng)理論一書中對數(shù)量眾多的文獻(xiàn)進(jìn)行了綜述，系統(tǒng)總結(jié)了常見殼理論及不同類型殼的自由振動(dòng)問題。許多學(xué)者基于不同殼理論對經(jīng)典邊界條件下圓柱殼的振動(dòng)響應(yīng)進(jìn)行了針對性研究。Sheng等[10-11]分別基于Donnell理論與Novozhilov殼體理論對簡支條件下的各向同性圓柱殼響應(yīng)問題進(jìn)行研究。Christoforou等[12]針對簡支條件下的正交各向異性圓柱殼受到徑向沖擊后的響應(yīng)問題展開研究。Jafari等[13]基于love殼理論對復(fù)合材料圓柱殼的自由和強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)展開研究，邊界條件為固支-自由邊界。馬旭等[14]在波傳播分析方法基礎(chǔ)上，采用改進(jìn)傅里葉級(jí)數(shù)的方法給出了兩端彈性基礎(chǔ)上的圓柱殼在任意徑向點(diǎn)力激勵(lì)下的振動(dòng)響應(yīng)，實(shí)質(zhì)是用梁彎曲振動(dòng)模態(tài)振型來近似柱殼軸向振型以實(shí)現(xiàn)圓柱殼振動(dòng)在周向與軸向的解耦，在某些情況下誤差較大。還有許多類似研究[15-18]，但主要是簡支等經(jīng)典邊界條件下圓柱殼的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)研究，而針對兩端彈性邊界條件下薄壁圓柱殼(以下簡稱彈性基礎(chǔ)圓柱殼)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的求解研究尚比較欠缺，有關(guān)研究還存在誤差較大等問題。

本文針對彈性基礎(chǔ)上有徑向預(yù)壓力作用的圓柱殼展開研究?；诮?jīng)典的Donnell-Mushtari柱殼理論，對圓柱殼的固有振動(dòng)特性進(jìn)行分析，求得諧波激勵(lì)作用下的強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，并針對所取基礎(chǔ)模態(tài)數(shù)量及阻尼系數(shù)大小對于薄壁圓柱殼穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響進(jìn)行了討論研究。

1 固有振動(dòng)特性

薄壁圓柱殼模型如圖1所示，建立柱坐標(biāo)系(x,θ,r)，x,θ,r分別為其軸向、周向和徑向的坐標(biāo)軸，u,v,w分別為柱殼中面上任一點(diǎn)的軸向、周向和徑向位移，圓柱殼的長度為L，平均半徑為R，厚度為h。在圓柱殼的兩端均布相應(yīng)的軸向、周向、徑向和扭轉(zhuǎn)方向的彈簧，剛度分別為ku,kv,kw,kφ。

圖1 圓柱殼及相應(yīng)的坐標(biāo)系示意圖Fig.1 Cylindrical shell and coordinate systems

柱殼自由振動(dòng)控制方程為

(1)

式中：L(u,v,w)為相應(yīng)的微分算子。

基于經(jīng)典的Donnell-Mushtari柱殼理論，考慮在圓柱殼內(nèi)壁上沿徑向均勻分布的初始內(nèi)壓力P0，得到自由振動(dòng)微分方程為

(2)

(3)

(4)

其中，

(5)

假設(shè)圓柱殼的位移表達(dá)式為

(6)

將上述位移表達(dá)式(6)代入振動(dòng)微分方程式(2)～式(4)中，可得表達(dá)式

(7)

若式(7)有非零解，則左側(cè)矩陣行列式結(jié)果為零。整理可得到關(guān)于λ的8次特征方程為

λ8+g3λ6+g2λ4+g1λ2+g0=0

(8)

其中，

(9)

(10)

式中：n為周向波數(shù)；ω為圓頻率；Ω為無量綱頻率參數(shù)。

特征方程式(8)是一個(gè)與軸向波數(shù)有關(guān)的無量綱參數(shù)λ的8次方程，有正負(fù)兩組共8個(gè)解λi(i=1, 2, …, 8)，解的可能形式有實(shí)數(shù)、虛數(shù)和復(fù)數(shù)三種，λi為純實(shí)數(shù)時(shí)代表軸向的傳播波，λi為純虛數(shù)時(shí)為軸向的近場波，λi為復(fù)數(shù)時(shí)代表沿軸向衰減的傳播波[19]。特征方程式(8)，隨著參數(shù)的變化，會(huì)出現(xiàn)不同類型的根值，理論上共有九種不同組合形式的根值，而不應(yīng)簡單的直接假設(shè)為某些特定類型，如一對純實(shí)根、一對純虛根和兩對復(fù)根，否則可能會(huì)出現(xiàn)漏解問題。本文充分考慮了這一點(diǎn)，避免了類似問題產(chǎn)生，同時(shí)得到精確解。

基于特征方程式(8)得到根值表達(dá)式，代入方程式(7)，求得振幅比系數(shù)ηi和εi

(11)

進(jìn)而將3個(gè)方向的位移表達(dá)式寫出

(12)

對不同的邊界條件，薄壁圓柱殼的位移和內(nèi)力等將對應(yīng)滿足不同的條件。

對兩端彈簧支撐邊界條件下的薄壁圓柱殼，當(dāng)x=-L/2時(shí)，滿足

(13)

當(dāng)x=L/2時(shí)，滿足

(14)

式(13)和式(14)中，

(15)

將式(12)代入式(13)和式(14)中，整理之后得到關(guān)于C1～C8的八元齊次代數(shù)方程組，若方程組存在相應(yīng)的非零解，則系數(shù)行列式結(jié)果為0，可求得薄壁圓柱殼的固有頻率及對應(yīng)的模態(tài)振型。

求解過程沒有進(jìn)行做任何近似，因此計(jì)算所得結(jié)果是基于Donnell-Mushtari理論所得到的最精確計(jì)算結(jié)果。

2 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

為簡化相應(yīng)表達(dá)式和計(jì)算過程，求解穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，不考慮圓柱殼內(nèi)部壓力的影響。

在外載荷激勵(lì)作用下，薄壁圓柱殼滿足下列動(dòng)力學(xué)方程

(16)

上述動(dòng)力學(xué)方程的解可設(shè)為

(17)

將以上解代入外載荷作用下的動(dòng)力學(xué)方程中，可得

(18)

(19)

因此，整理式(18)、式(19)后可得到

(20)

(21)

其中，對應(yīng)廣義力Fmn(t)為

(22)

對應(yīng)的廣義質(zhì)量Mmn為

(23)

利用二階微分方程式(21)，求解得到每階模態(tài)所對應(yīng)的Tmn(t)值，然后將結(jié)果代入式(17)，即可求得相應(yīng)的強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)結(jié)果。

若作用在u、v方向的激勵(lì)力為0，w方向的激勵(lì)力fw為

fw=f0eiωtδ(θ-θ*)δ(x-x*)

(24)

則，對應(yīng)的廣義力為

(25)

有關(guān)Tmn(t)的二階微分方程則變?yōu)?m,n指相對應(yīng)的模態(tài)階次)

(26)

將每階模態(tài)所對應(yīng)的廣義力和廣義質(zhì)量等代入式(26)，求得各階模態(tài)所對應(yīng)的Tmn(t)，并將所得結(jié)果代回式(17)中，求得強(qiáng)迫振動(dòng)響應(yīng)。

基于式(26)可求得Tmn(t)

(27)

若激勵(lì)力為正弦波信號(hào)f0sin(ωt)，初始條件為0，則模態(tài)坐標(biāo)通解取式(27)的虛部，為

(28)

(29)

3 算例分析

3.1 與文獻(xiàn)中結(jié)果的對比

為驗(yàn)證本文理論計(jì)算方法的準(zhǔn)確性，本節(jié)針對兩個(gè)經(jīng)典算例，將本文計(jì)算方法所得結(jié)果與有關(guān)文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)進(jìn)行對照，如表1和表2所示。其中，Karczub中的計(jì)算結(jié)果基于Flügge經(jīng)典薄殼理論得到，文獻(xiàn)[20]采用的是有限元分析方法，Li采用了波傳播方法。

表2給出了通過本文計(jì)算方法得到的固有頻率結(jié)果及有關(guān)文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)，對比結(jié)果顯示，本文方法的計(jì)算誤差較小，結(jié)果準(zhǔn)確。

表1 簡支但有軸向位移約束的邊界條件下， 基于本方法所得結(jié)果與有關(guān)文獻(xiàn)所得結(jié)果的對比

表2 固有頻率的理論計(jì)算結(jié)果與文獻(xiàn)中結(jié)果對照

3.2 參數(shù)分析

為分析不同周向波數(shù)和軸向半波數(shù)與圓柱殼固有頻率的關(guān)系，分別采用有限元方法和本文方法進(jìn)行算例分析，模型參數(shù)為：R=0.5 m,h=0.01 m,L=4 m,E=1.5×1011Pa,μ=0.3,ρ=7 000 kg/m3，圓柱殼兩端的徑向均布彈簧的剛度kw=1 000 N/m, 內(nèi)壓力P0=0。 其余彈簧剛度為0，得到結(jié)果如圖2所示。

圖2 波數(shù)與薄壁圓柱殼固有頻率間的關(guān)系Fig.2 Correlation between wave number and free vibration frequency of thin-walled cylindrical shell

從圖2可得以下幾點(diǎn)結(jié)論：本文計(jì)算得到的薄壁圓柱殼固有頻率與有限元方法計(jì)算得到的結(jié)果比較一致；隨著軸向半波數(shù)的增加，圓柱殼的固有頻率總體呈增大趨勢；而在不同的軸向半波數(shù)下，周向波數(shù)與固有頻率間的關(guān)系總體上也是一致的，隨n值的增加先降低而后升高，且變化趨勢隨軸向半波數(shù)的變化而略有不同。

4 穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的計(jì)算和討論

基于本文方法可對任意邊界條件的下的薄壁圓柱殼進(jìn)行自由振動(dòng)頻率和穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的計(jì)算，本文以徑向簡單支撐彈簧邊界條件為例進(jìn)行計(jì)算和討論。有關(guān)參數(shù)同4.2節(jié)的算例。

4.1 諧波激勵(lì)下的柱殼穩(wěn)態(tài)響應(yīng)

設(shè)外力作用在薄壁圓柱殼的(L/2,0)位置處，激勵(lì)為fsin(ωt),f=1 N。

利用本文方法，首先基于圓柱殼的有關(guān)參數(shù)計(jì)算得到前25階固有頻率及對應(yīng)模態(tài)振型，之后基于模態(tài)數(shù)據(jù)進(jìn)行疊加計(jì)算，得到穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅頻曲線，如圖3所示。

圖3 圓柱殼穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅頻曲線Fig.3 Amplitude-frequency response curve of cylindrical shell

從圖3可看出，在最低階次模態(tài)所對應(yīng)的58.76 Hz頻率處，出現(xiàn)了最大的徑向位移響應(yīng)。而后，隨著頻率的增加，徑向位移響應(yīng)總體上呈降低趨勢。某些階次模態(tài)所對應(yīng)的徑向位移較小，因此未在幅頻曲線中顯著體現(xiàn)。

4.2 所用模態(tài)數(shù)量的影響

計(jì)算圓薄壁圓柱殼的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，模態(tài)截?cái)鄶?shù)量對于穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的計(jì)算會(huì)產(chǎn)生影響。為分析這種影響，分別使用前6階、12階及25階模態(tài)來計(jì)算薄壁圓柱殼在諧波激勵(lì)下的徑向位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)，得到如圖4～圖6所示結(jié)果。

觀察圖4～圖6圓柱殼穩(wěn)態(tài)徑向位移響圖不難發(fā)現(xiàn)，對于前幾階振動(dòng)模態(tài)，選擇使用前6階模態(tài)、12階模態(tài)及25階基礎(chǔ)模態(tài)疊加計(jì)算所得徑向響應(yīng)位移值的變化幅度很小。即對于兩端彈簧支撐條件下受到徑向諧波激勵(lì)時(shí)的薄壁圓柱殼的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)求解問題，采用數(shù)量較少的基礎(chǔ)模態(tài)也可滿足基本精度要求。對本文算例，只需要前6階基礎(chǔ)模態(tài)數(shù)據(jù)即可實(shí)現(xiàn)很小的計(jì)算誤差，以圖6結(jié)果為基準(zhǔn)，計(jì)算得到的第一階模態(tài)所對應(yīng)的徑向位移誤差僅為0.37%。

圖4 基于前6階模態(tài)疊加計(jì)算得到的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅頻曲線Fig.4 Amplitude-frequency curve of steady-state response based on the superposition of first six modes

圖5 基于前12階模態(tài)疊加計(jì)算得到的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅頻曲線Fig.5 Amplitude-frequency curve of steady-state response based on the superposition of first twelve modes

圖6 基于前25階模態(tài)疊加計(jì)算得到的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅頻曲線Fig.6 Amplitude-frequency curve of steady-state response based on the superposition of first twenty-five modes

4.3 阻尼系數(shù)的影響

在計(jì)算圓柱殼的位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)時(shí)，須計(jì)入阻尼的影響，為分析阻尼系數(shù)對于圓柱殼位移穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響，基于計(jì)算得到的前25階模態(tài)數(shù)據(jù)，分別求解阻尼因子為0.005、0.010、0.015條件下的圓柱殼的徑向位移響應(yīng)，得到如圖7所示的幅頻特性曲線。

從圖7不難看出，阻尼對薄壁圓柱殼的穩(wěn)態(tài)位移響應(yīng)影響顯著，隨著阻尼因子的增加，圓柱殼的徑向位移響應(yīng)出現(xiàn)顯著的減小。在較高頻段，幅頻曲線變得平滑，沒有了明顯峰值。

圖7 三種不同阻尼因子條件下的薄壁圓柱殼徑向位移幅頻響應(yīng)Fig.7 Amplitude-frequency curve of radial displacements of thin-walled cylindrical shell for three different damping factors

6 結(jié) 論

本文基于經(jīng)典的Donnell-Mushtari圓柱殼振動(dòng)理論，得到了考慮初始內(nèi)壓力的彈性基礎(chǔ)上薄壁圓柱殼的固有頻率及強(qiáng)迫振動(dòng)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的計(jì)算公式。主要結(jié)論可歸納如下：

(1)本文方法計(jì)算所得結(jié)果與有關(guān)文獻(xiàn)中的數(shù)據(jù)結(jié)果相比較，誤差較小，精度較高。

(2)基于本文算例，較少數(shù)量的模態(tài)疊加即可實(shí)現(xiàn)較為精確的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)計(jì)算。即選擇適當(dāng)數(shù)量的基礎(chǔ)模態(tài)用于薄壁圓柱殼穩(wěn)態(tài)響應(yīng)疊加計(jì)算，可在保證精度的情況下提高計(jì)算效率。

(3)基于本文算例，阻尼因子對于薄壁圓柱殼穩(wěn)態(tài)響應(yīng)的影響較大，當(dāng)阻尼因子增大時(shí)，柱殼的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)將顯著減小，穩(wěn)態(tài)響應(yīng)幅頻曲線的部分峰值變得不明顯。

(4)本文方法不僅可針對一般的彈性基礎(chǔ)邊界條件下的薄壁圓柱殼的自由振動(dòng)及諧波激勵(lì)穩(wěn)態(tài)響應(yīng)進(jìn)行求解，還可用于解決其他各種邊界條件下的薄壁圓柱殼的振動(dòng)特性問題。

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