關(guān)于“一元微積分”教學(xué)內(nèi)容的改革實踐與思考

翟全禮

摘 要：施行《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》后，高中數(shù)學(xué)引入了微積分內(nèi)容，這不論對中學(xué)數(shù)學(xué)教育還是對高等數(shù)學(xué)教育都產(chǎn)生了很大影響。本文主要討論了這項措施對高等數(shù)學(xué)課程相關(guān)內(nèi)容的影響與應(yīng)采取的改革舉措，并在教學(xué)實踐中取得了一定成效。主要比較了中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一些知識點，原則大致是：中學(xué)講過的，高等數(shù)學(xué)可略講、不講；中學(xué)略提及的，高等數(shù)學(xué)要講（或擴展，或提高認(rèn)識角度，或提高要求）等。

關(guān)鍵詞：高中課程標(biāo)準(zhǔn) 微積分 教學(xué)改革

中圖分類號：G642.0 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A 文章編號：1672-3791（2018）09（c）-0163-03

1 問題

目前高中數(shù)學(xué)在內(nèi)容上比較施行新課標(biāo)前有增有減，增加了一些原是高等數(shù)學(xué)課程內(nèi)容，又減少了一些原本在中學(xué)階段應(yīng)講而現(xiàn)在不講的內(nèi)容。這種情況下如何厘清、處理這之間的關(guān)系，既能幫助學(xué)生鞏固和擴展初等數(shù)學(xué)（學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)所需）知識，又能改善高等數(shù)學(xué)課程的內(nèi)容處理，進而提高課程的教學(xué)質(zhì)量就成為一個亟待解決的問題。

某些學(xué)校的教師采用預(yù)修課程的形式解決這一問題，并出版了教材。在補足學(xué)習(xí)高等數(shù)學(xué)的基礎(chǔ)后，可保障高等數(shù)學(xué)課程的正常學(xué)習(xí)。這意味著要增加高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)時或另外增設(shè)預(yù)修課程學(xué)時，這對于許多普通院校是不太容易辦到的。

這類院校如果堅持高等數(shù)學(xué)課程原有內(nèi)容和方式，無視中學(xué)數(shù)學(xué)改革給大學(xué)數(shù)學(xué)造成的影響，那必然會影響課程的教育質(zhì)量與效果。因?qū)W時所限，采取在課內(nèi)補課的方式基本不可行。對這類院校要解決問題，首先要在認(rèn)識上正面評價15年來中學(xué)施行新課標(biāo)改革取得的成就（當(dāng)然也有一些不足），中學(xué)數(shù)學(xué)改革的方向是正確的。經(jīng)長期調(diào)研2017年底教育部對2003年施行的《高中課程數(shù)學(xué)標(biāo)準(zhǔn)（實驗）》做了修訂，頒布了正式《普通高中數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2017年版）》。在這種現(xiàn)實下，高等數(shù)學(xué)課程應(yīng)當(dāng)增加一個新的角度思考即中學(xué)數(shù)學(xué)（即實際從入學(xué)新生）的角度考慮課程的內(nèi)容設(shè)計。高等數(shù)學(xué)課程不但要從滿足大學(xué)專業(yè)學(xué)習(xí)發(fā)展的角度考慮問題，還必須從中學(xué)數(shù)學(xué)的角度考慮問題。我們在教學(xué)實踐中針對此類問題進行了一些探索和思考，提出一些具體的教學(xué)建議和方法，在此提出與各位同仁交流，也供年輕教師參考。主要比較了中學(xué)數(shù)學(xué)與高等數(shù)學(xué)的一些知識點，原則大致是：中學(xué)講過的，高等數(shù)學(xué)可略講、不講，中學(xué)略提及的，高等數(shù)學(xué)要講（或擴展，或提高認(rèn)識角度，或提高要求）等。下面從幾個方面討論二者之間相關(guān)內(nèi)容的關(guān)系，及在高等數(shù)學(xué)課程中應(yīng)采取的對策。

2 映射與函數(shù)

集合、映射與函數(shù)等知識點高中與大學(xué)一致。在高等數(shù)學(xué)課程中，不必重復(fù)高中已用大量時間學(xué)習(xí)與練習(xí)的內(nèi)容。但函數(shù)是高等數(shù)學(xué)課程研究的主要對象，在講完高數(shù)課程緒論后，對這部分還需要有重點地安排一些內(nèi)容，進行一些說明。具體方法如下。

（1）回顧初中課程里函數(shù)的“變量說”與高中課程里函數(shù)的“對應(yīng)說”定義，指出在將常量視為變量的特例后，兩種提法實質(zhì)相同。前者直觀，后者嚴(yán)謹(jǐn)。

注：將常量視為變量，在高等數(shù)學(xué)中常見，是為分類等研究需要而采用的常用方式，如在幾何中有時將直線看作曲線的特例，將平面看作曲面的特例等，但有學(xué)生可能不習(xí)慣，所以這里提及，以使得學(xué)生逐漸習(xí)慣高等數(shù)學(xué)的思維方法。

（2）指明函數(shù)與映射的關(guān)系，即函數(shù)是特殊的一種映射，映射是諸如函數(shù)、平面圖形面積、立體體積、曲線弧長、事件域上概率、向量集到向量集的變換等的抽象和一般化。

注：平時常說的“函數(shù)思想”實際指的是，在非常廣泛問題中存在的映射或可使用的映射方法。

（3）在回顧函數(shù)概念時，可擴展的內(nèi)容有余切、正割、余割，這3個可以作為正切、余弦、正弦的倒數(shù)得到。關(guān)于這些函數(shù)的圖形、性質(zhì)等可以借助數(shù)學(xué)軟件如Mathematica在課外由學(xué)生繪制、探索。更進一步地，所有基本初等函數(shù)的圖形都可用軟件繪制。還可根據(jù)情況介紹雙曲函數(shù)的知識（選學(xué)內(nèi)容）。

（4）通常提到函數(shù)的表示法有3種（解析法、列表法、圖像法）。在高等數(shù)學(xué)課程中，還有一種也常用，就是描述法，如高斯取整函數(shù)、某數(shù)集的特征函數(shù)等就是用描述法定義的。

注：這也是將高中內(nèi)容擴展。讓學(xué)生將過去與現(xiàn)在聯(lián)系起來，不斷擴展知識。

（5）將單調(diào)性函數(shù)擴展為非增（非減）函數(shù)。由于中學(xué)非常熟悉用導(dǎo)數(shù)符號判斷函數(shù)的增減性，自然可以引出非增（非減）函數(shù)的判別定理，后面可對這些嚴(yán)格證明。這里的討論是為后面課程內(nèi)容做鋪墊。另外還應(yīng)指出（盡管非常簡單）線性函數(shù)的增減性與斜率的關(guān)系。

注：線性函數(shù)的斜率（變化率）即導(dǎo)數(shù)為正，函數(shù)增；斜率為負(fù)，函數(shù)減。這樣一般函數(shù)用導(dǎo)數(shù)判別單調(diào)性的結(jié)論也就容易聯(lián)想記憶。利用導(dǎo)數(shù)信息認(rèn)識基本初等函數(shù)，則其增減性顯得一目了然，這樣可幫助學(xué)生學(xué)習(xí)與記憶。

（6）關(guān)于反函數(shù)，中學(xué)要求偏弱，僅介紹了概念及少數(shù)例子。在高等數(shù)學(xué)課程中連續(xù)函數(shù)運算部分，可用單調(diào)連續(xù)函數(shù)存在反函數(shù)且連續(xù)這結(jié)論，以例子形式，學(xué)習(xí)4個反三角函數(shù)及其連續(xù)性，并用軟件繪其圖形。如在 上單調(diào)增加、連續(xù)，故其存在反函數(shù)，記作，其他3個如反余弦、反正切、反余切類似引入。

注：在介紹反函數(shù)存在及連續(xù)性定理過程中，比較自然地補充了反三角函數(shù)內(nèi)容（中學(xué)未講，但學(xué)高數(shù)課程必備）。

（7）在中學(xué)數(shù)學(xué)（必修1）關(guān)于“函數(shù)的應(yīng)用”一章里有關(guān)方程根與函數(shù)的零點，涉及的例子，與高等數(shù)學(xué)相關(guān)內(nèi)容（閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)）比，都比較簡單（低次多項式）而且以幾何方式給出。這可以使在高等數(shù)學(xué)課程里省去引入問題的時間，討論時可直接以分析方式討論一般函數(shù)零點或方程根的情況。另外還可介紹用軟件如Mathematica求方程根的方法。

注：把高中所講內(nèi)容當(dāng)作基礎(chǔ)和鋪墊，可節(jié)省高數(shù)課程學(xué)時。類似地，遇到高中討論過的內(nèi)容如微積分、向量代數(shù)、空間幾何等內(nèi)容都可如此處理。

3 一元微分學(xué)

3.1 導(dǎo)數(shù)定義

引入概念實際背景，導(dǎo)數(shù)定義及其幾何意義、物理意義，高中數(shù)學(xué)（選修2-2）比較高數(shù)課程差別不大，而且引例與導(dǎo)數(shù)實例相比高等數(shù)學(xué)課程中的更新穎、貼近生活。因此在高數(shù)課程中，引入導(dǎo)數(shù)概念時，可直接承繼高中部分，簡要回顧后就可以導(dǎo)數(shù)定義為起點進行教學(xué)討論。下面從概念理論、計算兩方面來分析高中與高數(shù)課程所講微分學(xué)的關(guān)系與高數(shù)課程采取的處理方式。

（1）從導(dǎo)數(shù)定義，引出左、右導(dǎo)數(shù)概念，給出函數(shù)可導(dǎo)的充要條件。討論函數(shù)可導(dǎo)與連續(xù)的關(guān)系。這里對有關(guān)結(jié)論要求推導(dǎo)證明，在這過程中深化對導(dǎo)數(shù)概念的理解和認(rèn)識，體會極限的作用。

（2）在高中沒強調(diào)導(dǎo)數(shù)的各種記號，多使用朗格朗日記號，在高數(shù)課程中為了后續(xù)內(nèi)容（微分、高階導(dǎo)數(shù)等）需要與便利，要介紹幾種記法，并在高階導(dǎo)數(shù)講解時加以強調(diào)。

（3）導(dǎo)數(shù)基本公式，高中（選修2-2）只介紹8個（同濟版教材[1]是16個，比高中內(nèi)容多了等三角函數(shù)及4個反三角函數(shù)的導(dǎo)數(shù)公式），導(dǎo)數(shù)計算也限于相對簡單的函數(shù)。由于高中數(shù)學(xué)課標(biāo)（實驗）中沒有要求極限的具體內(nèi)容，因此基本導(dǎo)數(shù)公式推導(dǎo)，及利用導(dǎo)數(shù)定義求極限，在高數(shù)課程里都要明確要求。重點利用導(dǎo)數(shù)定義推導(dǎo)正弦、余弦、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)等導(dǎo)數(shù)基本公式（到這里學(xué)生會明白了“重要極限”的作用）。在討論導(dǎo)數(shù)運算法則時推演其它基本導(dǎo)數(shù)公式。注意在推導(dǎo)正弦與余弦導(dǎo)數(shù)公式之前先推導(dǎo)正弦或余弦的“差化積”公式（高中未要求，但利用正弦或余弦的“加法公式”不難推出）。

3.2 導(dǎo)數(shù)基本公式與運算法則

高中介紹了導(dǎo)數(shù)四則運算法則和復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)法則，但未證明。高數(shù)課程則要利用極限工具證明這些法則，并利用商的求導(dǎo)法則來推導(dǎo)其余三角函數(shù)（包括中學(xué)未講過的正切、余切、正割、余割函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)公式，利用反函數(shù)求導(dǎo)法則推導(dǎo)反三角函數(shù)導(dǎo)數(shù)公式等。高等數(shù)學(xué)課程與高中所講內(nèi)容相比：一是內(nèi)容擴展了，二是要求提高了（不但要求會用公式、法則，還要能推導(dǎo)）。對于導(dǎo)數(shù)計算，高中僅要求幾種簡單函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，而高數(shù)課程則要求能計算一般初等函數(shù)（包括隱函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)及高階導(dǎo)數(shù)。

3.3 微分

中學(xué)并未討論微分，但導(dǎo)數(shù)與微分關(guān)系密切，有關(guān)導(dǎo)數(shù)計算及運算法則都對應(yīng)相應(yīng)的微分法則。過去由于課時限制，高數(shù)課程上過多地討論導(dǎo)數(shù)，對微分關(guān)注相對較少?，F(xiàn)在由于中學(xué)已介紹了較多導(dǎo)數(shù)內(nèi)容，所以高數(shù)課程中就有時間多對微分這部分進行討論。對于將來學(xué)習(xí)來講，微分的概念與運算更為重要。比如微分易于推廣到多維空間理論，而在計算復(fù)合函數(shù)、隱函數(shù)（包括由數(shù)個方程確定的隱函數(shù)）的導(dǎo)數(shù)時，微分運算也具有一定的優(yōu)勢。

3.4 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

如判別函數(shù)單調(diào)性，求函數(shù)極值，求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值與最小值，及求解最值的應(yīng)用題。是中學(xué)數(shù)學(xué)里的重點，也是高數(shù)課程的基本要求。在高數(shù)課程中，除了關(guān)注計算外，還要求對相關(guān)定理證明，如（利用微分中值定理）證明單調(diào)性判別定理，并加以拓展：關(guān)于非減（或非增）函數(shù)的判別定理（及其證明），比較這兩個定理的區(qū)別與聯(lián)系。

關(guān)于極值判別，中學(xué)講過的一階導(dǎo)數(shù)條件在高數(shù)課程可略講，而側(cè)重利用二階導(dǎo)數(shù)條件判別極值，選擇的例子可以是三角函數(shù)一類。關(guān)于最值問題，閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)最值求法可略但要有要求，重點放在非閉（開、半開、無窮）區(qū)間上的函數(shù)最值求法。

3.5 函數(shù)

（圖形）的凹凸性判別及拐點的求法，在內(nèi)容結(jié)構(gòu)設(shè)計上類似函數(shù)單調(diào)性判別及求極值，這點要給學(xué)生提示。一段時間來，由于學(xué)時少，因而在高數(shù)課程中會有這樣的現(xiàn)象：更側(cè)重單調(diào)性和極值部分，而關(guān)于凹凸性問題相對著墨較少。而在中學(xué)已對單調(diào)性和極值內(nèi)容關(guān)注較多的情況下，高數(shù)課程可以在凹凸性問題上側(cè)重些。在考慮單調(diào)性時，可能會從最簡單的一次函數(shù)提起，斜率，則函數(shù)遞增；斜率，則函數(shù)遞減。進而自然地引出一般函數(shù)單調(diào)性的判別（定理）問題。在考慮凹凸性時，可先讓學(xué)生回顧在中學(xué)關(guān)于二次函數(shù)的討論（其二次曲線的對稱軸、頂點、零點等），若用微分法考慮則大大簡化問題。設(shè)二次函數(shù)為，使點即駐點； 時，曲線開口向上（即曲線為凹?。瑫r，曲線開口向下（即曲線為凸?。?。對于更復(fù)雜的函數(shù)曲線就需要凹凸性的概念（而不僅是開口向上或下這樣的語言了）來刻畫，用二階導(dǎo)數(shù)來研究一般函數(shù)（圖形）的凹凸性，就是高數(shù)課程中有關(guān)凹凸性的判別定理。用這種方式引入凹凸性概念會比較自然，易于為初學(xué)者接受。

關(guān)于函數(shù)（圖形）凹凸性，還可以和函數(shù)的單調(diào)性相聯(lián)系。比如函數(shù)單調(diào)遞增，而遞增可以更細(xì)分為：函數(shù)遞增但增長率遞減（）（慢增）；函數(shù)遞增且增長率遞增（）（快增）。對于單調(diào)遞減也可類似細(xì)分。這樣深化了對函數(shù)（圖形）凹凸性的理解。

3.6 繪制函數(shù)圖形

這是高等數(shù)學(xué)課程的要求，也是用微分法綜合研究函數(shù)各方面性質(zhì)的體現(xiàn)。對于這部分，非常適合采用數(shù)學(xué)軟件。其他像方程求根、各種類型函數(shù)的（高階）導(dǎo)數(shù)計算等，都可以而且應(yīng)該結(jié)合數(shù)學(xué)軟件。方式是由學(xué)生在課外操作，教師課上適當(dāng)指導(dǎo)即可。

在高等數(shù)學(xué)課程的學(xué)習(xí)過程中，比較高中會更強調(diào)概念、理論及問題的理解，而上面我們的一些做法和考慮在一定程度上正是滿足了這樣的課程要求。

4 一元積分學(xué)

4.1 定積分概念

高中數(shù)學(xué)介紹定積分概念的來源背景，給出了定積分定義，不過定義比高數(shù)課程的定義要特殊一些。高數(shù)課程中的定積分定義更一般、嚴(yán)謹(jǐn)。高數(shù)課程就可以在分析這樣的區(qū)別中給出定積分的定義。并且指出對連續(xù)函數(shù)來說，高中定義與高數(shù)課程的定義實際相同。在高數(shù)課程中，由于高中在關(guān)于定積分概念引入等做了很多工作，高數(shù)課程就可以更注重定積分性質(zhì)、利用變限定積分法表示新型函數(shù)等內(nèi)容。這樣可以突出定積分的重點與價值。

4.2 定積分計算

高中數(shù)學(xué)介紹了用微積分定理（牛頓-萊布尼茲公式）計算定積分方法。高數(shù)課程內(nèi)容的重點在于理解和證明微積分基本定理（分為兩個部分：一是變上限函數(shù)求導(dǎo)定理；二是牛頓-萊布尼茲公式），并且也要求學(xué)生會做。除了普通計算，高數(shù)課程還要求利用數(shù)學(xué)軟件（如Mathematica）計算原函數(shù)、定積分。

4.3 定積分應(yīng)用

現(xiàn)在由于學(xué)時緣故，高數(shù)課程定積分應(yīng)用大多考慮幾何應(yīng)用。而目前高中課程中，也介紹了物理應(yīng)用，在高數(shù)課程中就更應(yīng)根據(jù)專業(yè)適當(dāng)選擇一些物理、工程、經(jīng)濟中的定積分問題加以介紹，以更全面地理解定積分思想和方法。

5 結(jié)語

不斷跟蹤中學(xué)數(shù)學(xué)教育的變化發(fā)展，在高等數(shù)學(xué)課程中做出相應(yīng)的改變，并且在課程中與中學(xué)內(nèi)容有機結(jié)合，可促使學(xué)生勤思考、提高學(xué)生學(xué)習(xí)興趣與主動性，從而保證高等數(shù)學(xué)課程的教育質(zhì)量。

參考文獻(xiàn)

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