緊框架域重加權(quán)L1范數(shù)正則化圖像恢復(fù)模型

董衛(wèi)東，彭宏京

(南京工業(yè)大學(xué) 計(jì)算機(jī)科學(xué)與技術(shù)學(xué)院，南京 211816)

1 引 言

圖像恢復(fù)是圖像處理和分析領(lǐng)域的重要分支，其目的在于增強(qiáng)在圖像獲取和傳輸過程中受到破損的圖像質(zhì)量，模型通常建立在被系統(tǒng)和噪聲模糊的圖像基礎(chǔ)上，尋找合適的數(shù)學(xué)模型并設(shè)計(jì)優(yōu)化算法，求解得到恢復(fù)圖像，其過程可描述為線性模型：

f=Au+η

(1)

其中f表示觀測圖像，A為線性算子，例如圖像修復(fù)中的映射算子或圖像去卷積過程中的卷積算子等，η代表均值為0，方差為δ2的高斯白噪聲.

在圖像恢復(fù)領(lǐng)域，總變分(TV)最小化模型應(yīng)用最早且最廣泛[1]，自然圖像通常被建模為分片光滑函數(shù)，變分模型通過建立合適的能量泛函形式，并轉(zhuǎn)換成對(duì)應(yīng)的偏微分方程設(shè)計(jì)算法求解，但變分模型在修復(fù)過程中擴(kuò)散系數(shù)不能根據(jù)圖像結(jié)構(gòu)特征的變化而自適應(yīng)改變，因此會(huì)隨著求解偏微分方程迭代次數(shù)的增加，出現(xiàn)明顯的“階梯效應(yīng)”.小波及其多分辨分析理論的興起，極大地推動(dòng)了圖像表示方式的發(fā)展，通過選擇合適的小波基對(duì)圖像進(jìn)行稀疏表示，并設(shè)計(jì)分裂算法對(duì)能量泛函進(jìn)行求解，不僅降低了圖像數(shù)據(jù)處理的規(guī)模，使得算法效率大大提升，而且提高了圖像恢復(fù)效果[2].自然圖像結(jié)構(gòu)特征信息復(fù)雜，很難用單一的小波基變換對(duì)圖像進(jìn)行完備表述.隨著國內(nèi)外對(duì)圖像數(shù)據(jù)處理的重視，最近幾年緊框架理論的快速發(fā)展，其在稀疏表示信號(hào)和描述圖像特征方面的優(yōu)勢，使其在圖像處理分析領(lǐng)域的應(yīng)用得到重視[3].多分辨率分析得到的緊框架系統(tǒng)具有冗余性，即圖像序列和稀疏表達(dá)系數(shù)之間不是一對(duì)一的映射關(guān)系，從而觀測圖像在緊框架系統(tǒng)下的稀疏表達(dá)形式并不唯一，實(shí)際應(yīng)用中可根據(jù)具體的圖像特征選擇合適的表達(dá)方式，不僅提高緊框架變換對(duì)于噪聲和誤差的魯棒性，使圖像處理系統(tǒng)更為穩(wěn)健，而且冗余表示增強(qiáng)了信號(hào)逼近的靈活性，提高了對(duì)圖像復(fù)雜結(jié)構(gòu)的稀疏表示能力.緊框架理論中主要包含三種表達(dá)方式：基于分析的緊框架表達(dá)形式[4]，基于合成的緊框架表達(dá)形式[5]和基于分析與合成平衡的表達(dá)形式[6].本文主要研究基于分析的緊框架表達(dá)形式，其可看作TV模型的推廣，將TV模型中的梯度約束項(xiàng)做在緊框架下的離散化表示.同TV能量泛函正則化函數(shù)類似，基于分析的緊框架表達(dá)模型建立以懲罰圖像稀疏性的正則化項(xiàng)，一般以緊框架變換系數(shù)的L0范數(shù)為約束項(xiàng)[7]，通過求解最小L0范數(shù)來精確重構(gòu)圖像，然而求解L0范數(shù)問題是NP-hard難題，并且是非凸優(yōu)化問題，無法建立較為理想的優(yōu)化算法.Rchan等提出基于L1范數(shù)的松弛優(yōu)化算法[8]，通過建立框架變換系數(shù)L1范數(shù)的正則化項(xiàng)來近似表達(dá)L0范數(shù)，在一定條件下，最小化L1范數(shù)和最小化L0范數(shù)問題是等價(jià)的，從而證明其近似稀疏表達(dá)的合理性.緊框架域下建立的能量泛函模型，通過近幾年發(fā)展較快的split bregman方法[9]進(jìn)行設(shè)計(jì)求解，其不僅具有較快的收斂速度，而且能夠大大改善圖像恢復(fù)質(zhì)量.

近年來壓縮感知理論在圖像處理領(lǐng)域的應(yīng)用獲得快速發(fā)展[10]，信號(hào)建立變換域系數(shù)L1范數(shù)的懲罰項(xiàng)，即是對(duì)信號(hào)在變換域中稀疏性的恢復(fù).信號(hào)稀疏表示后，其能量大多集中在少數(shù)較大的系數(shù)中，而其他大部分系數(shù)都為零或接近于零[11].同樣地，對(duì)于圖像經(jīng)過框架變換后，原始圖像信息主要集中在少量較大的框架系數(shù)中，而剩余大部分系數(shù)都為零或接近于零.建立框架系數(shù)L1范數(shù)的約束項(xiàng)對(duì)圖像進(jìn)行稀疏性恢復(fù)時(shí)，少量較大的框架系數(shù)與大量為零或接近于零的系數(shù)對(duì)于稀疏性恢復(fù)的影響程度是不一樣的，E.J.Candes等人證明了信號(hào)重構(gòu)過程中，稀疏表示后不同的變換系數(shù)添加不同程度的懲罰因子可大大增強(qiáng)信號(hào)的稀疏性[12].傳統(tǒng)框架變換正則化模型中不同框架系數(shù)對(duì)稀疏性恢復(fù)的影響因子是一致的，其忽略了變換后框架系數(shù)與原始圖像結(jié)構(gòu)信息之間的聯(lián)系，從而不利于框架變換后系數(shù)稀疏性的較好恢復(fù).

本文提出一種新的緊框架域下，對(duì)稀疏性約束項(xiàng)進(jìn)行重加權(quán)的正則化模型：首先通過正交匹配追蹤算法(OMP)[13]確定圖像多層緊框架變換后多尺度不同方向上具有較大系數(shù)的集合，即稀疏支撐集，由于支撐集內(nèi)的框架系數(shù)包含了原始圖像主要結(jié)構(gòu)信息，故對(duì)其加上較小的懲罰因子，而對(duì)于其他為零或接近于零的框架系數(shù)加上較大的懲罰因子，實(shí)現(xiàn)不同系數(shù)間的非均勻懲罰約束.模型的算法設(shè)計(jì)上，結(jié)合split bregman方法的思想，提出一種多步交替優(yōu)化算法，將每一步交替迭代得到的恢復(fù)結(jié)果，應(yīng)用在下一步的交替迭代過程中，充分利用圖像的先驗(yàn)信息，大大提高了圖像恢復(fù)的質(zhì)量.在算法的驗(yàn)證過程中，通過真實(shí)的圖像進(jìn)行恢復(fù)實(shí)驗(yàn)，將本文緊框架域重加權(quán)正則化模型與基于TV的小波恢復(fù)模型[2]和傳統(tǒng)緊框架域正則化模型[4]進(jìn)行對(duì)比分析.

2 緊框架域重加權(quán)正則化模型

2.1 基于多分辨率分析的圖像緊框架變換

對(duì)于可數(shù)集合X?L2(R)，被稱為L2(R)上的緊框架，當(dāng)且僅當(dāng)：

(2)

<·>表示內(nèi)積，可以得到標(biāo)準(zhǔn)正交基是一組特殊的緊框架.一般情況下，小波框架系統(tǒng)表示對(duì)確定集合ψ={φ1，φ2，…，φn}中元素的伸縮和平移，即{2l/2φm(2l·(-k))}?L2(R)，l和k為伸縮和平移因子，ψ稱為生成集合.特別的是，若X為緊框架時(shí)，φ稱為小框架.

(3)

若尺度函數(shù)對(duì)稱，則生成的框架系統(tǒng)也是對(duì)稱的，且由對(duì)稱或反對(duì)稱的尺度函數(shù)和小框架函數(shù)構(gòu)造的緊支撐框架系統(tǒng)應(yīng)具有線性相位，該特性十分重要.在圖像數(shù)據(jù)分析中，當(dāng)尺度函數(shù)和小波函數(shù)作為濾波函數(shù)，且濾波器具有線性相位時(shí)，能有效避免圖像信號(hào)在分解與重構(gòu)中的失真，從而保證圖像恢復(fù)效果的改善[15].實(shí)際應(yīng)用中，考慮到B樣條函數(shù)的特性，本文在B樣條函數(shù)基礎(chǔ)上構(gòu)造緊框架系統(tǒng).如圖1基于分段三次B樣條構(gòu)造的緊框架系統(tǒng)的尺度函數(shù)和小框架函數(shù).

圖1 分段三次B樣條框架系統(tǒng)Fig.1 Framelet system of piecewise cubic

當(dāng)對(duì)離散圖像序列進(jìn)行處理時(shí)，W∈m×n，m≥n代表分解算子，WT代表重構(gòu)算子，根據(jù)UEP原則，則有WTW=I，且WWT≠I，則對(duì)于完整的圖像重構(gòu)過程描述為：

u=WTWu

(4)

為獲取圖像多方向上的細(xì)節(jié)特征，進(jìn)一步對(duì)圖像序列u作L層框架分解：

Wu=(…，Wl，ju，…)0≤l

(5)

其中Ω代表每一層分解中所包含的框架系數(shù)子帶集，例如對(duì)于分段三次B樣條構(gòu)造的緊框架變換中|Ω|=25，小波變換模型中|Ω|=4；Wl，ju代表第l層分解的第j個(gè)子帶圖像的小波框架系數(shù).下頁圖2(a)-圖2(d)為分段三次B樣條函數(shù)構(gòu)造的緊框架系統(tǒng)對(duì)圖像進(jìn)行4層框架分解.

2.2 緊框架域L1范數(shù)正則化圖像恢復(fù)模型

對(duì)系統(tǒng)和噪聲模糊的圖像，考慮其在緊框架變換下的稀疏性，建立緊框架變換框架系數(shù)L1范數(shù)的正則化項(xiàng)，得到圖像恢復(fù)正則化模型表達(dá)式：

(6)

其中λ為保真項(xiàng)與正則化項(xiàng)間的調(diào)整參數(shù)，q=1或q=2分別對(duì)應(yīng)于各向異性L1范數(shù)和各向同性L1范數(shù)，J.F Cai等證明了在選擇正則化項(xiàng)時(shí)各向同性的L1范數(shù)明顯優(yōu)于各向異性L1范數(shù)[16]，因此本文優(yōu)先選擇q=2.

令α=Wu，將式(6)轉(zhuǎn)換為條件約束優(yōu)化問題，即：

(7)

圖2 4層框架分解子帶圖像Fig.2 Four-level framelets decomposition of u in bands

2.3 緊框架域重加權(quán)正則化圖像恢復(fù)模型及其分裂算法

2.3.1 緊框架域重加權(quán)正則化圖像恢復(fù)模型

傳統(tǒng)緊框架變換L1范數(shù)模型建立的稀疏正則化能量泛函本質(zhì)上是緊框架變換后框架系數(shù)的稀疏性恢復(fù)，但模型算法實(shí)現(xiàn)過程中稀疏性的懲罰系數(shù)是一致的，并沒有充分利用緊框架變換后框架系數(shù)的特性.在圖像稀疏表達(dá)的懲罰項(xiàng)中，對(duì)少數(shù)包含大量原始圖像信息的框架系數(shù)與其他系數(shù)應(yīng)賦予不同程度的影響因子，以平衡所有系數(shù)對(duì)圖像信號(hào)稀疏性恢復(fù)效果的影響.本文在傳統(tǒng)的緊框架變換L1范數(shù)正則化模型基礎(chǔ)上，通過引入框架分解系數(shù)模相關(guān)的權(quán)值函數(shù)κ，提出了一種新的緊框架變換L1范數(shù)的重加權(quán)正則化模型，即：

(8)

其中0≤l≤L-1，i={1，2，…，n}，n表示像素位置，j∈Ω.對(duì)于運(yùn)算符?，若a=(a1，a2，…，ak)，b=(b1，b2，…，bk)，c=(c1，c2，…，ck)，則：a?b=(a1×b1，a2×b2，…，ak×bk)，a?b?c=(a1×b1×c1，a1×b1×c1，…，ak×bk×ck).λl，j為第l層第j個(gè)子帶圖像保真項(xiàng)與正則項(xiàng)的調(diào)整參數(shù).

傳統(tǒng)緊框架變換L1范數(shù)模型中，框架系數(shù)對(duì)稀疏性恢復(fù)的影響因子是一致的，即式(8)中κl，i，j始終為1.而在本文的重加權(quán)正則化模型中，對(duì)少量包含原始圖像結(jié)構(gòu)信息的框架系數(shù)和其它非零或接近于零的系數(shù)實(shí)行非均勻懲罰，令

(9)

其中|Wul，i，j|代表框架系數(shù)的模，ε為調(diào)和參數(shù).

傳統(tǒng)緊框架L1正則化，忽略了緊框架變換后框架系數(shù)與原始圖像之間的聯(lián)系，丟失了很多重要的結(jié)構(gòu)信息，不利于框架變換后稀疏性的恢復(fù)，而本文模型將框架變換后稀疏支撐集內(nèi)的多尺度不同方向的框架系數(shù)引入非均勻懲罰因子中，充分利用原始圖像的多層結(jié)構(gòu)信息，大大增強(qiáng)正則化模型稀疏性的恢復(fù)，從而更好地保護(hù)恢復(fù)圖像邊緣及一些微小的細(xì)節(jié)信息，改善圖像恢復(fù)的質(zhì)量.

2.3.2 重加權(quán)正則化圖像恢復(fù)模型的分裂算法(RMSBA)

緊框架變換正則化模型算法由于權(quán)值因子始終為1，故只采用單步交替迭代優(yōu)化得到最終恢復(fù)結(jié)果.本文模型在split bregman算法的思想基礎(chǔ)上，結(jié)合恢復(fù)過程中權(quán)值因子的更新，提出一種重加權(quán)多步交替迭代優(yōu)化算法(RMSBA)，將原始復(fù)雜的正則化模型(8)解耦為兩個(gè)較簡單的子問題進(jìn)行重復(fù)交替優(yōu)化：

1)固定權(quán)值函數(shù)κl，i，j(第一步κl，i，j=1)，利用緊框架變換正則化模型算法求解關(guān)于u的凸優(yōu)化問題；

2)利用步驟1)得到的恢復(fù)圖像u，自適應(yīng)更新權(quán)值函數(shù)κl，i，j，轉(zhuǎn)步驟1).

首先將模型(8)轉(zhuǎn)化為約束優(yōu)化問題，即：

利用增廣拉格朗日乘子技術(shù)，引入輔助變量ν，根據(jù)增廣拉格朗日原理，將有條件約束最優(yōu)化問題(10)轉(zhuǎn)化為易于處理的無條件約束最優(yōu)化問題：

(11)

關(guān)于u的最小化過程，采用最小二乘算法：

(ATA+μI)uk+1=ATf+μWT(αk-νk)

(12)

(13)

可轉(zhuǎn)化為等價(jià)形式：

(14)

由上述分析過程可得到本文模型的分裂算法(RMSBA)：

1)給定觀測圖像f，線性算子A，交替優(yōu)化的步數(shù)s=1，令u為第s-1步交替優(yōu)化后的輸出圖像，并且初始化α0=v0=Wus-1，κl，i，j=1，迭代終止誤差ζ，外部和內(nèi)部迭代最大次數(shù)分別為Smax，MaxIt

2)u的更新：uk+1=(ATA+μI)-1(ATf+μWT(αk-νk))

4)ν的更新：νk+1=vk+Wuk+1-αk+1，k=k+1

5)若err>ζ或者迭代次數(shù)k

6)尋找u在緊框架變換下的框架系數(shù)的稀疏支撐集，記：θ=supp(Wu)={i：Wul，i，j≠0} ，0≤l≤L-1

8)s=s+1

9)若s≤Smax，轉(zhuǎn)步驟2)

10)輸出最終恢復(fù)圖像u

3 實(shí)驗(yàn)結(jié)果及分析

對(duì)于不同的圖像恢復(fù)實(shí)驗(yàn)，采用不同方法生成線性算子A：

圖3 卷積算子Fig.3 Convolution operator

(II)圖像去卷積：fspecial(′gaussian′,[7,7],5)，如圖3.

圖4 原始圖像Fig.4 Original image

3.1 實(shí)驗(yàn)1——圖像修復(fù)

實(shí)驗(yàn)中采用線性算子(I)對(duì)原始圖像進(jìn)行處理.圖5第一列為圖像破損率從30%到60%時(shí)對(duì)應(yīng)的破損圖像，第二列至第四列為不同算法恢復(fù)結(jié)果的定性對(duì)比，下頁表1為不同算法所獲得恢復(fù)結(jié)果的定量對(duì)比，下頁圖6為不同PR值時(shí)，不同算法恢復(fù)結(jié)果PSNR的變化曲線，圖7為不同PR值時(shí)，不同算法恢復(fù)結(jié)果SSIM的變化曲線.

圖5 δ=5，不同PR值(30%-60%)時(shí)，不同算法的恢復(fù)性能比較Fig.5 δ=5，the PR value from first row to four row rangesfrom 30% to 60%，respectively，compariation of restoration by different algorithms

表1 不同算法恢復(fù)圖像的SSIM和PSNR指標(biāo)對(duì)比Table 1 SSIM and PSNR comparison of restoration image by different algorithms

表2 多步交替優(yōu)化過程中圖像恢復(fù)的SSIM和PSNR指標(biāo)對(duì)比Table 2 SSIM and PSNR comparison of restoration image in multi-stage alternating optimization

從圖5獲得的恢復(fù)結(jié)果中看出，TV小波正則化模型在一些平滑區(qū)域很容易引起“階梯效應(yīng)”，不能很好的修復(fù)破損圖像；文獻(xiàn)[4]算法較文獻(xiàn)[2]算法有較好的恢復(fù)效果，但是在一些細(xì)小的邊緣處易產(chǎn)生模糊，例如相機(jī)支架之間細(xì)小長條的邊緣處并不清晰，而本文算法能夠很好地解決邊緣模糊的現(xiàn)象，圖像的細(xì)小邊緣恢復(fù)效果較為理想.

圖6 δ=5，PR值(30%-60%)時(shí)，不同模型PSNR值的變化曲線Fig.6 δ=5，changing curve of different models PSNR values

從表1可知，本文算法和文獻(xiàn)[4]算法比文獻(xiàn)[2]算法有更高的SSIM，PSNR值，多層緊框架分解稀疏表示之后，可以更加精確的描述圖像的特征，從而可以獲得更好的圖像恢復(fù)效果.而本文算法比文獻(xiàn)[4]算法具有更高的SSIM，PSNR值，提高了2-4db，表明本文算法較文獻(xiàn)[4]更加有效.

分析圖6和圖7可以對(duì)不同算法穩(wěn)定性進(jìn)行對(duì)比.不同PR值時(shí)，對(duì)本文5幅原始圖像的修復(fù)效果來看，本文算法較其他兩種算法一直具有更高的SSIM，PSNR值，從曲線的近似下降速率可以看出，緊框架域的正則化模型較TV正則化更加的穩(wěn)定.而本文的算法穩(wěn)定性比文獻(xiàn)[4]算法也有一定的提升.

圖7 δ=5，PR值(30%-60%)時(shí)，不同模型SSIM值的變化曲線Fig.7 δ=5，changing curve of different models SSIM values

圖8 PR=0.5，δ=5時(shí)，多步交替優(yōu)化的恢復(fù)效果Fig.8 Restoration performance comparison of multistage alternating optimization

圖8為PR=0.5，δ=5時(shí)，本文所采用的多步交替迭代優(yōu)化過程.圖8(a)為第一步交替迭代過程，圖9(a)是其局部放大圖像，可以看出相機(jī)支架區(qū)域出現(xiàn)明顯的邊緣修復(fù)不完全的現(xiàn)象.圖8(b)以第一步交替迭代的修復(fù)結(jié)果作為先驗(yàn)信息，更新權(quán)值函數(shù)，進(jìn)行交替迭代，得到的修復(fù)結(jié)果由圖9(b)的局部放大圖像中可以看出有了明顯的改善.再進(jìn)行圖8(c)第三步后，相機(jī)支架部分從圖9(c)中看出邊緣部分模糊現(xiàn)象已基本消失.從表2中可知，多步交替優(yōu)化過程可以提高修復(fù)圖像的SSIM和PSNR值，從圖像修復(fù)效果直觀分析，對(duì)于相機(jī)支架中間較粗的支架修復(fù)效果越來越清晰，邊緣模糊現(xiàn)象也基本消失，大大改善圖片修復(fù)效果.

圖9 PR=0.5，δ=5時(shí)，多步交替優(yōu)化恢復(fù)圖像的局部放大Fig.9 Local areas of multistage alternating optimization restoration

3.2 實(shí)驗(yàn)2——圖像去卷積

實(shí)驗(yàn)中采用卷積算子(II)對(duì)原始圖像進(jìn)行處理.圖10(a)，(e)為待恢復(fù)的模擬圖像，(b)(c)(d)和(f)(g)(h)為不同算法恢復(fù)結(jié)果的定性對(duì)比，表3為不同算法所獲得恢復(fù)結(jié)果的定量評(píng)價(jià)指標(biāo)對(duì)比.

圖10 不同算法恢復(fù)性能的比較Fig.10 Restoration performance comparison of different algorithm

從圖10(a)和圖10(e)可知，圖像視覺效果不理想，文獻(xiàn)[2]算法恢復(fù)的圖10(b)對(duì)于中間及其相連的兩根短的支架并沒有恢復(fù)，且兩側(cè)黑色支架恢復(fù)邊緣也十分模糊，在平滑區(qū)域不滿足“連通性準(zhǔn)則”，不能很好地恢復(fù)圖像.圖10(f)對(duì)于船頭上的文字部分并不能夠恢復(fù)出來，左上角處船桿的恢復(fù)也較為模糊.文獻(xiàn)[4]算法恢復(fù)的圖10(c)雖然改善了黑色支架邊緣模糊的現(xiàn)象，但是對(duì)于相機(jī)支架之間相連的細(xì)小長條并不能清晰的恢復(fù)出來，圖10(g)中也不能夠清晰地恢復(fù)出船頭上的文字.而本文算法的修復(fù)圖10(d)支架部分恢復(fù)十分清晰，邊緣也得到較好保護(hù)，圖10(h)基本恢復(fù)出船頭的文字，幾乎接近于原始圖像，充分說明本文算法恢復(fù)性能比較理想.

從表3可知，文獻(xiàn)[2]算法獲得的SSIM和PSNR數(shù)值最小，而本文算法獲得的SSIM和PSNR數(shù)值最大，進(jìn)一步驗(yàn)證了本文對(duì)框架系數(shù)進(jìn)行非均勻懲罰的思想，對(duì)于圖像緊框架變換后稀疏性增強(qiáng)的有效性.

4 結(jié) 論

結(jié)合壓縮感知理論，在傳統(tǒng)緊框架變換L1范數(shù)正則化模型的基礎(chǔ)上，對(duì)緊框架變換后的稀疏系數(shù)實(shí)行非均勻懲罰，提出一種新的緊框架域L1范數(shù)的重加權(quán)正則化模型.將多層框架分解系數(shù)的模作為先驗(yàn)信息引入權(quán)值因子，充分利用了緊框架變換后框架系數(shù)所包含的原圖像結(jié)構(gòu)信息.由多分辨率結(jié)構(gòu)得到的緊框架模型保證了能量泛函求解快速算法的存在.本文在經(jīng)典split bregman的算法思想基礎(chǔ)上，提出一種多步重復(fù)交替優(yōu)化算法(RMSBA).仿真實(shí)驗(yàn)表明，該模型相比于傳統(tǒng)的TV小波模型和緊框架變換L1范數(shù)正則化模型，能夠有效改善圖像恢復(fù)過程邊緣細(xì)節(jié)模糊的不足，大大提高圖像恢復(fù)的質(zhì)量，且模型具有較好的穩(wěn)定性，能夠取得較高的峰值信噪比和結(jié)構(gòu)相似性測度.另外本文所采用的緊框架系統(tǒng)對(duì)于圖像結(jié)構(gòu)成分的稀疏表示十分有效，但對(duì)于圖像紋理部分的稀疏表示結(jié)果并不理想，因此研究能同時(shí)稀疏表示圖像結(jié)構(gòu)和紋理成分的框架系統(tǒng)是今后的重要方向.

[1] Chambolle A，Lions P L.Image recovery via total variation minimization and related problems[J].Numerische Mathematik，1997，76(2)：167-188.

[2] Chan R，Wen Y W，Yip A.A fast optimization transfer algorithm for image inpainting in wavelet domains[J].IEEE Transactions on Image Processing，2009，18(7)：1467-1476.

[3] Chan R，Riemenschneider S，Shen L，et al.Tight frame：an efficient way for high-resolution image reconstruction[J].Applied and Computational Harmonic Analysis，2004，17(1)：91-115.

[4] Cai J F，Osher S，Shen Z.Split bregman methods and frame based image restoration[J].SIAM Journal on Multiscale Modeling and Simulation，2009，8(2)：337-369.

[5] MAT Figuriredo，R D Nowark.A bound optimization approach to wavelet-based image deconvolution[C].IEEE International Conference on Image Processing，2005，2：782-785.

[6] Cai J F，Chan R，Shen Z.Simutaneouscartoon and texture inpainting[J].Inverse Problems Images，2010，4(3)：379-395.

[7]Zhang Y，Dong B，Lu Z.L0 minimization of wavelet frame based image restoration[J].Mathematics of Computation，2013，82(282)：995-1015.

[8] Chan R，Chan T，Shen L，et al.Gorithms for high-resolution image reconstruction[J].SIAM Journal on Scientific Computing，2003，24(4)：1408-1432.

[9] Goldstein T,Osher S.The split bregman algorithm for L1 regularized problems[J].SIAM Journal on Imaging Science，2009，2(2)：323-343.

[10] Zhu J，Chen C W.A compressive sensing image reconstruction algorithm based on low-rank and total variation regularization[J].Journal of Jinling Institute of Technology，2015，31(4)：23-26.

[11] Dornoosh Zonoobi，Ashraf A Kassim.On the reconstruction of sequences of sparse signals-the weighted-cs[J].Journal Visual Communication and Image Representation，2013，24(2)：196-202.

[12] Candes E J，Wakin M B，Boyd S P.Enhancing sparsity by reweighted L1 minimization[J].Journal of Fourier Analysis and Applications，2008，14(5-6)：877-905.

[13] Sahoo S K，Makur A.Signal recovery from random measurements via extended orthogonal matching pursuit[J].IEEE Transactions on Signal Processing，2015，63(10)：2572-2581.

[14] Daubechies I，Han B，Ron A，et al.Framelets：MRA-based construction of wavelet frames [J].Applied and Computational Harmonic Analysis，2003(1)，14：1-46.

[15] Ron A，Shen Z.Affine system in L2(Rd)：the analysis of the analysis operator[J].Journal of Functional Analysis，1997，148(2)：408-447.

[16] Cai J F，Dong B，Osher S，et al.Imagerestorations：totalvariation，wavelet frames and beyond[J].Journal of the American Mathematical Society，2012，25(4)：1033-1089.