線性不可逆熱力學(xué)框架下一個無限尺寸熱源而有限尺寸冷源的制冷機(jī)的性能分析?

張榮 盧燦燦 李倩文 劉偉 白龍

(中國礦業(yè)大學(xué)物理科學(xué)與技術(shù)學(xué)院,徐州 221116)

1 引 言

當(dāng)前,能源的存儲和利用已經(jīng)成為全世界所面臨的一個重要問題.由于不可再生能源的日益枯竭(例如:石油,煤炭,天然氣等),有效利用不可再生和可再生能源已經(jīng)成為節(jié)約能源和維持社會可持續(xù)發(fā)展的重要途徑之一.熱機(jī)作為一種將熱能轉(zhuǎn)換為機(jī)械能的裝置,自發(fā)明以來一直在人們的工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和生活中發(fā)揮著重要作用.值得注意的是,熱機(jī)(包括制冷機(jī))的效率η(制冷系數(shù)ε)會受到卡諾定理的限制,即η≤ηC=1?Tc/Th[ε≤εC=Tc/(Th?Tc)],這里Th和Tc分別是高低溫?zé)嵩吹臏囟?ηC和εC分別是卡諾效率和卡諾制冷系數(shù).然而,由于卡諾熱機(jī)(制冷機(jī))的工作過程是準(zhǔn)靜態(tài)過程,導(dǎo)致其輸出(輸入)功率為零,這使得基于卡諾循環(huán)的熱設(shè)備的使用受到了極大制約.20世紀(jì)50—70年代,Yvon,Chambadal,Novikov,Curzon和Ahlborn等研究了工質(zhì)與高低溫?zé)嵩唇佑|滿足有限時間的熱轉(zhuǎn)移過程[1,2],并給出了有限時間條件下的熱機(jī)在最大功率時的效率,即所謂CA效率他們的先驅(qū)性工作標(biāo)志著有限時間熱力學(xué)的誕生.隨后,有限時間熱力學(xué)與線性不可逆熱力學(xué)的等價性被證明[3],這進(jìn)一步豐富了有限時間熱力學(xué)的科學(xué)內(nèi)涵.目前,有限時間熱力學(xué)因其理論的實用性已經(jīng)成為熱力學(xué)研究的一個活躍領(lǐng)域[4?12].

眾所周知,人們對于熱機(jī)(制冷機(jī))的研究通常是假設(shè)熱源的尺寸無限大(或者高低溫?zé)嵩吹臏囟缺３植蛔?的條件下進(jìn)行的.而事實上,這種理想化的條件使得對于熱機(jī)(制冷機(jī))的性能優(yōu)化缺乏一定的工程實用性.基于有限時間熱力學(xué)方法,一些研究表明高低溫?zé)嵩吹某叽鐚τ跓釞C(jī)性能有著重要影響[13?16].高低溫?zé)嵩淳鶠橛邢蕹叽缜闆r下的熱機(jī)研究給出了一個內(nèi)可逆循環(huán)熱機(jī)性能的優(yōu)化關(guān)系[17].基于線性不可逆熱力學(xué)方法,高溫?zé)嵩闯叽缬邢薅湓闯叽鐭o限情況下的研究表明:在緊耦合條件下熱機(jī)的最大輸出功為有效能的一半,相應(yīng)的效率也是基于輻射能定義的最大熱力學(xué)效率的一半[18].一個關(guān)于高低溫?zé)嵩淳鶠橛邢蕹叽绲臒釞C(jī)性能的系統(tǒng)性研究給出了熱機(jī)工作在線性響應(yīng)和非線性響應(yīng)區(qū)域的優(yōu)化途徑[19,20].因此,熱源有限尺寸的熱設(shè)備的性能研究因其具有工程實踐性價值已經(jīng)成為有限時間熱力學(xué)研究領(lǐng)域的一個重要課題。

然而,目前人們更多關(guān)注有限尺寸熱源(或冷源)熱機(jī)的性能優(yōu)化問題,而對于高溫?zé)嵩闯叽鐭o限而冷源尺寸有限的制冷機(jī)的性能研究較少,其實該制冷過程對應(yīng)于一個有限尺寸的物體(冷源)被冷卻到一個指定的目標(biāo)溫度而外部環(huán)境(熱源)溫度保持不變的一個熱力學(xué)過程,這也是在工程實踐中的常見過程.本文基于線性不可逆熱力學(xué)理論,結(jié)合有限時間熱力學(xué)方法,研究了一個有限尺寸低溫?zé)嵩吹闹评錂C(jī)(保持高溫?zé)嵩礋o限)的工作執(zhí)行,解析性地給出了該制冷機(jī)在緊耦合條件下的輸入功率和制冷系數(shù)的表達(dá)式,并且進(jìn)一步討論了該制冷機(jī)的性能優(yōu)化問題.本文的研究結(jié)果有助于人們深入理解制冷機(jī)的實際工作過程.

2 物理模型和公式

本文的制冷機(jī)模型如圖1所示,假設(shè)該制冷機(jī)冷源的初始溫度為Tc0,制冷的目標(biāo)溫度為Tcf,Th為高溫?zé)嵩吹臏囟?保持不變),T是冷源在制冷過程中的溫度,CV=CV(T)為冷源的等體熱容量.當(dāng)外界輸入無限小功dA時,工質(zhì)從冷源吸收的無限小熱量為dQc,則該制冷機(jī)在工作過程中外界的輸入功A為

其中,εT是制冷系數(shù),為對應(yīng)該過程的卡諾制冷系數(shù).一個閉合的熱力學(xué)系統(tǒng)與其外界周圍環(huán)境構(gòu)成一個復(fù)合熱力學(xué)系統(tǒng),外界對這個復(fù)合熱力學(xué)系統(tǒng)所做的最小功就是制冷機(jī)的輻射能.因此,外界輸入制冷的最小功(也稱輻射能)E為

這里Ui(Si)(i=c0,cf)是冷源在初態(tài)和末態(tài)的內(nèi)能(熵).在計算過程中使用了如下定義:

這樣,制冷系數(shù)ε可以表示為

其中,εmax是工程上的最大熱力學(xué)制冷系數(shù).當(dāng)CV→∞時(對應(yīng)于一個等溫過程),則(Uc0?Ucf)/Tc0=Qc/Tc0=Sc0?Scf,這樣,εmax即為卡諾制冷系數(shù)εC=Tc0/(Th?Tc0).

圖1 無限尺寸熱源(溫度為Th)而有限尺寸冷源的制冷機(jī)示意圖 這里,T為t時刻冷源的溫度,CV為冷源的等體熱容量Fig.1.Schematic plot of a refrigerator with an in fi nitesized hot reservoir(temperature Th)and a fi nite-sized cold one.Here,T is the temperature of the cold reservoir at time t,and CVis a heat capacity at constant volume.

基于局域平衡假設(shè)的線性不可逆熱力學(xué)是一個較為完備的理論,能夠描述近平衡態(tài)情況下宏觀熱力學(xué)系統(tǒng)的非平衡演化過程.因此,利用線性不可逆熱力學(xué)方法,本文研究的制冷機(jī)的熱力學(xué)流和力之間的關(guān)系可以表示為:

Lij(i,j=1,2)是Onsager系數(shù),并且L12=L21.表示粒子流密度,為工質(zhì)從冷源吸收的熱流,“˙”表示對時間的導(dǎo)數(shù).整個系統(tǒng)的熵產(chǎn)生率為

根據(jù)熱力學(xué)第二定律,Onsager系數(shù)滿足如下條件:

其中,q2為耦合系數(shù)

則流入高溫?zé)嵩吹臒崃鱆3可以表示為

從初始時刻(t=0)到最終時刻(t=τ)的整個制冷過程中,外界輸入的總功可寫為

這里利用了如下公式:

最后,外界輸入的平均功率(P)和制冷系數(shù)(ε)分別表示為

3 結(jié)果與討論

從方程(15)和(16)可以看出,在制冷時間(τ)固定的情況下,對制冷機(jī)的性能優(yōu)化可以轉(zhuǎn)化為對于積分項的研究.在制冷機(jī)過程中,冷源內(nèi)能的變化可以表示為

結(jié)合方程(9),J1(t)可以表示為

將方程(18)代入方程(11),J3(t)可以寫為

優(yōu)化制冷機(jī)的目的就是使外界輸入功最小,進(jìn)而達(dá)到提高制冷系數(shù)的目的.這一過程就是使積分項最小化,并滿足A＞0.根據(jù)歐拉-拉格朗日方程:

可以得到如下表達(dá)式

這里我們用到了緊耦合條件q2=1.因為在線性不可逆熱力學(xué)中,廣義流與廣義力滿足線性關(guān)系,熱力學(xué)系統(tǒng)的重要信息反映在Onsager系數(shù)中,并且Onsager系數(shù)之間的關(guān)系可以通過耦合因子q2反映出來[見方程(10)],而緊耦合條件通常也是熱機(jī)工作的最佳條件[3,21,22].

方程(21)可以進(jìn)一步寫為

積分方程(22),可以得到

α為積分常數(shù).對方程(23)積分,可以得到

將方程(25)代入方程(15)和(16),平均功率和制冷系數(shù)可以表示為：

從方程(26)可以看出,平均功率P隨著時間的增加呈現(xiàn)單調(diào)遞減趨勢,不存在平均功率P關(guān)于時間τ的最優(yōu)值.這與文獻(xiàn)[8]所述的高溫?zé)嵩礋o限而低溫?zé)嵩从邢薜臒釞C(jī)情況不同,在那里最優(yōu)功為輻射能的一半.當(dāng)τ→∞時,則P→0(對應(yīng)于準(zhǔn)靜態(tài)過程),此時ε=εmax=εC.實際上,對于一個真實的制冷過程,要求τ＞0且為有限值,利用方程(26)并且令Σ=Thβ2,可以得到

將方程(28)代入方程(27)并利用方程(4),可以得到制冷系數(shù)ε與功率P的關(guān)系為

關(guān)系(29)式為進(jìn)一步認(rèn)識制冷系數(shù)與平均功率以及輻射能之間的關(guān)系提供了有力工具.為了能夠更直觀地反映制冷系數(shù)ε與P之間的關(guān)系,考慮到制冷機(jī)真實的工作過程,我們選擇則一組參數(shù):εmax=3,Σ=30 kJ·s,τ=30 s.給定輻射能(E)后,可以根據(jù)方程(26)和(27)粗略地估算出P的最小值和(Uc0?Ucf)的最大值.這樣,不同輻射能(E)條件下,制冷系數(shù)(ε)隨著平均功率(P)的演化行為清晰地反映在圖2中.從圖2可以看出,隨著P的增加,ε呈現(xiàn)出明顯的單調(diào)遞減的特征.同時注意到,E的增加導(dǎo)致了制冷系數(shù)ε的增強(qiáng).這樣的行為可以理解如下:當(dāng)P較小時,意味著時間τ很大,整個制冷過程趨近于準(zhǔn)靜態(tài)過程,制冷系數(shù)ε處于較大值,特別是當(dāng)P→0時,ε→εmax(如圖2所示).P的增加意味著τ的減少,制冷過程逐漸遠(yuǎn)離準(zhǔn)靜態(tài)過程而接近于不可逆的真實過程,這導(dǎo)致制冷系數(shù)呈現(xiàn)出逐漸減小的特征.與之相反,輻射能的增加使得ε呈現(xiàn)出增加的特征.從(26)式可以看出,當(dāng)平均功率P保持不變時,E的增大意味著τ的增加,這導(dǎo)致制冷過程的進(jìn)程緩慢,表現(xiàn)出越來越趨近于準(zhǔn)靜態(tài)行為,因此ε呈現(xiàn)出增加行為.從上述分析可以看出,對于一個低溫?zé)嵩从邢薜闹评溥^程,必須根據(jù)周圍環(huán)境的實際情況和熱設(shè)備的具體參數(shù)來設(shè)計制冷方案,以合適的輸入功率達(dá)到較佳的制冷目的.

圖2 E取不同值時制冷系數(shù)ε與功率P的關(guān)系 其中,εmax=3,Σ =30 kJ·s,τ =30 sFig.2. The coefficient of performance ε versus the power P for different E.Here,εmax=3,Σ =30 kJ·s,τ=30 s.

4 結(jié) 論

工作在有限尺寸的高低溫?zé)嵩粗g的熱設(shè)備的性能優(yōu)化是有限時間熱力學(xué)領(lǐng)域中的一個重要研究課題.本文提出了一個高溫?zé)嵩幢３植蛔兌蜏責(zé)嵩礊橛邢蕹叽绲闹评錂C(jī)模型,結(jié)合有限時間熱力學(xué)和線性不可逆熱力學(xué)理論詳細(xì)地分析了該制冷機(jī)的特性.我們解析性地給出了在制冷目標(biāo)溫度一定情況下的外界輸入功率和制冷系數(shù)表達(dá)式,并且進(jìn)一步討論了這種較為真實的熱力學(xué)過程.發(fā)現(xiàn)在環(huán)境(高溫?zé)嵩?溫度不變而冷源溫度變化的情況下,外界的輸入功率與制冷時間的關(guān)系不存在明確的優(yōu)化關(guān)系,這是與高溫?zé)嵩闯叽缬邢薅湓闯叽鐭o限的熱機(jī)工作過程的一個顯著區(qū)別.進(jìn)一步發(fā)現(xiàn)制冷系數(shù)隨著輸入功率的增加呈現(xiàn)出單調(diào)減小的特征,而輻射能的增加導(dǎo)致了制冷系數(shù)的增強(qiáng).這種輸入功率與制冷系數(shù)的變化關(guān)系是不可逆過程和準(zhǔn)靜態(tài)過程相互競爭的反映.本文的研究結(jié)果不僅有助于深入理解高溫?zé)嵩闯叽鐭o限而冷源尺寸有限的制冷機(jī)的工作過程,而且對于在工程熱力學(xué)上如何根據(jù)具體情況來設(shè)計熱裝置進(jìn)而達(dá)到優(yōu)化制冷也有幫助.本文的方法也可以應(yīng)用到熱泵性能的研究.另外,時間反演破壞會導(dǎo)致緊耦合條件不再成立,更多的物理內(nèi)容有待進(jìn)一步研究.

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