考慮重力影響的壓電懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)動(dòng)力學(xué)特性研究

楊倩倩， 劉麗蘭

(西安理工大學(xué) 機(jī)械與精密儀器工程學(xué)院，西安 710048)

近年來(lái)隨著微電子技術(shù)的發(fā)展，傳感器的低功耗運(yùn)行成為可能，從而也促進(jìn)了傳感器自供電技術(shù)的快速發(fā)展[1-2]，收集環(huán)境振動(dòng)能量并轉(zhuǎn)化為電能已成為一種趨勢(shì)[3]。壓電發(fā)電因其結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單、清潔環(huán)保、易于實(shí)現(xiàn)微小化等優(yōu)點(diǎn)越來(lái)越廣泛地受到大家的關(guān)注[4-6]。

由于大多數(shù)實(shí)際振動(dòng)環(huán)境是隨機(jī)、多頻、時(shí)變的，而線(xiàn)性系統(tǒng)的共振頻帶非常窄[7-8]。在非線(xiàn)性系統(tǒng)中，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)具有較寬的響應(yīng)頻帶，并可以在周期或隨機(jī)激勵(lì)下產(chǎn)生大幅運(yùn)動(dòng)或混沌運(yùn)動(dòng)，顯著增加發(fā)電能力，所以非線(xiàn)性雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)越來(lái)越受到研究者的注意[9-11]。Erturk等[12]使用數(shù)值積分法比較了雙穩(wěn)態(tài)壓電收集系統(tǒng)中模擬數(shù)據(jù)和測(cè)量數(shù)據(jù)的線(xiàn)性相似性，并發(fā)現(xiàn)了在寬頻范圍內(nèi)，雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)較線(xiàn)性系統(tǒng)可以產(chǎn)生較高的輸出功率。Stanton等[13]應(yīng)用諧波平衡法分析預(yù)測(cè)了參數(shù)變化對(duì)雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)穩(wěn)定性的影響，并采用數(shù)值模擬和實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證的方式對(duì)雙穩(wěn)態(tài)壓電發(fā)電系統(tǒng)進(jìn)行了分析，為此后實(shí)驗(yàn)的操作提供了理論上的依據(jù)。Guo等[14]使用哈密頓原理建立了雙穩(wěn)態(tài)壓電懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)的壓電—磁—彈性耦合的分布參數(shù)模型，研究了磁體間距對(duì)于系統(tǒng)靜態(tài)分岔特性的影響，以及不同外部激勵(lì)對(duì)電輸出特性的影響。Singh等[15]提出了雙穩(wěn)態(tài)傳感器的精確模型，即在非線(xiàn)性提取電路中使用同步電荷提取(Synchronous Charge Extraction， SCE)和電感器上的并行同步開(kāi)關(guān)采集(Synchronized Switch Harvesting on Inductor， SSHI)，可以顯著提高俘能效率。

在壓電發(fā)電系統(tǒng)方面雖然出現(xiàn)了大量研究成果，但上述研究多假設(shè)在理想實(shí)驗(yàn)條件下，未考慮重力對(duì)系統(tǒng)的影響。鑒于此，本文建立了考慮重力影響的壓電懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)的力學(xué)模型，研究了簡(jiǎn)諧和白噪聲激勵(lì)下，重力對(duì)系統(tǒng)輸出功率的影響規(guī)律，并結(jié)合半功率帶寬法，首次提出了白噪聲激勵(lì)下重力最小影響區(qū)間的確定方法。

1 壓電懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)模型

圖1 壓電懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)圖Fig.1 Structure diagram of piezoelectric cantilever beam power generation system

根據(jù)圖1，得到壓電懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)的力學(xué)模型，如圖2所示。

圖2 壓電懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)的力學(xué)模型Fig.2 Mechanical model of piezoelectric cantileverbeam power generation system

圖3 壓電懸臂梁電路分析等效模型Fig.3 Equivalent model of circuit analysis for piezoelectric cantilever beam

根據(jù)圖2和圖3，得到系統(tǒng)的控制方程和電學(xué)方程為

(1)

式中：X為質(zhì)量塊的相對(duì)位移；Fr為磁力函數(shù)在平行于yz平面且垂直于H方向的分量；k為懸臂梁的彈性系數(shù)。

(2)

其中，

ζ=c/(2mv)
a=(3μ0MBVBMAVA)/(2πkd4l)-1
b=3μ0MBVBMAVAl(1/l2+5/d2)/(2πkd4)
γ=mg/(kl),p=mA/(kl)
μ=1/(RLCpv), ?=kcl/(Cpe)
ω=w/v

(3)

且MA,MB分別為磁鐵A和B的磁化強(qiáng)度；VA,VB分別為磁鐵A和B的體積；μ0=4π×10-7H/m 為真空磁導(dǎo)率；d為兩磁鐵中心之間的水平距離；l為磁鐵A中心到梁根部的距離；kc，kV分別為與電壓相關(guān)的耦合系數(shù)和電壓耦合系數(shù)。

2 勢(shì)能函數(shù)

根據(jù)無(wú)量綱方程式(2)可知

dU/dx=-ax+bx3+γsinβ

(4)

得出系統(tǒng)勢(shì)能函數(shù)為

(5)

參數(shù)取a=9.6,b=2,γ=5, 勢(shì)能函數(shù)隨著偏轉(zhuǎn)角度β變化的三維曲面圖如圖4所示。

圖4 勢(shì)能函數(shù)隨偏轉(zhuǎn)角度變化三維圖Fig.4 The potential function changes with the deflection angle

從圖4中可以看出，勢(shì)能函數(shù)在x<0和x>0部分變化趨勢(shì)正好相反。當(dāng)x<0時(shí)，曲面隨著β的增大呈現(xiàn)下降趨勢(shì)，而當(dāng)x>0時(shí)，曲面隨著β的增大呈現(xiàn)上升的趨勢(shì)。

為方便研究勢(shì)能函數(shù)不對(duì)稱(chēng)性規(guī)律，分別取β為-π/3，-π/6，0，π/6，π/3。不同β下勢(shì)能函數(shù)隨著相對(duì)位移x的變化情況如圖5所示。

圖5 偏轉(zhuǎn)角度β對(duì)勢(shì)能函數(shù)的影響Fig.5 Influence of deflection angle β on potential energy function

從圖5可以看出，當(dāng)β=0時(shí)，即不考慮重力的情況下，勢(shì)能函數(shù)為對(duì)稱(chēng)狀態(tài)。隨著β的變化，勢(shì)能函數(shù)曲線(xiàn)呈現(xiàn)出不同的非對(duì)稱(chēng)狀態(tài)，但勢(shì)壘仍在x=0點(diǎn)。當(dāng)β從0增大到π/3時(shí)，左側(cè)勢(shì)阱變深，右側(cè)變淺，從0減小到-π/3時(shí)情況正好相反，即隨著的逐漸增大，左側(cè)勢(shì)阱變淺，右側(cè)勢(shì)阱變深。

3 數(shù)值仿真

3.1 簡(jiǎn)諧激勵(lì)

3.1.1 相圖和頻譜圖

圖6 ω=0.2時(shí)的相圖和頻譜圖Fig.6 The phase diagrams and spectrums of ω=0.2

圖7 ω=0.5時(shí)的相圖和頻譜圖Fig.7 The phase diagrams and spectrums of ω=0.5

圖8 ω=0.8時(shí)的相圖和頻譜圖Fig.8 The phase diagrams and spectrums of ω=0.8

圖9 ω=1.2時(shí)的相圖和頻譜圖Fig.9 The phase diagrams and spectrums of ω=1.2

圖10 ω=1.5時(shí)的相圖和頻譜圖Fig.10 The phase diagrams and spectrums of ω=1.5

圖11 ω=1.8時(shí)的相圖和頻譜圖Fig.11 The phase diagrams and spectrums of ω=1.8

圖6中ω=0.2時(shí)，β在[-π/3, π/3]內(nèi)系統(tǒng)均可以跨越勢(shì)壘做大幅混沌運(yùn)動(dòng)。逐漸增大激勵(lì)頻率，如圖7所示，當(dāng)ω=0.5時(shí)，系統(tǒng)在β=-π/3和π/3時(shí)變?yōu)樾》\(yùn)動(dòng)，在β=-π/6，π/6和0時(shí)仍做大幅運(yùn)動(dòng)。當(dāng)ω增大到0.8時(shí)，系統(tǒng)在β=0變?yōu)榇蠓芷谶\(yùn)動(dòng)，其余角度運(yùn)動(dòng)狀態(tài)不變，如圖8所示。繼續(xù)增大ω，當(dāng)ω=1.2時(shí)，系統(tǒng)在β∈[-π/3, π/3]范圍內(nèi)均做大幅周期運(yùn)動(dòng)，如圖9所示。當(dāng)激勵(lì)頻率ω增大到1.5時(shí)，系統(tǒng)在β=0時(shí)為小幅周期運(yùn)動(dòng)，在β=-π/6和π/6時(shí)產(chǎn)生兩倍亞諧共振，而在β=-π/3和π/3時(shí)仍為大幅周期運(yùn)動(dòng)，如圖10所示。繼續(xù)增大激勵(lì)頻率，當(dāng)ω=1.8時(shí)，系統(tǒng)在β=-π/6，π/6和0時(shí)做兩倍亞諧共振，在β=-π/3和π/3時(shí)為小幅周期運(yùn)動(dòng)，如圖11所示。

從圖6～圖11可以看出，當(dāng)偏轉(zhuǎn)角度β=0時(shí)，隨著外部激勵(lì)頻率的增加，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程為：混沌運(yùn)動(dòng)-大幅周期運(yùn)動(dòng)-小幅周期運(yùn)動(dòng)-兩倍亞諧共振。在β=-π/6，π/6時(shí)，系統(tǒng)運(yùn)動(dòng)狀態(tài)變化過(guò)程為：混沌運(yùn)動(dòng)-大幅周期運(yùn)動(dòng)-兩倍亞諧共振。在β=-π/3和π/3時(shí)，系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)變化過(guò)程為：混沌運(yùn)動(dòng)-小幅運(yùn)動(dòng)-大幅周期運(yùn)動(dòng)-小幅周期運(yùn)動(dòng)。所以重力的影響會(huì)導(dǎo)致系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)發(fā)生變化，且重力不同，對(duì)系統(tǒng)狀態(tài)的影響也不同。

綜合上述可以看出：①當(dāng)激勵(lì)頻率小于1.2時(shí)，重力對(duì)系統(tǒng)的大幅運(yùn)動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生了較大影響，由大幅周期運(yùn)動(dòng)變成了某個(gè)平衡點(diǎn)上的小幅周期或者小幅混沌運(yùn)動(dòng)；②當(dāng)外部頻率增大到1.5和1.8時(shí)，重力的影響反而有利于系統(tǒng)產(chǎn)生大幅運(yùn)動(dòng)，如在1.5時(shí)，β在-π/3和π/3兩個(gè)角度下系統(tǒng)產(chǎn)生了大幅周期運(yùn)動(dòng)，此時(shí)不受重力影響的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)反而出現(xiàn)了小幅周期運(yùn)動(dòng)。在外部激勵(lì)頻率為1.8時(shí)，不管是系統(tǒng)是否受重力影響，雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)均表現(xiàn)為小幅周期運(yùn)動(dòng)，但受重力影響的雙穩(wěn)態(tài)系統(tǒng)的小幅周期運(yùn)動(dòng)幅值也大于不受重力影響的系統(tǒng)的響應(yīng)幅值。

3.1.2 輸出功率

由于壓電懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)主要收集環(huán)境中的機(jī)械振動(dòng)，并將其轉(zhuǎn)化為電能[16-17]。研究系統(tǒng)輸出功率可以更方便地了解系統(tǒng)的發(fā)電性能，并通過(guò)結(jié)合時(shí)域圖、相圖和頻譜圖等，可以更全面地對(duì)系統(tǒng)響應(yīng)進(jìn)行分析。系統(tǒng)的輸出功率可以用P=μ·v2來(lái)表示。圖12(a)給出了不同外部激勵(lì)頻率和β角下，運(yùn)動(dòng)懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)的輸出功率。

為了更方便研究重力對(duì)發(fā)電功率的影響程度，設(shè)重力影響因子ψ=(Pβ-P0)/P0，其中Pβ為某一激勵(lì)頻率下β所對(duì)應(yīng)的輸出功率，P0為β=0時(shí)所對(duì)應(yīng)的輸出功率。結(jié)合圖12(a)并通過(guò)計(jì)算分析，當(dāng)ω從0.2增大到1.8時(shí)，β所對(duì)應(yīng)的影響因子如圖12(b)所示。由于圖12(a)中不同激勵(lì)頻率下的系統(tǒng)輸出功率關(guān)于β=0大體呈對(duì)稱(chēng)狀態(tài)，所以圖12(b)僅給出了β∈[-π/2, 0]時(shí)的重力影響因子變化情況。

圖12 不同激勵(lì)頻率下的平均輸出功率和重力影響因子Fig.12 Average output power and gravity influence factor under different ω

從圖12(b)中可以看出，當(dāng)ω(0.2≤ω≤1.8)取某一固定值時(shí)，隨著|β|的增大，|ψ|也隨之增大，即偏轉(zhuǎn)角度越大，重力對(duì)系統(tǒng)輸出功率的影響越大。

當(dāng)0.2≤ω≤1.2時(shí)，ψ≤0，重力對(duì)輸出功率表現(xiàn)為削弱作用，結(jié)合圖12(a)可以看出，當(dāng)ω從0.2逐漸增大到1.2時(shí)，系統(tǒng)輸出功率大體呈現(xiàn)上升趨勢(shì)，即在低頻環(huán)境下，激勵(lì)頻率越大，系統(tǒng)發(fā)電性能越好，且隨著ω的增大，某一偏轉(zhuǎn)角度β所對(duì)應(yīng)的|ψ|越小，即激勵(lì)頻率的增大也會(huì)削弱重力對(duì)系統(tǒng)輸出功率的影響。

當(dāng)β∈[-π/4, π/4]時(shí)，在ω從1.2增大到1.8的過(guò)程中，系統(tǒng)的輸出功率大體呈現(xiàn)減小趨勢(shì)，且系統(tǒng)在無(wú)重力影響即β=0時(shí)遞減最快。當(dāng)系統(tǒng)有重力影響即β≠0時(shí)遞減較慢，且重力影響越大，輸出功率遞減相對(duì)越慢。所以當(dāng)系統(tǒng)的激勵(lì)頻率足夠大時(shí)，隨著激勵(lì)頻率的增大，系統(tǒng)輸出功率逐漸減小，重力的作用會(huì)使這種減弱趨勢(shì)變慢。

綜上所述，系統(tǒng)在低頻激勵(lì)下，發(fā)電功率隨著激勵(lì)頻率的增大而增大，重力的影響會(huì)減弱系統(tǒng)的發(fā)電功率。但是當(dāng)激勵(lì)頻率足夠大時(shí)，系統(tǒng)的發(fā)電功率隨著激勵(lì)頻率的增大而減小，重力的影響會(huì)使系統(tǒng)的發(fā)電功率下降較慢。

3.2 高斯白噪聲激勵(lì)

圖13 模擬的高斯白噪聲信號(hào)Fig.13 Simulation of Gaussian white noise signal

參照簡(jiǎn)諧激勵(lì)下系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)模型，高斯白噪聲下動(dòng)力學(xué)模型的無(wú)量綱方程可寫(xiě)為

圖14 不同噪聲強(qiáng)度下的平均功率圖Fig.14 Average power at different noise intensities

從圖14可以看出，噪聲強(qiáng)度很小時(shí)，系統(tǒng)的發(fā)電能力很微弱，且平均輸出功率幾乎不受β影響。隨著噪聲強(qiáng)度的不斷增大，系統(tǒng)得到的能量也不斷增大，平均功率越來(lái)越大，且在β=0附近的一個(gè)范圍內(nèi)達(dá)到最大。根據(jù)能量守恒可知，外部激勵(lì)給系統(tǒng)傳遞能量時(shí)，一部分能量需要克服重力做功，故系統(tǒng)的平均功率會(huì)變小，發(fā)電能力變?nèi)酢?/p>

為了說(shuō)明問(wèn)題方便，分別選取D為0.2，0.5，0.7，1.0時(shí)平均輸出功率隨著偏轉(zhuǎn)角度的變化的二維關(guān)系曲線(xiàn)，如圖15所示。

圖15 不同噪聲強(qiáng)度下的功率曲線(xiàn)Fig.15 Power curve at different noise intensity

從圖15可以看出，隨著噪聲強(qiáng)度D的增加，系統(tǒng)總體的輸出功率也在增大。在β=0時(shí)，即不考慮重力的影響時(shí)，系統(tǒng)的平均輸出功率最大；β≠0時(shí)系統(tǒng)的輸出功率小于β=0時(shí)，且隨著|β|的增大，輸出功率也越小。

雖然重力對(duì)系統(tǒng)的輸出功率有影響，但在一定的影響范圍內(nèi)系統(tǒng)仍具有良好的發(fā)電性能，仍可以被接受。為了確定不同噪聲強(qiáng)度下可接受的輸出功率，本

為了檢驗(yàn)所提出半功率法確定最小影響區(qū)間的有效性，圖15～圖18分別給出了當(dāng)D為0.2，0.5，0.7，1.0時(shí)最小影響區(qū)間上兩個(gè)極限端點(diǎn)和零值時(shí)系統(tǒng)的位移時(shí)域圖和相圖。

從圖16可以看出，在噪聲強(qiáng)度很小時(shí)，例如D=0.2時(shí)，系統(tǒng)在任何偏轉(zhuǎn)角度下均只做小幅運(yùn)動(dòng)。當(dāng)噪聲強(qiáng)度足夠大時(shí)(例如當(dāng)D=0.5，0.7和1.0時(shí))，如圖17～圖19所示，在不同的噪聲強(qiáng)度下，在可接受區(qū)域的兩個(gè)端點(diǎn)(即此范圍內(nèi)重力影響最大的兩個(gè)位置)，壓電懸臂梁系統(tǒng)在兩個(gè)平衡點(diǎn)間仍然保持大幅混沌運(yùn)動(dòng)，輸出較大功率，但平衡點(diǎn)上混沌運(yùn)動(dòng)的振幅出現(xiàn)了大小不等，也反映出重力的確對(duì)系統(tǒng)的大幅運(yùn)動(dòng)振幅存在影響。

圖16 D=0.2時(shí)系統(tǒng)分別在最小影響區(qū)間左端點(diǎn)、零點(diǎn)和右端點(diǎn)時(shí)的位移時(shí)域圖和相圖Fig.16 The time-domain and phase diagrams of the system at the left end point, zero point and right end point of the minimum influence interval when D=0.2

圖17 D=0.5時(shí)時(shí)系統(tǒng)分別在可接受區(qū)左端點(diǎn)、零點(diǎn)和右端點(diǎn)時(shí)的位移時(shí)域圖和相圖Fig.17 The time-domain and phase diagrams of the system at the left end point, zero point and right end point of the minimum influence interval when D=0.5

圖18 D=0.7時(shí)時(shí)系統(tǒng)分別在可接受區(qū)左端點(diǎn)、零點(diǎn)和右端點(diǎn)時(shí)的位移時(shí)域圖和相圖Fig.18 The time-domain and phase diagrams of the system at the left end point, zero point and right end point of the minimum influence interval when D=0.7

圖19 D=1.0時(shí)時(shí)系統(tǒng)分別在可接受區(qū)左端點(diǎn)、零點(diǎn)和右端點(diǎn)時(shí)的位移時(shí)域圖和相圖Fig.19 The time-domain and phase diagrams of the system at the left end point, zero point and right end point of the minimum influence interval when D=1.0

4 結(jié) 論

本文建立了考慮重力影響的壓電懸臂梁發(fā)電系統(tǒng)的力學(xué)模型及其控制方程。從數(shù)值仿真的角度分別研究了在簡(jiǎn)諧激勵(lì)和隨機(jī)激勵(lì)下重力對(duì)系統(tǒng)的動(dòng)力學(xué)特性和發(fā)電功率的影響。主要結(jié)論如下：

(1)重力的影響會(huì)使系統(tǒng)的勢(shì)能函數(shù)出現(xiàn)不對(duì)稱(chēng)性，當(dāng)β從0增大到π/3時(shí)，左側(cè)勢(shì)阱變深，右側(cè)變淺，從0減小到-π/3時(shí)情況正好相反，即隨著β的逐漸增大，左側(cè)勢(shì)阱變深，右側(cè)勢(shì)阱變淺。

(2)簡(jiǎn)諧激勵(lì)時(shí)，當(dāng)激勵(lì)頻率小于1.2時(shí)，重力對(duì)系統(tǒng)的大幅運(yùn)動(dòng)響應(yīng)產(chǎn)生了較大影響，由大幅周期運(yùn)動(dòng)變成了某個(gè)平衡點(diǎn)上的小幅周期或者小幅混沌運(yùn)動(dòng)，重力的影響會(huì)減弱系統(tǒng)的發(fā)電功率；當(dāng)外部頻率增大到1.5或者1.8時(shí)，重力的影響反而有利于系統(tǒng)產(chǎn)生大幅運(yùn)動(dòng)或者較大的小幅周期運(yùn)動(dòng)。

(3)白噪聲激勵(lì)時(shí)，系統(tǒng)的輸出功率隨著噪聲強(qiáng)度的增大出現(xiàn)了整體增大的趨勢(shì)，隨著|β|角度的增大，即重力影響的增大，系統(tǒng)的輸出功率出現(xiàn)了逐漸下降的趨勢(shì)。借助半功率帶寬法思想，在系統(tǒng)發(fā)電功率變化可接受的前提下，得到重力最小影響區(qū)間，獲得了偏轉(zhuǎn)角度β變化的最大可接受區(qū)間。

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