任意多個沉積谷地對平面SV波的散射

巴振寧， 陳昊維， 梁建文(. 天津大學(xué) 土木系， 天津 300072； 2. 濱海土木工程結(jié)構(gòu)與新材料教育部重點實驗室， 天津 300072)

局部地形對地震動的影響是地震工程、地球物理和地震學(xué)等領(lǐng)域中備受矚目的研究課題。沉積谷地會顯著放大地震動，如1976年唐山大地震時，天津古河道及新近沉積土內(nèi)外兩側(cè)建筑物震害尤為嚴(yán)重；2008年四川汶川特大地震中位于沉積谷地范圍內(nèi)的建筑物，其破壞程度遠(yuǎn)大于均勻平坦場地中的建筑物。鑒于許多民用建筑及重要結(jié)構(gòu)建造于盆地等沉積地形之上，研究沉積地形對地震動的放大作用在理論和工程上都有著重要的意義。

為探究沉積地形對地震動的影響機(jī)理，諸多學(xué)者針對該問題進(jìn)行了理論研究。Trifunac[1]最先給出了半圓形沉積谷地在SH波入射下散射問題解析解；之后，Wong等[2]運用其解析解研究了半橢圓沉積谷地對SH波的散射問題；Todorovska等[3-4]采用波函數(shù)展開法研究了淺圓弧沉積谷地對SH波的散射問題；梁建文等[5-7]采用波函數(shù)展開法得到了圓弧型單一沉積層的谷地對P、SV和Rayleigh波的散射解析解；在此基礎(chǔ)上，梁建文等[8-10]又利用波函數(shù)展開法給出了具有兩個沉積層的河谷場地在平面SH波、平面P波和平面SV波入射下散射問題的解析解；楊彩紅等[11]在文獻(xiàn)[8]的基礎(chǔ)上又研究了含多個圓弧狀沉積層河谷場地對平面SH波散射問題的解析解；運用Wolf理論體系[12]，梁建文等[13-14]研究了彈性層狀半空間中沉積谷地對入射平面SH和SV波的放大作用；張郁山[15-18]采用波函數(shù)展開法研究了多沉積層谷地對平面P、SV和Rayleigh波的散射。數(shù)值方法方面，Dravinski等[19-20]采用波源的方法、Kawase等[21]采用離散波數(shù)法、Sanchez-Sesma等[22]采用邊界元方法、Semblat等[23]采用模態(tài)疊加法分別討論了任意形狀沉積谷地對彈性波的散射問題。

值得指出的是，以上文獻(xiàn)均以單個沉積谷地為模型進(jìn)行研究，然而由于河道改道或河流分支等情況，實際情況中通常為多個沉積河谷同時出現(xiàn)，因此研究多個沉積對地震動的影響十分有必要。目前，針對多個沉積谷地的研究還很少，據(jù)作者所知，僅有王慧文等[24]分析了SH波入射時多個半圓形沉積谷地附近淺埋圓形孔洞的動力響應(yīng)，Chen等[25]給出了可以計算多個沉積谷地中SH波散射問題的半解析解以及呂曉棠等[26]采用復(fù)變函數(shù)法研究了SH波入射下半圓凸起與沉積谷地相連地形的地震動情況。但以上研究仍未涉及到多個沉積地形對平面P或SV波的散射問題。因此，本文在文獻(xiàn)[14]研究的基礎(chǔ)上，研究多個沉積谷地對SV波的散射問題。本文對提出的方法進(jìn)行了介紹，并以均勻半空間中多個半圓沉積地形為例，進(jìn)行了數(shù)值計算分析，討論了沉積間距和沉積數(shù)量對SV波入射下沉積附近地表位移幅值及其放大譜的影響，得到了一些有益的結(jié)論。

1 模型與計算方法

圖1 層狀半空間上多個沉積地形模型

1.1 層狀半空間自由波場計算

Q=SP-SVU

(1)

其中U為位移幅值列向量，Q是外荷載幅值列向量。

(2)

1.2 動力格林函數(shù)及散射波場求解

本文采用的格林函數(shù)是指在層狀半空間內(nèi)部作用斜線均布荷載時，在層狀半空間中任意點產(chǎn)生的位移和應(yīng)力響應(yīng)。具體求解過程詳見文獻(xiàn)[12]和文獻(xiàn)[14]。

從文獻(xiàn)[14]可知，當(dāng)點ξ=(x,z)位于斜線荷載作用層內(nèi)時，動力響應(yīng)包括荷載層內(nèi)解(特解和齊次解)和固定端面反力解，位移和牽引力可表示為

(3)

當(dāng)ξ位于其他層內(nèi)時，動力響應(yīng)僅包括固定端面反力解，位移和牽引力可表示為

(4)

式中：gu(ξ,ξl)和gt(ξ,ξl)分別為斜線均布荷載的位移和牽引力動力格林函數(shù)，表示在第l個單元(中點為ξl)作用單位均布斜線荷載時，在ξ處產(chǎn)生的位移和牽引力，上標(biāo)“p”表示固定層內(nèi)特解，上標(biāo)“h”表示固定層內(nèi)齊次解，上標(biāo)“r”表示固端反力解，k為波數(shù)。求得斜線均布荷載動力格林函數(shù)之后，則各沉積域Ωi和層狀半空間域ΩL對應(yīng)散射波場的位移和牽引力可分別表示為

(5)

(6)

1.3 邊界條件及問題求解

沉積閉合域Ωi和層狀空間域ΩL在邊界Si上位移和牽引力連續(xù)條件可表示為

(7)

式中：[W(s)]為權(quán)函數(shù)，可取為單位矩陣，使積分在每個單元上都能獨立進(jìn)行。將式(5)和(6)代入式(7)中可得

(8)

其中，

(9)

由式(8)求得虛擬分布荷載向量{p0,r0}T和{pi,ri}T(i=1，…，M)后，結(jié)合式(5)和式(6)，最后可求得各沉積域內(nèi)外的各點位移

(10)

2 方法驗證

3 算例與分析

3.1 沉積間距對地表位移幅值的影響

從圖3中可以看出，沉積間間距對位移幅值有著顯著影響，且影響又依賴于SV波的入射角度和入射頻率。整體上，波掠入射(θ=5°)時，沉積間距對位移幅值的影響相對較小，而波斜入射(θ=45°)和垂直入射(θ=90°)時，沉積間距對位移幅值影響較大，說明波以較大角度入射時，沉積間動力相互作用更為顯著；隨著頻率的逐漸增大，不同沉積間距情況對應(yīng)的位移幅值間差異減小，尤其η=2.0和3.0時，對所有入射角度，三種沉積間距對應(yīng)位移幅值均較為接近，說明隨著波入射頻率的增大(波長逐漸減小)，沉積間動力相互作用逐漸減弱。沉積間距的改變導(dǎo)致了沉積間動力相互作用機(jī)制的改變，使得位移幅值的幅值及其空間分布均隨間距改變顯著變化，且規(guī)律并非總是間距越小幅值越大，如θ=90°和η=0.5時，對應(yīng)間距L/a=6.0、8.0和10.0的豎向位移幅最大值分別為5.18、1.43和4.22。

3.2 沉積個數(shù)對地表位移幅值的影響

為研究沉積個數(shù)對沉積附近地表位移幅值的影響，本文以均勻半空間中半徑a相同且間距L也相同的半圓沉積為例，圖4給出了沉積數(shù)分別為M=1、3、5和7時，中間沉積附近地表位移幅值。定義無量綱頻率為η=ωa/πcs，間距分別為L/a=6.0。計算參數(shù)與圖3中參數(shù)相同，波的入射角度分別為θ=5°、45°和90°，無量綱頻率分別取η=0.5、1.0、2.0和3.0。

從圖4中可以看出，首先，多個沉積(M=3、5和7)與單一沉積(M=1)對應(yīng)的地表位移幅值有著顯著的差異。SV波掠入射(θ=5°且入射頻率為η=0.5時，由于前方沉積的屏障作用，使單個沉積的位移幅值大于多個沉積，而隨著頻率的增大，沉積間的動力相互作用增強(qiáng)，多個沉積的位移幅值大于單個沉積；當(dāng)SV波斜入射和垂直入射時，沉積間的動力相互作用更加明顯，多個沉積位移幅值明顯大于單個沉積。同時，也是因為沉積間的動力相互作用，造成了多個沉積地表位移幅值在中間沉積兩側(cè)的振蕩比單個沉積時劇烈，這種現(xiàn)象在頻率較高、SV波斜入射情況下尤為明顯。

對比多個沉積(M=3、5和7)之間地表位移幅值，可以發(fā)現(xiàn)，SV波斜入射時，沉積個數(shù)的改變對位移幅值的影響程度要比SV波掠入射和垂直入射時明顯，但由于沉積個數(shù)的不同使得沉積間動力相互作用更加復(fù)雜化，因而地表位移峰值的沒有固定的變化規(guī)律。同時，還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)頻率η=2.0和3.0時，沉積個數(shù)的改變對地表位移幅值的影響程度越來越小，這說明隨著頻率的升高，多個沉積間動力相互作用越來越相似。

3.3 沉積間距對地表位移幅值放大譜的影響

為進(jìn)一步研究沉積間距對沉積地表位移幅值的影響，本文以圖3的模型和參數(shù)為例，給出了SV波以不同角度入射時，中間沉積內(nèi)部的水平和豎向地表位移幅值放大譜曲線。三個觀測點分別為觀測點1(x/a=-0.5)、觀測點2(x/a=0.0)和觀測點3(x/a=0.5)，波的入射角度分別為θ=5°、45°和90°。

從圖5中可以更為清晰的看出，沉積間距的改變改變了沉積間的動力相互作用機(jī)制，使得不同間距情況對應(yīng)放大譜的峰值及峰值頻率均差異明顯。SV波掠入射時，觀測點3的位移幅值在η>1.0情況下，幅值較大且逐漸大于觀測點1和2的位移幅值，說明多個凸起情況，在頻率較大時沉積右側(cè)部分放大作用較強(qiáng)；SV波斜入射和垂直入射時，位移幅值放大譜更為復(fù)雜，振蕩也更加劇烈，沉積間表現(xiàn)出更強(qiáng)的動力相互作用，這與圖3規(guī)律一致。另外，SV波垂直入射時，由于觀測點2位于模型的對稱位置，且垂直SV相對于豎坐標(biāo)軸是反對稱振動，觀測點2的豎向位移放大譜值始終為零。

位移幅值放大譜受到沉積間距、入射角度、觀測點具體位置和位移分量的影響，規(guī)律較為復(fù)雜。如SV波斜入射時，隨著沉積間距的減小，觀測點1的水平位移第一峰值和峰值頻率均逐漸增大，而觀測點2的水平位移第一峰值頻率呈現(xiàn)：L/a=8.0>L/a=10.0>L/a=6.0，第一峰值呈現(xiàn)：L/a=10.0>L/a=6.0>L/a=8.0。整體上，SV波斜入射時，位移幅值放大譜受沉積間距的影響更為顯著。如SV波掠入射時，觀測點3的位移放大譜值較觀測點1和2要大。SV波斜入射時，三個觀測點位移放大譜值較為接近。SV波垂直入射時，觀測點2的水平位移幅值較觀測點1和3要大。另外，從圖中還可以看出，沉積間距對位移幅值放大譜的影響主要集中在η<1.5的頻段內(nèi)。

3.4 沉積個數(shù)對地表位移幅值放大譜的影響

為進(jìn)一步研究沉積個數(shù)對沉積地表位移幅值的影響，以圖4的模型和參數(shù)為例，給出了SV波以不同角度入射時，中間沉積內(nèi)部的水平和豎向位移幅值放大譜曲線。三個觀測點坐標(biāo)同圖5，波的入射角度仍分別為θ=5°、45°和90°。

從圖6中可以看出，多個沉積(M=3、5和7)與單一沉積(M=1)的位移幅值放大譜的峰值和峰值頻率均差異顯著，這同樣是由于多個沉積間的動力相互作用引起的。但不同與圖5沉積間距對位移幅值放大譜的影響(不同沉積間距對應(yīng)放大譜的峰值和峰值頻率均明顯不同)，不同沉積個數(shù)對應(yīng)的放大譜的峰值雖然差異較大，但峰值頻率較為接近，說明沉積個數(shù)的改變更多的是增強(qiáng)或減弱了沉積間的動力相互作用，但對相互作用機(jī)制影響較小，然而沉積間距的改變直接改變了沉積間的動力相互作用機(jī)制。

整體上，相對于垂直入射情況，波掠入射和斜入射時，位移幅值放大譜受沉積個數(shù)的影響更為明顯。隨著沉積個數(shù)的增多，放大譜的峰值逐漸增大，這在波斜入射時的水平位移幅值放大譜和波垂直入射時的豎向位移幅值放大譜中尤為明顯，說明隨著沉積個數(shù)的增加，沉積動力相互作用進(jìn)一步加強(qiáng)。同圖5中沉積間距的影響相似，沉積個數(shù)對位移幅值放大譜的影響主要集中在η<1.5的頻段內(nèi)，說明當(dāng)入射波頻率較大時，三個沉積計算結(jié)果，可以較好的近似更多沉積情況的結(jié)果。

4 結(jié) 論

本文采用間接邊界元法研究了層狀半空間中任意多個沉積谷地對平面SV波的散射問題。文中通過與已有結(jié)果的比較驗證了方法的正確性，并以均勻半空間中多個沉積谷地為例，研究了沉積間間距和沉積個數(shù)對沉積附近位移幅值的影響，得到了以下主要結(jié)論。

多個沉積情況，由于沉積間的動力相互作用，使得多個沉積對應(yīng)的位移幅值及其放大譜均與單一沉積情況存在顯著的差異，多個沉積情況對應(yīng)的位移幅值顯著大于單一沉積情況；沉積間距的改變改變了沉積間的動力相互作用機(jī)制，使得不同間距情況對應(yīng)的位移幅值及其放大譜均明顯不同，而沉積個數(shù)更多的是增強(qiáng)或減弱了沉積間的動力相互作用，對動力相互作用機(jī)制的影響較小，因而沉積個數(shù)對放大譜峰值影響較大，而對峰值頻率影響較??；總體上波以較大角度入射時，沉積間動力相互作用更強(qiáng)，沉積間距和沉積個數(shù)對位移幅值的影響更大；沉積間距和沉積個數(shù)的影響主要集中在η<1.5的頻段內(nèi)。

值得指出的是，本文結(jié)果均是以均勻半空間半圓沉積為例進(jìn)行的解答分析，但文中的方法也適用于層狀半空間和任意形狀的沉積，對此將另文討論。

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