貝葉斯頻率估計中頻率的先驗分布對有色噪聲作用的影響?

楊棣 王元美 李軍剛

(北京理工大學物理學院,北京 100081)

1 引 言

量子參數估計作為量子度量學中的重要內容之一,在量子基礎物理學和量子信息學中有著重要的研究意義[1?7].近些年來,在不同的物理系統(tǒng)和不同的外部環(huán)境下進行參數估計的研究工作已經取得了重大的進展[8?12].量子參數估計過程大致可以分為如下三部分:首先制備合適的最優(yōu)量子探測系統(tǒng),然后通過探測系統(tǒng)與待測系統(tǒng)的相互作用把待測參數加載到探測系統(tǒng)上,最后對探測系統(tǒng)的末態(tài)進行測量并從測量結果中估計出待測參數的值.在量子參數估計的過程中,最重要的就是要盡可能準確地估計待測參數[13].在量子參數估計理論中,存在兩種不同的方法來研究參數估計過程[14,15].一種是基于量子費舍爾信息的Cramér-Rao bound(CRB)方案[3,4,16?20],量子費舍爾信息作為參數估計中一個非常重要的概念,其在理論上給出了一般參數估計實驗所能達到的最大估計精度極限[21,22],CRB方法在量子參數估計理論研究中有著特殊的地位并已得到了廣泛的研究[23?25].第二種是貝葉斯估計方案[3].貝葉斯參數估計作為一個很重要的參數估計方案,在實驗設計和數據處理中發(fā)揮著重要的作用,因而被廣泛應用到各個研究領域中.在貝葉斯參數估計方案中利用貝葉斯代價函數來評判估計的精度,可以通過研究貝葉斯代價函數隨時間變化的動力學行為從而找到優(yōu)化方案的方法.以上兩種方法主要的區(qū)別在于對被估參數的先驗信息的要求不同:在CRB方法中,幾乎要確切知道被測參數的值才能給出最優(yōu)的測量基,進而得到最優(yōu)的估計精度,因此CRB方法在實際實驗操作中很難實現.相反地貝葉斯方案只需要知道被測參數的部分信息,就可以給出合適的測量基進而得到最優(yōu)的估計精度,因此更有利于實驗上實現.

嚴格而言,自然界中不存在任何孤立的量子系統(tǒng)[26].例如:在固態(tài)探測系統(tǒng)的實現方面,特定材料的漲落通常會導致固有噪聲的產生.多年的實驗和理論研究都證實了譜密度為1/fα型量子噪聲的存在[27,28].許多情況下導致系統(tǒng)噪聲的環(huán)境可以看作是由漲落子構成的,它們會引起量子比特系統(tǒng)的相位相干性的衰減.在很多重要的物理系統(tǒng)中,由漲落子所產生的噪聲被認為是非高斯的[29].在實際的量子參數估計過程中,尤其是利用固體探測系統(tǒng)來做參數估計的過程中,我們不可避免地要考慮到這種非高斯有色噪聲的影響.

文獻[23]基于CRB方法研究了在有色噪聲作用下頻率估計的精度問題,研究發(fā)現,強耦合和弱耦合的條件下都會使參數估計的精度增加.前面提到,CRB方法對被估計參數的先驗概率需求比較大,當對被估計參數的信息了解不足時,文獻[23]中的結論是否成立還不是很清楚,因此利用貝葉斯方法來研究有色噪聲作用下的頻率估計問題非常必要.

本文考慮一個處于譜密度為1/fα型的有色噪聲下的自旋為1/2的量子比特系統(tǒng)來估計一個未知強度的磁場,重點研究在廣義的先驗概率分布下的貝葉斯頻率估計問題.通過研究貝葉斯代價函數隨時間的變化規(guī)律來分析頻率的先驗分布對貝葉斯估計過程中非高斯性的抑制行為;討論在先驗概率的不確定度不同的情況下,非高斯性對頻率估計精度的影響;進而找到如何合理地利用先驗概率的分布情況來提高頻率估計的精度的方法.

2 模 型

本文主要研究量子比特系統(tǒng)在有色噪聲下的頻率估計問題.在固態(tài)量子器件中,譜密度為1/fα型的有色噪聲是引起退相干的主要原因,其中參數α的取值范圍從1到2.有色噪聲的“色”可以按照α的取值不同來分類.例如,α=1對應粉色1/f噪聲;當α=2時,譜密度為1/f2的噪聲與布朗運動相聯(lián)系,所以也被一語雙關地稱為棕色噪聲.有色噪聲的作用可以看成是量子比特系統(tǒng)與大量雙態(tài)漲落子耦合的綜合效果,其中每個漲落子與系統(tǒng)的耦合作用可以用隨機電報噪聲模型來描述,或者可以用翻轉率隨機變化的單個隨機電報噪聲模型來描述.所以有色噪聲可以用許多不同翻轉率的隨機電報噪聲的線性疊加來表示.對于每個翻轉率為ζ的漲落子的概率分布可以表示如下[30]:

為了給出有色噪聲作用下量子比特系統(tǒng)的密度矩陣,首先給出單個翻轉率為ζ的漲落子影響下量子比特系統(tǒng)的動力學特性.此時待測系統(tǒng)的哈密頓量可以表示為

其中,σz是與量子比特系統(tǒng)相對應的泡利算符;ω代表待測參數,這里是待估計的磁場的大小;μ和ν分別是量子比特系統(tǒng)和磁場以及環(huán)境之間的相互作用強度;c(t)代表由于漲落子的影響而引入的隨機過程.注意到(2)式給出的哈密頓量表示了一個純相位耗散過程,這也是開放系統(tǒng)中一個經典的模型.

通過對c(t)求平均,可以得到量子比特系統(tǒng)的密度矩陣為

其中,〈·〉代表對所有的數求平均值,隨機密度矩陣定義為

本文選用隨機電報噪聲模型來表示漲落子對系統(tǒng)的影響.經過計算并對其中出現的參數重新標度,即令γ=ζ/μ,η=ν/μ且τ=μt,得到單個漲落子作用下的量子比特系統(tǒng)的約化密度矩陣[31]:

這里

當考慮大量的漲落子集體作用時,可以通過對漲落子概率分布的統(tǒng)計平均而得到有色噪聲作用下量子比特系統(tǒng)的密度矩陣,即這里的?α(γ)是重新標度之后的概率分布.最后得到

這里G(τ)為有色噪聲的噪聲項,可以表示為

其中,Nf指的是漲落子的數目,本文中取Nf=5,γ1=0.01且γ2=100.值得注意的是G(τ)隨時間的變化特點由α的大小來決定.從(1)式可以看出,當α的值很大時,翻轉率較小的漲落子占的比例較大,此時噪聲的非高斯性就表現得比較明顯,而系統(tǒng)與漲落子之間的有效耦合強度較大而當α的值很小時,翻轉率大的漲落子占的比例大,此時環(huán)境的非高斯性變弱,而系統(tǒng)與漲落子之間的有效耦合強度變弱.下面先簡單介紹貝葉斯代價函數的普適定義,然后給出量子比特系統(tǒng)下的貝葉斯代價函數的通用表達式.

3 貝葉斯代價函數

其中,Tr代表求跡符號.貝葉斯代價函數定義為

這里?代表參數ω和χ所有的取值區(qū)間.厄米算符(χ)定義為

這里Cχ,ω表示參數的估計值和真實值差值的平方,

把(13)式代入(12)式,可以得到

這里

本文考慮單個量子比特系統(tǒng),因此可以用布洛赫矢量來表示相關的物理量[1].假定待測系統(tǒng)的初態(tài)為=|ψ〉〈ψ|,其中|ψ〉=cos(θ/2)|0〉+sin(θ/2)|1〉.然后利用布洛赫矢量和密度矩陣的關系式可以得到

其中,l0是一個實數,=(lx,ly,lz)是一個實向量,而且

將(25)式代入(19)式, 可以得到l0的值和的表達式.

最后,利用(26)和(27)式計算出相應的物理量,然后代入文獻[32]的(24)式便得到一個量子比特系統(tǒng)下的貝葉斯代價函數為[32]

這里Vpω是先驗概率的方差,其中,

通過分析(28)式可以發(fā)現,θ=π/2對應的態(tài)是系統(tǒng)的最優(yōu)初態(tài).因此我們得到最優(yōu)初態(tài)和最優(yōu)測量下的貝葉斯代價函數

在(29)式中,|G(τ)|2表示噪聲項,噪聲特性對貝葉斯代價函數的影響主要是通過它來體現的.可以看到,噪聲項的前面還有一個系數[A(τ)]2,當該系數的值比較大時,噪聲的影響效果比較大;當該系數比較小時,將會導致噪聲的影響效果不明顯,而它的大小與先驗概率的分布有關,因此我們可以說先驗概率會影響噪聲對估計精度的影響.注意到上面我們利用布洛赫矢量方法得到了與文獻[33]中(23)式相似的結果,這說明本文所得結果是有效的.下面利用(29)式來具體討論貝葉斯代價函數在有色噪聲的影響下隨時間變化的動力學行為.

4 先驗概率的影響

在這一部分,我們將研究在有色噪聲的作用下如何利用貝葉斯參數估計方法來估計頻率ω的大小,并通過研究貝葉斯代價函數隨時間變化的動力學行為來考察參數的先驗概率對估計過程的影響.首先假設待估計頻率滿足廣義的先驗概率分布[15]

其中,

文獻[23]基于CRB方法研究了有色噪聲作用下頻率估計的精度問題,發(fā)現強耦合和弱耦合的條件下都會使參數估計的精度增加.而當我們對參數的先驗信息了解不是很全面時,有色噪聲對參數估計的影響情況還不是很清楚.為了討論當先驗信息不足時以上結論是否成立,圖1給出了貝葉斯代價函數最小值隨α以及貝葉斯代價函數隨時間τ的變化特性.

圖1(a)給出了當β=0.1時,貝葉斯代價函數最小值Cmin隨著α變化的曲線.從圖1(a)可以看到,貝葉斯代價函數最小值Cmin開始隨著α的增大而增大,當達到最大值后,又隨著α的增大而減小.這個變化趨勢與文獻[23]的結果一致,變化的趨勢可以通過貝葉斯代價函數的動力學特性來解釋.圖1(b)給出了當β=0.1時,貝葉斯代價函數C(τ)隨時間τ的動態(tài)演化過程.從圖1(b)可以看到,當α比較小時(如α=1.0時),C(τ)一開始隨著τ的增大而減小,當達到最小值后,C(τ)又隨著τ的增大而增大,之后趨于一個有限值.這個變化特性可以這樣來理解:在貝葉斯參數估計中考慮了先驗概率對估計精度的影響,因此在貝葉斯代價函數中出現了先驗概率的方差Vpω,見(32)式;又由于(32)式右邊第二項小于或等于零,所以貝葉斯代價函數的值被限制在Vpω以內;在未進行測量時,可以從參數的先驗分布來估計參數的值,相應的估計精度正好是先驗概率的方差,因此圖1(b)中貝葉斯代價函數值在τ=0時等于先驗概率的方差值;隨著時間的增加,測量所獲得的信息也逐漸增加,因此貝葉斯代價函數會隨著時間的增加而減小,然而由于外部噪聲的影響也同時隨著時間的增加而增加,因此當時間進一步增大時,噪聲的影響效應占了主導地位,貝葉斯代價函數則會在達到極小值后隨時間的增大而增大,進而趨向一個穩(wěn)定的有限值.從圖1(b)以及進一步的數值計算結果還可以發(fā)現,當α從1開始增加時,C(τ)的最小值也隨之增加.這是因為當α的取值比較小時,翻轉率大的漲落子出現的概率比較大,而系統(tǒng)與漲落子之間的相對耦合強度較弱,環(huán)境對估計精度的影響小,從而C(τ)的最小值也就比較小.這正是圖1(a)左端Cmin隨著α的增大而增大的原因.

圖1(b)中還有一個有趣之處是,隨著α增大,C(τ)隨時間的演化過程中出現了第二個波谷,并且α的取值越大,這個波谷變得越明顯.不難發(fā)現,當取較大的值α=2時,振蕩非常明顯以至于貝葉斯代價函數在第二個波谷處達到最小值,并且其最小值比α=1.0和α=1.5時的最小值都小.我們可以這樣解釋:當α的取值比較大時,翻轉率小的漲落子出現的概率增大,此時噪聲的非高斯性顯現出來從(32)式可以看出,貝葉斯代價函數的值與[A(τ,β)]2|G(τ)|2有關,當選取的β值比較小時,先驗概率的不確定度比較小,使得[A(τ,β)]2在|G(τ)|2出現振蕩時取得較大的值,此時環(huán)境的非高斯性表現得非常明顯,進而有效地提高了參數估計的精度,這正是圖1(a)右端Cmin隨α的增大而減小的原因.

圖1 貝葉斯代價函數最小值隨α以及貝葉斯代價函數隨時間τ的變化特性 (a)β=0.1;(b)β=0.1,α=1.0,1.5,2.0;(c)β=1.0;(d)β=1.0,α=1.0,1.5,2.0Fig.1.The behaviors of the minimal value of Bayes cost as a function of α and Bayes cost as a function of τ:(a)β=0.1;(b)β=0.1 and α=1.0,1.5,2.0;(c)β=1.0;(d)β=1.0 and α=1.0,1.5,2.0.

以上結論是否對所有情況都成立呢?進一步的數值計算之后我們發(fā)現,情況并非如此.上面的結論只適用于先驗概率的不確定度比較小時(例如β=0.1的情況),而當先驗概率的不確定度比較大時,貝葉斯代價函數的動力學行為卻有著很大的差別.

圖1(c)給出了當β=1.0時貝葉斯代價函數最小值Cmin隨α的變化曲線.從圖1(c)可以看出,當α比較小時,Cmin的變化規(guī)律與β=0.1時的情況一致,隨著α的增大而增大.不同的是,當α比較大時,Cmin仍然隨著α的增大而增大,沒有減小的趨勢.這仍可從貝葉斯代價函數的動力學特性來解釋.圖1(d)給出了當β=1.0且α=1.0,1.5,2.0時,貝葉斯代價函數隨τ的變化曲線.比較圖1(d)中三條曲線的最小值可以發(fā)現,隨著α的增大,貝葉斯代價函數的最小值也隨之增大.這是由于隨著α的增大,系統(tǒng)與漲落子之間的相對耦合強度增大,量子比特系統(tǒng)受環(huán)境的影響變大,相應的估計精度變得越來越小,即貝葉斯代價函數所能達到的最小值也隨之增大.然而當α進一步增大時,并沒有顯著地出現第二個波谷,貝葉斯代價函數仍然在第一個波谷處取得最小值.這是由于當β=1.0時,先驗概率的不確定度比較大,使得|G(τ)|2出現振蕩時對應的[A(τ,β)]2比較小,因此環(huán)境的非高斯性被壓制,對提高參數估計的精度沒有太大的幫助.

比較圖1(a)和圖1(c)可以得到以下結論:掌握的先驗信息越多,有色噪聲的非高斯性就越顯著,進而可以提高頻率的估計的精度;相反,當掌握的先驗信息非常少時,有色噪聲的非高斯性被壓制,使得頻率估計的精度下降.

我們還研究了在有色噪聲的作用下,貝葉斯代價函數在高斯先驗概率和均勻先驗概率下隨時間變化的動力學行為,發(fā)現貝葉斯代價函數在這兩種先驗概率下隨時間變化的動力學行為與在廣義的先驗概率下隨時間變化的動力學行為是相似的.總而言之,當先驗概率的不確定度比較小時,利用有色噪聲的非高斯性,可以使頻率估計更加準確.而當先驗概率的不確定度比較大時,則會降低頻率估計的精確度.

5 結 論

本文利用貝葉斯估計方法研究了1/fα型譜密度的有色噪聲對頻率估計精度的影響,重點討論了廣義先驗概率的不確定度對有色噪聲作用的影響.研究發(fā)現,先驗概率的不確定度對貝葉斯代價函數有著很大的影響.對于先驗概率的不確定度比較小的情況,如果α的取值非常小以至于系統(tǒng)與漲落子之間的相對耦合強度較弱,環(huán)境對估計精度的影響小,這時頻率測量就會更加準確;當α的取值非常大時,噪聲的非高斯性顯現出來,這時頻率估計也會更加準確.然而對于先驗概率的不確定度比較大的情況,噪聲的非高斯性被抑制,不能再為頻率的估計精度的提高起到促進作用.如果在實驗中已知先驗概率的分布情況,利用有色噪聲的非高斯性,可以提高測量的精度.

近年來機器學習技術正在被應用到各個領域,比如文獻[34,35]利用機器學習技術來推斷量子系統(tǒng)的哈密頓量,文獻[36]則把機器學習用在了量子系統(tǒng)的消相干刻畫方面.把本文的結果與機器學習方法結合起來,將是一個很有意義的研究方向.

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