青海省藏漢雙語高中生三角函數(shù)解題錯誤層次調(diào)查研究

才讓加

【摘要】學生在學習數(shù)學的過程中，在某種程度上會不可避免的出現(xiàn)解題錯誤，但是在學習過程中我們又希望學生能夠很好地掌握相應(yīng)的知識，提高數(shù)學能力，從而降低解題錯誤。三角函數(shù)是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，它既能聯(lián)系代數(shù)又能聯(lián)系幾何，可將復(fù)雜的數(shù)學問題簡單化，因此，研究學生在學習三角函數(shù)過程中出現(xiàn)的錯誤，對其進行歸類，并分析其形成的原因，具有很重要的意義。從目前的研究資料來看，研究關(guān)于藏漢雙語高中生三角函數(shù)解題錯誤的文獻很少，因此筆者編制了三角函數(shù)測試卷，對青海省六州藏漢雙語高中生三角函數(shù)解題能力進行了測試，按解題的一般順序——閱讀、理解、轉(zhuǎn)換、操作、編碼中出現(xiàn)的錯誤程度進行了統(tǒng)計，進而用SPSS 20.0對數(shù)據(jù)進行了分析，得出藏漢雙語高中生在解決三角函數(shù)問題時，出現(xiàn)的錯誤層次以理解、編碼、操作、閱讀、轉(zhuǎn)換而遞增，未能成功解題的主因在于不能把文字轉(zhuǎn)換成數(shù)學模型，不能選取合適的解題策略。

基于以上研究結(jié)論，筆者反思了青海省六州民族高級中學的數(shù)學教學狀況，特別對藏漢雙語三角函數(shù)教學提出了幾點建議。

【關(guān)鍵詞】藏漢雙語 三角函數(shù) 解題錯誤 研究

【中圖分類號】G633.6 【文獻標識碼】A 【文章編號】2095-3089（2018）06-0125-02

一、研究的背景及問題

函數(shù)的思想深刻、應(yīng)用廣泛，是高中教學內(nèi)容的核心部分，其與數(shù)列、方程、導(dǎo)數(shù)、幾何，以及不等式等內(nèi)容相互滲透，且函數(shù)的思想滲透在整個高中的全部過程中。而三角函數(shù)又是一類特殊的函數(shù)，歷來是高中數(shù)學的重要內(nèi)容之一，也是學生在高中階段必須掌握的基本初等函數(shù)。

在藏漢雙語教學過程中，以教學質(zhì)量而言提升的幅度是非常的緩慢。尤其是學生在學習三角函數(shù)這一內(nèi)容時，經(jīng)常會遇到很多問題，常常會出現(xiàn)解題錯誤。那么青海省藏漢雙語高中生的數(shù)學成績難于提高的主因在哪里？特別是學生在學習三角函數(shù)時出現(xiàn)的錯誤是什么？因此探索藏漢雙語高中生在三角函數(shù)學習過程中存在的問題，并分析其產(chǎn)生的原因，就顯得尤為重要。

學生在解決問題時出現(xiàn)錯誤是有一定的合理性的，如果積極和科學地分析其合理之處，變可有“化腐朽為神奇”的效果，分析其出現(xiàn)的原因、性質(zhì)，逐步“將錯為正”，將“正確”建立在“錯誤”之上，相信同學們對原先錯誤的解題和現(xiàn)在正確的解題都有很深刻的理解。

錯誤在哲學中定義為：錯誤同正確對立，是指主體與客體規(guī)律不相一致的認識或?qū)嵺`，顯然，此處的錯誤是一種不正確的觀點和行為。錯誤不僅在哲學中出現(xiàn)而且在其他學科，以及在日常生活中也會出現(xiàn)。在《現(xiàn)代漢語詞典》中將錯誤解釋為不正確的，與客觀事物不相符的思想，或者是不正確的行為、事物等。

錯誤在數(shù)學教育中，由于數(shù)學本身的特點，沒有人直接對數(shù)學錯誤給出了直接的定義，但對錯誤有一些簡單的論述：鄭毓信在《數(shù)學教育的現(xiàn)代發(fā)展》一文中有這樣的論述：有些教師將學生在具體的學習過程中產(chǎn)生的不同于“標準觀念”的想法或做法視為錯誤。此處的“標準觀念”指的是教材、專家及自身的觀念。Brousseau不認為錯誤是失誤或偶然的現(xiàn)象，而是對前知識的學習發(fā)生興趣的表現(xiàn)。

二、國外對高中生三角函數(shù)解題錯誤研究的綜述

國外對學生的解題錯誤是從學生算術(shù)錯誤的診斷開始入手的，早在1925年美國學者buswell與judd用了長達30多年的時間對學生的算術(shù)錯誤進行診斷，其后，德國和蘇聯(lián)等國家也相繼加入了此研究的行列。

傳統(tǒng)的觀點認為，錯誤是沒有任何益處的，學生犯錯也就意味著其成績是不理想的。如skinner認為應(yīng)該避免錯誤，因為錯誤會浪費其完成任務(wù)的時間。但隨著學者們對錯誤的不斷研究，逐漸認識到錯誤不僅可以加深學生對數(shù)學知識的理解，而且教師也可糾正自己的教學方法。如Borasi認為學生在學習的過程中所出現(xiàn)的解題錯誤是對其已有認知結(jié)構(gòu)的再調(diào)整的結(jié)果，所以教師可以通過學生的思考及錯誤的解題，從而可以提供一條更有效的補救方案。

亨德里克思從心理學的角度對學生的錯誤進行了研究，總結(jié)出學生犯錯的原因有語言困難、空間想象力不足、已有知識經(jīng)驗的不足、思維定式的影響、不恰當?shù)膽?yīng)用或推廣等五個方面。

澳大利亞的心理學家紐曼（Newman）針對一步計算的文字題于1977年提出把學生的解題錯誤按解題過程分成以下五個層次：①閱讀能力；②理解；③轉(zhuǎn)換；④運算技能；⑤呈現(xiàn)答案（見表1）。

Watson在1980年發(fā)表的《Investigating errors of beginning mathematicians》中認為紐曼（Newman）的錯誤分析理論適用于大量的數(shù)學問題，該錯誤分析理論是建立在學生是如何解答數(shù)學問題的一個合理的數(shù)學模型的基礎(chǔ)上，此模型在不同的解題階段出現(xiàn)的解題失敗表現(xiàn)出不同的解題錯誤。此后很多研究者將紐曼（Newman）錯誤分析理論應(yīng)用到各個領(lǐng)域。Ellerton對206名初中生在解決數(shù)學文字題的困難類型做了調(diào)查，得出了70%以上的同學出現(xiàn)的解題錯誤來源于理解題意錯誤和選擇解題策略錯誤。

紐曼（Newman）的錯誤分析理論比較成熟、完善，借鑒的研究成果也比較多。如Clarkson、Prakitipong& Nakamura、Zakaria&Maat;、黃興豐和郝玲等在研究中應(yīng)用了紐曼（Newman）解題錯誤分析理論。

三、國內(nèi)對高中生三角函數(shù)解題錯誤研究的綜述

數(shù)學是在問題解決的過程中產(chǎn)生的，并且也是在解決問題的過程中完善和發(fā)展起來的。我國歷來對解題教學很重視，很多學者在這方面有著很深的研究。如單墫教授所說的“數(shù)學的習題，不僅用來鞏固所學的知識，還可以培養(yǎng)能力，發(fā)展智慧。所以，通過解決問題，能夠更好地掌握數(shù)學的內(nèi)容、意義和方法 ?！?/p>

戴再平在《數(shù)學習題理論》中認為，在數(shù)學的解題中，學生所表現(xiàn)的錯誤是多樣的，為了更有效地利用好這些錯誤，必須對各種錯誤進行歸類和分析，但由于產(chǎn)生錯誤的原因和復(fù)雜程度，以及錯誤表現(xiàn)形式的多樣性，因此要有不同的標準對錯誤進行不同的分類。并將錯誤分為閱讀理解、轉(zhuǎn)碼、加工技能、策略選擇、編碼五種。

向正凡在《辨析中學生數(shù)學解題錯誤與培養(yǎng)數(shù)學解題能力的研究》一文中把數(shù)學解題錯誤分為曲解題意的錯誤、擬定方案的錯誤、執(zhí)行方案的錯誤、回顧與反思的錯誤四類。

黃興豐在《初中生在幾何解題中所出現(xiàn)錯誤的調(diào)查研究》一文中把解題中發(fā)生的錯誤分為閱讀理解、轉(zhuǎn)碼、加工技能、策略選擇、編碼五種。

王志英在《普高學生數(shù)學解題錯誤的成因分析與對策研究》一文中將學生在解題過程中出現(xiàn)的解題錯誤分為心理性錯誤、概念理解性錯誤、運算性錯誤、審題性錯誤、邏輯性錯誤。

魏述強在《基于學生錯誤的試卷講評模式的行動研究》一文中以紐曼（Newman）錯誤分析理論為基礎(chǔ)，結(jié)合自身的教學經(jīng)驗將學生在解決解析幾何題時可能出現(xiàn)的錯誤分為閱讀理解錯誤、選擇解題策略錯誤、數(shù)學轉(zhuǎn)換錯誤、技能加工錯誤、數(shù)學編碼錯誤。

表2表示Borasi在1989年將錯誤進行分類，Borasi認為在分析學生的錯誤時，可以提供機會使學生進行優(yōu)異的數(shù)學活動；通過識別錯誤，可以強調(diào)新的方面或解釋意外的元素；關(guān)注和處理錯誤的經(jīng)歷可以使學生在今后的數(shù)學活動中更為謹慎，能夠?qū)ψ鳂I(yè)的正誤進行核對等作用。Borasi對數(shù)學學習的錯誤，以及對錯誤分析的觀點與看法是新穎與深刻的。

從以上國內(nèi)外學者對解題錯誤的研究來看，不僅對研究的領(lǐng)域在不斷的擴大，而且對解題錯誤的理解以及出錯原因的認識也在不斷地變化。更多的教師意識到解題錯誤不僅僅是對學生的“診斷”和“治療”，更應(yīng)將其視為一種教學資源，總之，學生的解題錯誤值得我們?nèi)パ芯浚绕涫菍?dǎo)致學生出錯的原因和價值更值得我們?nèi)ド钊氲奶接憽?/p>

四、藏漢雙語教學現(xiàn)狀綜述

才科扎西在《甘青川三省藏漢雙語數(shù)學教學現(xiàn)行模式評述》一文中指出藏漢雙語教學模式有兩種，第一模式為本民族語言文字授課為主，單科加授國家通用語言文字，第二模式為國家通用語言文字授課，單科加授本民族語言文字。

才果在《青海藏區(qū)藏漢雙語教學發(fā)展與思考》一文中認為青海民族教育的難點是藏族教育，而藏族教育的難點又在于藏漢雙語教育。該文對青海藏區(qū)雙語教育提出了建立藏漢雙語民族幼兒園、高考中增加藏漢雙語招生人數(shù)、大力發(fā)展藏漢雙語職業(yè)教育、大力培養(yǎng)藏漢雙語理科師資、加大投入藏漢雙語教育的經(jīng)費等五點建議。

索南仁欠老師在《青海藏漢雙語教學現(xiàn)狀及建設(shè)》一文中從教學模式、師資隊伍、教材建設(shè)等方面對青海省藏漢雙語的教育現(xiàn)狀進行了總結(jié)，并認為應(yīng)科學地定位雙語教師的培養(yǎng)目標、優(yōu)化雙語教師的培養(yǎng)層次、科學地推進雙語教材的建設(shè)進度、完善雙語教師的評估體系、完善雙語教師的培訓等建議。

扎洛老師在《制約少數(shù)民族雙語數(shù)學教育質(zhì)量的主因分析》一文中人深入地探討了制約青海少數(shù)民族雙語教育質(zhì)量的主因是雙語教師的學科專業(yè)素質(zhì)，教師素養(yǎng)成為提升藏漢雙語教育教學質(zhì)量的瓶頸。

從以上各位學者的研究來看，不難發(fā)現(xiàn)，關(guān)于藏漢雙語的研究主要集中在大的方向，而對藏漢雙語教學中每個學科比如：數(shù)學、物理、化學等方面的研究甚少，特別是對中學數(shù)學中各個模塊的研究更是少之又少。進而學生在學習三角函數(shù)時會出現(xiàn)那些錯誤？在解決關(guān)于三角函數(shù)的問題時，學生會應(yīng)用哪些知識模塊？在解題過程中思維出現(xiàn)障礙時，會做出怎樣的反應(yīng)等方面的研究是非常的少。

五、研究目的、對象及方法

通過研究青海藏區(qū)六州藏漢雙語教學高中生在學習三角函數(shù)這一內(nèi)容時所存在的解題錯誤和出現(xiàn)這些錯誤的原因，以此來拋磚引玉，吸引更多的研究者來研究這一問題，進而提出改進教師的教學策略，以及提高學生的解題及自我反思能力，從而提升學生的數(shù)學解題能力。

青海省共有六個藏族自治州，根據(jù)青海省教育的布局調(diào)整，初步形成了村辦幼兒園、鄉(xiāng)辦小學、縣辦初中、州辦高中的狀況，本研究選取的調(diào)查對象是青海省藏區(qū)六州每州一所民族高中，含蓋了所有的藏族自治州，覆蓋面100%，樣本具有較好的代表性。本次測試卷共發(fā)放521份，回收500份。測試卷作答時間為90分鐘。

本研究所采用的是測試卷的調(diào)查方式，測試卷分為藏漢兩個版面并進行了雙語對照，并用SPSS（20.0）數(shù)據(jù)軟件統(tǒng)計、分析、處理問卷的數(shù)據(jù)與結(jié)果。

六、研究的結(jié)論及建議

1.研究的結(jié)論

（1）樣本數(shù)據(jù)的相應(yīng)分析

對于本次測試的數(shù)據(jù)筆者應(yīng)用spss（20.0）進行了相應(yīng)分析，得出：青海藏區(qū)雙語教學高中生在解決三角函數(shù)問題時，解題錯誤以理解、編碼、操作、閱讀、轉(zhuǎn)換的順序而遞，即：未能成功解題的主因在于不能把文字轉(zhuǎn)換成數(shù)學模型，不能選取合適的解題策略。

（2）區(qū)間段數(shù)據(jù)的相應(yīng)分析

對于青海省藏漢雙語教學高中生在解決三角函數(shù)問題時出現(xiàn)的錯誤，筆者根據(jù)測試情況，將其分為十個區(qū)間，即：[0，10]、[11，20]、[21，30]、[31，40]、[41，50]、[51，60]、[61，70]、[71，80]、[81，90]、[91，100]具體統(tǒng)計情況如下：

1）成績處于[0，50]的高中生在解決三角函數(shù)問題時，在閱讀這一環(huán)節(jié)沒有過關(guān)，即：沒能辨別關(guān)鍵的字詞和符號成為不能把問題正確地解決的關(guān)鍵。

2）成績處于[51，90]的高中生在解決三角函數(shù)問題時，錯誤主要出現(xiàn)在理解這一過程，即：能夠閱讀問題但不能準確理解關(guān)鍵字詞、符號和問題的真正含義，從而出現(xiàn)錯誤。

3）成績處于[91，100]的高中生在解決三角函數(shù)問題時，解決問題的錯誤以理解、閱讀、轉(zhuǎn)換、編碼、操作為序而遞增，即：沒能將問題成功地解決的關(guān)鍵在于能夠找到一個合適的解題策略，但不能正確地進行數(shù)學操作。

2.建議

成績處于[0，50]的學生在解題過程中閱讀錯誤的秩均值偏高，由于閱讀是基礎(chǔ)，基礎(chǔ)不牢，山動地搖，出現(xiàn)閱讀錯誤而不能辨別關(guān)鍵的字詞和符號，進而不能理解關(guān)鍵字詞、符號和問題的真正含義，即出現(xiàn)理解錯誤，所以導(dǎo)致轉(zhuǎn)換、操作等一系列錯誤，這就要求數(shù)學教師在以后的數(shù)學教學過程中不僅要講透數(shù)學專業(yè)知識而且要講清數(shù)學關(guān)鍵詞和關(guān)鍵術(shù)語，指導(dǎo)學生經(jīng)常閱讀數(shù)學讀物，提高學生的閱讀能力。成績處于[51，90]的學生在各個解題過程中呈現(xiàn)的秩均值偏高的理解，雖然能夠閱讀問題，但理解出現(xiàn)偏差，不能準確理解關(guān)鍵字詞、符號和問題的真正含義，這就要求教師加強培養(yǎng)學生的數(shù)學抽象、推理、模型等基本數(shù)學思想，以培養(yǎng)學生的理解能力。成績處于[91，100]的學生在各個解題過程中呈現(xiàn)的秩均值偏高的是操作，由于出現(xiàn)操作錯誤，所以學生在解題過程中能夠找到一個合適的解題策略，但不能正確地進行數(shù)學操作，從而出現(xiàn)解題錯誤，這就要求教師經(jīng)常指導(dǎo)學生注意整理、歸納解題方法，進而提高學生的運算操作技能。

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