20世紀(jì)30年代謝瓦萊對類域論的重建

閻晨光 王 濤

(河北科技大學(xué)理學(xué)院，石家莊 050018；中國科學(xué)院自然科學(xué)史研究所，北京 100190)

代數(shù)數(shù)論(Algebraic Number Theory)是用代數(shù)方法研究代數(shù)數(shù)域與代數(shù)整數(shù)環(huán)算術(shù)性質(zhì)的數(shù)論分支，在20世紀(jì)有很大發(fā)展，類域論(Class Field Theory)則是其中體系最完美的一種[1]。類域論產(chǎn)生于19世紀(jì)后期的代數(shù)數(shù)論工作。1897年希爾伯特(D. Hilbert，1862～1943)出版《代數(shù)數(shù)域的理論》[2]，被后世稱為《數(shù)論報告》(Zahlbericht)。此書一經(jīng)出版便被數(shù)學(xué)界奉為圭臬，成為數(shù)學(xué)家研究代數(shù)的指路明燈，如阿廷(E.Artin，1898～1962)、哈塞(H.Hasse，1898～1979)等人都以此書為數(shù)論研究的肇始。之后希爾伯特和韋伯(H.Weber，1842～1913)描述了代數(shù)數(shù)域的阿貝爾擴張，并為類域論創(chuàng)立做好了鋪墊。

1920年日本數(shù)學(xué)家高木貞治(T.Takagi，1875～1960)證明代數(shù)數(shù)域k的任意阿貝爾擴張K都可表示為k上的類域，并由此得到類域論基本定理，不過其證明非常繁復(fù)，還用到了解析方法[3]。后來阿廷最先開始簡化證明，而完全消除解析方法的正是法國數(shù)學(xué)家謝瓦萊[4](C.Chevalley，1909～1984)。他在1940年完成了類域論的算術(shù)化工作，使類域論擺脫了繁雜的解析工具。[5]

謝瓦萊對類域論的純粹算術(shù)證明和重建是類域論早期發(fā)展的關(guān)鍵環(huán)節(jié)，對謝瓦萊類域論工作的歷史分析一直是代數(shù)數(shù)論史研究的中心問題之一。關(guān)于其工作的重要性，已有若干研究。高木貞治的學(xué)生、日本數(shù)學(xué)家彌永昌吉(S.Iyanaga，1906～2006)從代數(shù)數(shù)論發(fā)展史角度詳盡地分析了謝瓦萊的工作[6]。彌永昌吉和哈塞是這段歷史的親歷者，他們對謝瓦萊類域論工作的論述也頗有參考價值[7，8]。丟東涅(J.Dieudonné，1906～1992)等數(shù)學(xué)家也對謝瓦萊的相關(guān)工作多有評論[9]，分析了伊代爾概念及理論的數(shù)學(xué)意義[10，11]。中文研究并不多見，筆者曾論及謝瓦萊的類域論工作[12，13]，但因史料所限未能深刻挖掘其與哈塞和阿廷的關(guān)系；其他雖有述及類域論的中文著作對謝瓦萊的研究亦未深入[14- 16]。

2013年和2014年，筆者兩度赴法，史料和研究基礎(chǔ)大為充盈。在研讀原始文獻和數(shù)學(xué)家通信后，圍繞謝瓦萊對類域論的算術(shù)化(Arithmetization)過程，筆者發(fā)現(xiàn)以下兩個問題。

首先是謝瓦萊對類域論算術(shù)化的曲折歷程。謝瓦萊工作中始終貫穿算術(shù)化主線，即消除類域論中的分析方法，代之以代數(shù)方法。但這種算術(shù)化并不是一蹴而就的，直到1934年謝瓦萊仍然懷疑是否能完全消除解析方法，哈塞也持有類似觀點。但1940年謝瓦萊就徹底系統(tǒng)地用算術(shù)方法重建了類域論。這中間到底發(fā)生了什么？他克服了怎樣的困難？目前大多數(shù)歷史研究文獻對此語焉不詳，這是本文要探究的主要問題。其次是謝瓦萊在何種背景下如何完成了類域論的算術(shù)化。毫無疑問，謝瓦萊的工作與其20世紀(jì)30年代在德國的訪學(xué)經(jīng)歷是分不開的。在研究問題和使用方法上，謝瓦萊都受到了哈塞、阿廷等人的影響。本文將謝瓦萊工作置于法德兩國數(shù)學(xué)的發(fā)展背景中，綜合考慮20世紀(jì)上半葉代數(shù)數(shù)論的發(fā)展趨勢，以期更好地解釋謝瓦萊對類域論進行算術(shù)化的原因和初衷。

1 謝瓦萊的數(shù)學(xué)圈子

謝瓦萊是法國二戰(zhàn)后數(shù)學(xué)少壯派代表人物之一，其他重要人物有埃爾布朗(J.Herbrand，1908～1931)、韋伊(A.Weil，1906～1998)、丟東涅等。1926年17歲的謝瓦萊進入巴黎高師，跟隨維西奧(E.Vessiot，1865～1952)、阿達瑪(J.Hadamard，1865～1963)等數(shù)學(xué)家學(xué)習(xí)。由于一戰(zhàn)影響，法國數(shù)學(xué)青黃不接，花甲之年的阿達瑪建議謝瓦萊等年輕人到德國去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。而德國當(dāng)時有一批年富力強的數(shù)學(xué)家，如諾特(E.Noether，1882～1935)、阿廷、哈塞等人，他們主要從事與代數(shù)學(xué)相關(guān)的研究。諾特當(dāng)時在研究“超復(fù)數(shù)系”，即結(jié)合代數(shù)，大大推廣了以前的超復(fù)數(shù)系研究。阿廷則是抽象代數(shù)的另一位奠基者，著文雖少，但對布爾巴基學(xué)派影響頗深。1930年到1935年之間，阿廷作品中的思想方法和表述方式成為當(dāng)時數(shù)學(xué)圈的“標(biāo)準(zhǔn)”。埃爾布朗、謝瓦萊和韋伊都直接受到他的影響。

謝瓦萊與哈塞和阿廷等數(shù)學(xué)家的關(guān)系代表了當(dāng)時歐洲大陸數(shù)學(xué)發(fā)展的趨勢與主要模式。發(fā)掘分析謝瓦萊與德國數(shù)學(xué)家的關(guān)系，將他與布爾巴基學(xué)派聯(lián)系起來，可對謝瓦萊的數(shù)學(xué)背景有更多的認識和分析。相比諾特和阿廷，數(shù)學(xué)家哈塞并不為人們所熟悉，下面對哈塞生平做一簡介。

1898年哈塞出生于德國卡塞爾，在一戰(zhàn)中加入德國海軍，退役后進入哥廷根大學(xué)，其老師有蘭道(E.Landau，1877～1938)、希爾伯特、諾特和赫克(E.Hecke，1887～1947)等人。1920年哈塞到馬堡大學(xué)跟隨亨塞爾(K.Hensel，1861～1941)學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)，受到其p-進數(shù)研究的很大影響，不久便創(chuàng)立“局部-整體原理”，并因此而名聲大噪。1930年哈塞到馬堡大學(xué)接替亨塞爾的教授職位，1934年接替從哥廷根大學(xué)辭職的外爾的職位。二戰(zhàn)期間(1939～1945)他在柏林從事彈道學(xué)研究，1946年謀得柏林科學(xué)院的研究職位，1949年到洪堡大學(xué)任教，1950年到漢堡大學(xué)任教直到1966年退休。1979年哈塞在漢堡附近的阿倫斯堡去世[17]。

謝瓦萊與哈塞過從甚密，多有書信往還。依據(jù)目前掌握的書信資料，他們的通信始于1931年9月25日，止于1948年10月19日，按內(nèi)容可粗略分為兩類。

(1)對數(shù)學(xué)專業(yè)問題的探討，這占據(jù)了通信的多半內(nèi)容。大多數(shù)情況下，二人會在信中探討數(shù)學(xué)細節(jié)，如1931年12月到1932年1月間兩人曾就超復(fù)數(shù)系的理想類在信中進行深入交流([18]，8～10頁)。

(2)謝瓦萊就學(xué)術(shù)相關(guān)問題征詢哈塞的意見。這些問題涉及范圍廣泛，從如何修改論文到紀(jì)念埃爾布朗叢書的編纂出版，從論文投稿到在德國的訪學(xué)安排，不一而足，謝瓦萊幾乎是“事無巨細”地問計于哈塞。如1931年12月31日，為了出版一套紀(jì)念埃爾布朗的叢書[注]謝瓦萊與埃爾布朗是最要好的朋友，兩人在大學(xué)時就已熟識。1931年7月埃爾布朗在一次登山事故中喪生。為紀(jì)念埃爾布朗及其數(shù)學(xué)工作，韋伊和謝瓦萊聯(lián)合了巴黎高師數(shù)學(xué)系的一些畢業(yè)生，想出版一套叢書來紀(jì)念好朋友埃爾布朗。此部分可參考拙作[13]。，謝瓦萊在信中向哈塞約稿。([18]，8～9頁)

當(dāng)然，哈塞也對謝瓦萊青睞有加。在1934年11月16日的一封信中哈塞寫道 ：

您能否在本學(xué)期到哥廷根來做一個報告……這有許多年輕數(shù)學(xué)家對您的研究感興趣，……研究所的日常管理工作牽涉了很大精力，我很少有時間做數(shù)學(xué)研究。不過最近我又重新開始思考一些數(shù)學(xué)問題，……期待能與您在哥廷根當(dāng)面探討這些問題。([18]，33頁)

從哈塞娓娓道來的語氣，二人密切的科研關(guān)系和親密的私人關(guān)系可窺一斑。

除哈塞之外，謝瓦萊還和其他幾位德國數(shù)學(xué)家保持著學(xué)術(shù)聯(lián)系。在1931年12月31日寫給哈塞的信中，他寫道 ：

我從諾特女士信中得知您正在研究超復(fù)數(shù)系的最大階的理想類……([18]，8頁)

1932年6月14日諾特在給哈塞的信中說 ：

今天謝瓦萊給我寫了一封信，我想知道他在循環(huán)域中定義的范剩余符號與去年11月份我告訴他的是否一樣。([19]，169頁)

這些都顯示謝瓦萊與諾特也保持著通信聯(lián)系。

在當(dāng)時的漢堡大學(xué)，以阿廷及其討論班為中心，聚集了來自法國和日本的一批年輕數(shù)學(xué)家，也包括哈塞等德國數(shù)學(xué)家，良好的學(xué)術(shù)氣氛令人羨慕。以阿廷和他的討論班為媒介，謝瓦萊與這些數(shù)學(xué)家也保持著良好的學(xué)術(shù)關(guān)系。彌永昌吉曾回憶道 ：

在高木先生的推薦下，我到漢堡跟隨阿廷做研究。當(dāng)時埃爾布朗剛在一場事故中遇難，幸運的是我遇到了謝瓦萊。阿廷、埃爾布朗和謝瓦萊當(dāng)時正在設(shè)法用更清晰的形式來論述類域論。阿廷先生特為此開設(shè)了一個討論班，我和謝瓦萊都參加了。([20]，363頁)

在討論班上，謝瓦萊有什么好的建議，就會與阿廷和我聯(lián)系，并在下次討論班開始時與大家分享他的發(fā)現(xiàn)。也正是在這段時期，謝瓦萊重新構(gòu)造了類域論的一般結(jié)構(gòu)。([6]，52頁)

彌永昌吉還提到 ：

一天晚上高木先生邀請一些數(shù)學(xué)家到他下榻的賓館去 ：哈塞、謝瓦萊、諾特、Taussky、Tschebotarev、范德瓦爾登和幾位日本數(shù)學(xué)家。(阿廷在外地)我至今仍對當(dāng)晚愉快的氣氛記憶猶新。([20]，364頁)

綜上，在1938年前往美國普林斯頓高等研究院之前，謝瓦萊與哈塞、阿廷、諾特等德國數(shù)學(xué)家以及高木貞治、彌永昌吉等日本數(shù)學(xué)家保持著密切的學(xué)術(shù)聯(lián)系，這對他的數(shù)學(xué)生涯產(chǎn)生了很大影響。

首先，與德國數(shù)學(xué)家密切的學(xué)術(shù)聯(lián)系促使謝瓦萊熟悉了德國同行的代數(shù)工作，尤其是哈塞、阿廷等人的工作。在德國訪學(xué)期間，他與許多數(shù)學(xué)家建立了學(xué)術(shù)聯(lián)系，并以此為基礎(chǔ)直接進入代數(shù)學(xué)前沿——類域論。

其次，他的研究在多方面受到德國數(shù)學(xué)家的影響。從通信中可以看到，謝瓦萊從研究哈塞的工作而進入類域論，其構(gòu)造的新的范剩余符號也仿照了哈塞的方法，還證明了兩種符號的等價性；他的很多研究也直接來自與哈塞和諾特的通信，比如上述提到的關(guān)于范剩余符號的工作。他還常常在論文完成后將文稿寄給哈塞和諾特等人尋求意見。謝瓦萊與德國數(shù)學(xué)家的交流方式是當(dāng)時法德數(shù)學(xué)家交流的主要方式之一，也從側(cè)面反映了當(dāng)時歐洲數(shù)學(xué)發(fā)展的一個特征。

2 謝瓦萊在類域論領(lǐng)域的工作

1930年到1940年的十年間謝瓦萊主要研究局部和整體類域論。謝瓦萊從追蹤類域論最前沿的研究開始數(shù)學(xué)生涯[21- 24]。1931年他和埃爾布朗對類域論的存在定理給出了一個新的證明[25]，不久便初次嘗試對類域論進行純粹算術(shù)證明[26]。在法國國家科研中心資助下，1932年謝瓦萊到德國漢堡大學(xué)追隨阿廷，后來又在馬堡大學(xué)跟隨哈塞學(xué)習(xí)，并開始博士論文的寫作。受德國數(shù)學(xué)家(特別是哈塞)的影響，謝瓦萊定義了一種新的范剩余符號，并證明這與哈塞從局部出發(fā)給出的范剩余符號相一致[27]。1933年他在博士論文中將問題歸結(jié)為證明循環(huán)域就是類域，并奠定了自成體系的類域論的基礎(chǔ)[28]。1935年謝瓦萊與尼赫高恩[注]尼赫高恩在漢堡大學(xué)師從阿廷，1933年完成博士論文，之前在漢堡大學(xué)討論班上與謝瓦萊相識。(H.Nehrkorn，1910～2006)首次成功地對類域論進行了純粹算術(shù)的證明[29]，不過并未徹底算術(shù)化。1936年謝瓦萊引入了理想元(éléments idéaux)概念，并提到借助該概念可能完成類域論的算術(shù)化[30]。1940年他將理想元改造為伊代爾(idéle)，證明了伊代爾的主要性質(zhì)，并借助伊代爾完成了類域論的算術(shù)化[5]。

這期間謝瓦萊在類域論領(lǐng)域共發(fā)表文章14篇[注]1954年謝瓦萊在日本名古屋大學(xué)訪學(xué)時出版了一本講義《類域論》(Class Field Theory)。該講義主要內(nèi)容是對類域論領(lǐng)域中的新方法——上同調(diào)方法進行概述，與20世紀(jì)30年代所使用方法有所區(qū)別，本文暫不涉及對該講義的討論。(表1)，其中“局部域和有限域的類域理論”(Sur la théorie du corps de classes dans les corps finis et les corps locaux)一文為其博士論文。對這些文章進行粗略分析，可以發(fā)現(xiàn) ：

早期文章通常發(fā)表在《巴黎科學(xué)院通報》上，篇幅較短，內(nèi)容可分為以下三類 ：一類是對類域論某些定理給出新的證明，另一類是證明前人給出的類域在新的定義之下也是類域，還有一類則是追蹤類域論領(lǐng)域最新研究。

其次，文章通常由他獨自完成，僅有的合作者為埃爾布朗和尼赫高恩，許多文章提到他受到了諾特、哈塞、阿廷等人工作的影響。

總體上他在類域論領(lǐng)域的工作分為兩個時期 ：

(1)1929～1935年。這一時期他的工作較為零散，文章篇幅較短。也正是在這個階段，他產(chǎn)生了將類域論算術(shù)化的想法，但只是對部分結(jié)論和定理完成了算術(shù)化證明。

(2)1936～1940年。這一時期他用純粹算術(shù)方法證明了類域論主要定理，1936年引入理想元概念，1940年將其改進為伊代爾，并用純粹算術(shù)方法重構(gòu)類域論理論。

詳細地看，其研究可以大致分成如下幾個相繼的階段。

2.1 早期的零散工作

在學(xué)術(shù)生涯的早期，謝瓦萊從一些不太困難的小問題入手，開始證明類域論的主要定理。1929年他在《巴黎科學(xué)院通報》(Comptesrendusdel’AcadémiedessciencesdeParis)上發(fā)表了關(guān)于無限代數(shù)域的理想理論的文章[21]。1930年他仿照哈塞和施密特(F.Schmidt，1901～1977)的p-進數(shù)域的阿貝爾擴張理論，將哈塞之前證明的定理推廣到了p-進數(shù)域[22]。在同時發(fā)表的另一篇文章里，謝瓦萊研究了范剩余理論，并將范剩余符號的主要性質(zhì)推廣到了相對伽羅瓦域上，但這樣的推廣對互反律卻未能成功，原因是“對同一個域中不同的素理想來說，其范剩余符號是相同的?！?[23]，428頁)

1931年的短文“擴域和子域的類數(shù)的關(guān)系”可以看成是最直接進入到類域論領(lǐng)域的工作之一，謝瓦萊開門見山地寫道 ：

本文要證明如下定理 ：假設(shè)k是代數(shù)數(shù)域，K是k的任意擴張。如果在k和K之間沒有其他的k的非分歧的阿貝爾擴域，則K的類數(shù)可以整除k的類數(shù)。([24]，257頁)

文中他還證明了一些推論，比如K/k為伽羅瓦擴張的情況。

表1 謝瓦萊在1940年前發(fā)表的有關(guān)類域論的文章和著作

續(xù)表1

2.2 算術(shù)證明的初次“嘗試”

1931年埃爾布朗和謝瓦萊對類域論中的存在定理給出一個新證明[25]，他們用商群的指標(biāo)計算代替了原來的復(fù)雜計算，這堪稱一個突破。不久謝瓦萊就嘗試對類域論進行純粹算術(shù)的證明。1932年他在“類域論的結(jié)構(gòu)”一文中寫道 ：

我對用純粹算術(shù)的方法來證明類域論興趣極大。本文將證明如果可以純算術(shù)地證明給定域的每一個阿貝爾擴域都是類域的話，則目標(biāo)就可以達成。([26]，766頁)

這篇文章是謝瓦萊首次“嘗試”不用解析方法而證明類域論的定理，這對數(shù)學(xué)家來說是一個新的方向。后面的一系列文章中，他開始逐漸向類域論主要定理的算術(shù)證明發(fā)起進攻。

2.3 對類域論主要定理的算術(shù)證明

從1931年到1932年，他對類域論的理論體系進行了極大簡化，并完成了博士論文。與此同時，在參加阿廷和哈塞組織的討論班時，謝瓦萊產(chǎn)生了借助理想概念的想法。在博士論文中，他完成了對類域論主要定理的算術(shù)證明，但在證明循環(huán)域是類域的結(jié)論時還是用到了解析方法。[注]對謝瓦萊的博士論文進一步的詳細分析，請參看[6]。

博士論文答辯后，謝瓦萊給尼赫高恩寫信通報了博士論文的主要結(jié)果。他們在1935年證明如果K是k的相對阿貝爾擴域，則K是k的類域，其主要目的是“展示類域論理論的哪些內(nèi)容可以用純粹算術(shù)的方法加以證明”([29]，366頁)，這篇文章的接收日期是1934年12月31日，即1934年的最后一天。

就在一個多月前，1934年11月6日給哈塞的信中，謝瓦萊還寫道 ：

……有可能將整個的類域理論純粹算術(shù)化。……但對我來說，以我的理解，……，至少目前來看算術(shù)化的證明我認為仍然是有疑問的。([18]，30頁)

值得注意的是哈塞在十天之后給謝瓦萊的回信中寫道 ：

我越來越確信解析方法[注]哈塞信件的原文是analytischen Hilfsmittel。已成為類域論中必不可少的方法。([18]，32～33頁)

可見，就在謝瓦萊進行類域論算術(shù)證明的同時，他和哈塞都認為徹底地將類域論算術(shù)化是不可能的?？墒?，僅僅不到一年之后，謝瓦萊就寫道 ：

非常高興地告訴您 ：我已經(jīng)成功地用純粹算術(shù)的方法將類域論的定理完全證明了。([18]，44頁)

上面這封信寫于1935年10月15日，那么到底這11個月間發(fā)生了什么？是什么令類域論的算術(shù)證明“柳暗花明又一村”呢？答案就是理想元的概念。在1935年10月的這封信中謝瓦萊還寫道 ：“我使用的證明方法是理想的語言，這種方法很輕易地就可以轉(zhuǎn)換為理想元的語言?！?([18]，46頁)

2.4 理想元的概念

就在發(fā)出上面這封信的前一天，1935年10月14日，謝瓦萊將一篇短文提交給巴黎科學(xué)院[31]。他沒有使用任何解析方法，其主要方法是群指標(biāo)的計算。該文篇幅較短，僅不到3頁，但在文章末尾他豪情萬丈地宣稱 ：

我們會證明所獲得的結(jié)果將為整個類域論以及一般互反律提供基礎(chǔ)，并且證明的過程將不借助函數(shù)論的方法。([31]，634頁)

僅一天之后，1935年10月15日，他又寫給哈塞一封長信，詳細地解釋了類域論純粹算術(shù)證明的過程。他寫道 ：

我認為借助理想元可以用一種更快的方式來證明您和Grunwald關(guān)于范剩余符號的結(jié)果。最終，存在定理也可以用一種算術(shù)的方式得到證明，而不需要使用算術(shù)級數(shù)的定理。([18]，46頁)

他的主要工作是完成了對類域論中最主要的兩個不等式h≥n和h

衷心祝賀您取得了如此重要的成果。您終于達成了夢寐以求的目標(biāo)，我能想象得到您現(xiàn)在是多么幸福和自豪。我對您用理想元進行簡化的方法非常感興趣，如果您能將這些寫成文章，我很高興它們能在克雷爾雜志[注]即《純粹數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journal fur die Reine und Angwandte Mathematik)，由德國數(shù)學(xué)家克雷爾(A.Crelle，1780～1855)于1826年在柏林創(chuàng)辦，通常也稱作克雷爾雜志。上發(fā)表。([18]，47頁)

不過，這篇文章最終于1936年在劉維爾雜志[注]即《純粹與應(yīng)用數(shù)學(xué)雜志》(Journal de Mathematiques Pureset Appliques)，由法國數(shù)學(xué)家劉維爾(J.Liouville，1809～1882)1836年在巴黎創(chuàng)辦 ，通常也稱作劉維爾雜志。上發(fā)表[30]，原因不得而知。文章中謝瓦萊引入了理想元概念，并定義了理想元的范剩余符號，他證明可以借助不同于(以往的)理想群的理想元來描述k的(有限或無限)阿貝爾擴張的特征。他還針對有限和無限阿貝爾擴張定義了推廣的阿廷符號，并得到了這種推廣的阿廷符號的性質(zhì)。

2.5 類域論算術(shù)化的完成

從1936年到1940年，因二戰(zhàn)歐洲局勢逐漸動蕩起來，謝瓦萊與哈塞雖仍有通信，但已不太頻繁。這段時期雙方共有11封通信(其中謝瓦萊發(fā)出7封信，哈塞發(fā)出4封信)，基本上沒有討論太多的數(shù)學(xué)內(nèi)容。([18]，49～66頁)

1940年謝瓦萊終于完成了類域論的算術(shù)化工作，文章開篇便對類域論工作進行了總結(jié) ：

今天的類域論的表述較之前幾年要簡單多了，尤其是所謂“超越方法[注]原文是moyens transcendan?！钡某霈F(xiàn)。然而，我覺得仍然有不少復(fù)雜研究本來是可以避免的。這篇文章唯一目標(biāo)就是激起新的追求簡潔和精簡的工作。([5]，394頁)

在這篇文章中，他用伊代爾的概念來替代經(jīng)典的理想理論的語言，并在此基礎(chǔ)上重建了整個類域論。

根據(jù)高木貞治的理論，代數(shù)數(shù)域k的任何阿貝爾擴張K都可表示為k上的類域。因此阿貝爾擴張成為類域論的關(guān)鍵，這也成為謝瓦萊的主要目的。這種目的當(dāng)然受到傳統(tǒng)的代數(shù)數(shù)論以及希爾伯特的類域論研究的影響，不過他更明確了類域論的研究目的是研究如何用基域k的性質(zhì)來刻畫其上的阿貝爾擴張K。在此研究目的下，文章共分為14部分，全文邏輯線路十分清楚[注]對謝瓦萊1940年工作的詳細分析可參見拙作[12]，此處不再贅述。。

經(jīng)過上述分析，可以得到如下結(jié)論。

首先，謝瓦萊對類域論的認識有一個緩慢的較為清晰的變化過程。在剛進入該領(lǐng)域時，他僅研究了類域論的一些簡單命題和結(jié)論。當(dāng)時他認為類域論的主要目的是素理想在擴域中的分解問題與互反律的關(guān)系，這顯然受到代數(shù)數(shù)論中方法和主要論題的影響。之后在哈塞和阿廷等人的影響下，在與埃爾布朗的合作中，他開始研究擴域并嘗試對類域論的理論進行算術(shù)化證明，此時其主要目的是想弄清楚類域論的哪些內(nèi)容是可以算術(shù)化的，這在其博士論文中得到了很好的體現(xiàn)。此后，他的研究重心逐漸轉(zhuǎn)移到類域論的算術(shù)化，但最初他和哈塞都對類域論的徹底算術(shù)證明持有懷疑態(tài)度。1936年他引入理想元概念，并借此完成了類域論存在定理的算術(shù)證明。最終，謝瓦萊在1940年將理想元發(fā)展為伊代爾概念，在此基礎(chǔ)上完成了對整個類域論的算術(shù)化證明。

其次，伊代爾概念在他完成類域論算術(shù)化過程中占有很重要的作用，這個概念是他從前人關(guān)于理想的工作中借用的。他研究了伊代爾的性質(zhì)，在伊代爾群中還定義了拓撲結(jié)構(gòu)，研究了伽羅瓦擴張域的伊代爾群及其微分群的對應(yīng)關(guān)系，并借此重建了類域論。

3 對謝瓦萊類域論工作的評價

對數(shù)學(xué)家的工作進行評價，通常做法是將其置于數(shù)學(xué)發(fā)展史中進行縱向剖析。一些研究已對謝瓦萊工作進行了較為深入的研究[8- 12]。作為上述研究的補充，下面主要分析不同時代數(shù)學(xué)家對其類域論工作的評價。

3.1 對謝瓦萊的已有評價

謝瓦萊工作中最先引起數(shù)學(xué)界注意的是埃爾布朗和他1931年發(fā)表的文章[25]。1931年6月16日阿廷在寫給哈塞的一封信中說道 ：“埃爾布朗和謝瓦萊對類域論給出了全新的簡化，我非常激動?！?[32]，380頁)得知謝瓦萊和埃爾布朗的上述工作后，諾特也給予了較高的評價，她在給哈塞的信中寫道 ：“指數(shù)計算變得越來越簡單清楚了，太好了!”([19]，156頁)

1932年謝瓦萊首次嘗試對類域論給出算術(shù)證明，諾特在1933年5月10日給哈塞的信中說 ：“近日謝林[注]謝林(O.F.G.Schilling，1911～1973)是諾特的博士生，諾特到美國后便師從哈塞。在給我的信中介紹了謝瓦萊的一種新的超復(fù)數(shù)方法，這正是我所期待的，對此我非常興奮?！?[19]，188頁)1933年6月27日諾特又寫道 ：“我現(xiàn)在想知道 ：謝瓦萊是否將類域論的全部內(nèi)容都算術(shù)化了？還是我理解錯了？”([19]，193頁)

實際上，謝瓦萊1932年的這篇文章并沒有真正將類域論完全算術(shù)化。上文提及，1934年謝瓦萊和哈塞都認為完全將類域論算術(shù)化證明是令人懷疑的，或者說解析方法在類域論的證明中是不可缺少的，而諾特在同時期也有同樣的認識。1934年諾特曾經(jīng)在給哈塞的一封信中提到即使是最簡潔的途徑也必須要將謝瓦萊的方法和一些超越方法綜合起來才行。([19]，213頁)

此外，阿廷也對謝瓦萊的類域論工作非常推崇，彌永昌吉回憶道 ：

高木貞治在漢堡遇到了阿廷。阿廷向高木推薦了謝瓦萊的博士論文，稱之為“第一流的工作”，建議高木推薦它在《東京大學(xué)學(xué)報》上發(fā)表。不久謝瓦萊的博士論文就跟高木先生的文章在《東京大學(xué)學(xué)報》的同一期上發(fā)表了。([20]，364頁)

作為希爾伯特的學(xué)生，高木貞治也對謝瓦萊(和埃爾布朗)在類域論方面的簡化工作給出了一些評述[33]。

從以上分析可以看出，總體而言，哈塞、諾特、阿廷以及高木貞治等數(shù)學(xué)家對謝瓦萊在類域論領(lǐng)域的工作一貫持有較為肯定的態(tài)度，他們也都與謝瓦萊長期保持著較為密切的學(xué)術(shù)聯(lián)系。

1948年前蘇聯(lián)出版了一套叢書“三十年來的蘇聯(lián)數(shù)學(xué)”[34]，系統(tǒng)論述了俄國十月革命之后蘇聯(lián)數(shù)學(xué)的發(fā)展，其中《代數(shù)學(xué)》一冊對類域論進行了簡要概括。書中認為阿廷的互反律推動了類域論的進一步發(fā)展，而哈塞和謝瓦萊相繼改造了類域論，后者提出了不用超越方法而建立類域論的問題。書中特別提到謝瓦萊的“理想”概念[注]這是該書的一個錯誤。實際上謝瓦萊并不是引入了理想概念，而是引入了理想元的概念，理想的概念是戴德金在1871年針對數(shù)論給出的。和p-進代數(shù)域的相對阿貝爾擴張。([34]，14～15頁)

作為謝瓦萊的好友，布爾巴基學(xué)派的創(chuàng)立者之一的數(shù)學(xué)家丟東涅的認識和評論則相對準(zhǔn)確一些。丟東涅在紀(jì)念謝瓦萊的文章中寫道 ：

在博士論文中，謝瓦萊奠定了獨立的局部類域論的基礎(chǔ)，……。他證明可以直接從p-進域出發(fā)考慮其阿貝爾擴張。這樣得到的定理比整體類域論的要簡單?！酉聛碇x瓦萊致力于直接從類域論中消除解析方法，并試圖將類域論推廣到有理域的無限次擴張上。在引入伊代爾概念后，他成功了。伊代爾的概念成為了代數(shù)數(shù)論的重要概念，這是第一個明確的從局部過渡到整體的實例。([9]，1～4頁)

丟東涅對謝瓦萊類域論的工作評價很高，但他對謝瓦萊1940年之后群論和代數(shù)群方面工作的論述仍然占了文章的一大部分，他認為“謝瓦萊對數(shù)學(xué)的最重要貢獻當(dāng)屬他在群論方面的工作”([9]，4頁)。在數(shù)學(xué)家丟東涅看來，謝瓦萊1930～1940年十年間關(guān)于類域論的工作似乎并不是他最重要的數(shù)學(xué)工作。

3.2 對謝瓦萊工作的重新評價

從歷史發(fā)展來看，不應(yīng)將數(shù)學(xué)家在不同時期、不同領(lǐng)域的成果簡單對比，而應(yīng)將其放入所屬領(lǐng)域，從分支、領(lǐng)域的發(fā)展史來評判其重要性，綜合考慮數(shù)學(xué)家在不同領(lǐng)域所做工作的重要性，而不是限于單純的比較研究。在這個目標(biāo)的指引下，我們做出如下分析。

首先，毋庸置疑是謝瓦萊開創(chuàng)了類域論研究的新局面，他不僅引入了伊代爾概念，給出了純粹的局部類域論，在伊代爾基礎(chǔ)上重建了類域論理論。更重要的是，他研究了伊代爾的拓撲性質(zhì)，也首次成功地在代數(shù)數(shù)論中引入拓撲方法。

其次，對謝瓦萊工作進行全面評價，需要將類域論工作與他在20世紀(jì)二三十年代的經(jīng)歷聯(lián)系起來。謝瓦萊曾到德國游學(xué)，其類域論工作也在一定程度上帶有德國數(shù)學(xué)的印記，體現(xiàn)了法德數(shù)學(xué)交流的時代特征。

(1)哈塞在謝瓦萊類域論工作中扮演了重要的角色，或者可以說沒有哈塞就沒有謝瓦萊的類域論工作。

1934年哈塞在哥廷根大學(xué)開設(shè)的課程吸引了許多年輕數(shù)學(xué)家，他經(jīng)常在信中與德國數(shù)學(xué)家討論代數(shù)學(xué)最新進展，并隨時通過信件將這些通報謝瓦萊，與哈塞的通信成為謝瓦萊在文章之外獲得研究動態(tài)的主要渠道之一。相較于正式發(fā)表的論文，信件的信息量更大，約束也更少。與哈塞的通信對謝瓦萊的類域論研究是非常重要的。

一方面，謝瓦萊曾在馬堡大學(xué)跟隨哈塞學(xué)習(xí)了兩個學(xué)期，之后二人信件往來頻繁，這對謝瓦萊無疑是最直接的鞭策和鼓勵。另一方面，哈塞對謝瓦萊很是欣賞，盡一切可能幫助他，比如將他的文章推薦至克雷爾雜志[注]當(dāng)時哈塞正是克雷爾雜志的3位主編之一，另外兩位分別是亨塞爾和史列辛格(L.Schlesinger，1864～1933)。，這對初出茅廬的年輕人也是至關(guān)重要的。通過通信我們還能推斷 ：哈塞是謝瓦萊與德國代數(shù)學(xué)家聯(lián)系的主要紐帶，謝瓦萊從哈塞處獲知了類域論領(lǐng)域許多前沿信息。

(2)諾特應(yīng)被視為謝瓦萊類域論工作的推動者之一。

20世紀(jì)20年代開始，諾特在代數(shù)領(lǐng)域得到一些有影響力的結(jié)果，并因此被稱為“代數(shù)學(xué)之母”。許多數(shù)學(xué)思想都源于諾特，她對數(shù)學(xué)，尤其是代數(shù)學(xué)影響甚為深遠。[35]20世紀(jì)20年代后期，世界各國的數(shù)學(xué)家都到哥廷根來追隨諾特，比如拓撲學(xué)家亞歷山大洛夫(P.Alexandrov，1896～1982)和霍普夫(H.Hopf，1894～1971)在哥廷根大學(xué)訪學(xué)期間曾多次與她交談，他們的拓撲工作受到她很大的影響。此外，諾特還對哈塞和布饒爾(R.Brauer，1901～1977)在代數(shù)學(xué)方面的工作有直接的影響，比如三人對代數(shù)學(xué)主定理的證明[36]。后來名噪天下的布爾巴基學(xué)派的工作也正是建立在諾特和阿廷的思想之上[37]。從這個意義上來說，諾特可以被視為當(dāng)時德國數(shù)學(xué)圈的中心之一。

諾特非常關(guān)心謝瓦萊和埃爾布朗的類域論工作，并曾寫信向哈塞詢問謝瓦萊類域論工作的細節(jié)。通過謝瓦萊和哈塞的通信，我們還知道謝瓦萊與諾特也有直接的通信，二人在信中經(jīng)常就某些數(shù)學(xué)問題展開討論，諾特也對謝瓦萊的研究提出了許多建議。因此，諾特是謝瓦萊對類域論進行算術(shù)化的有力推動者之一。

第三，當(dāng)時的法國數(shù)學(xué)主流是函數(shù)論研究，謝瓦萊關(guān)于類域論的工作在法國并未產(chǎn)生很大影響，這一點從《巴黎科學(xué)院通報》上發(fā)表的文章也可窺一斑。1930年該期刊上只有一篇代數(shù)學(xué)方面的文章，而函數(shù)論方面的文章則有39篇。1931年兩個領(lǐng)域的文章分別有7篇(4篇出自謝瓦萊和埃爾布朗)和24篇。盡管謝瓦萊在《巴黎科學(xué)院通報》上發(fā)表了幾篇文章，但篇幅都不太長，(特別是在法國)沒有引起什么大的影響[注]除了引起諾特、哈塞、阿廷等少數(shù)德國數(shù)學(xué)家注意外。。反而是他發(fā)表在德國期刊上的其他幾篇文章，比如1933年在哈塞的推薦下發(fā)表在克雷爾雜志上的文章(18頁)，1934年在高木貞治的推薦下發(fā)表在《東京大學(xué)學(xué)報》上的文章(長達112頁)，不僅篇幅較長，產(chǎn)生的影響也要大得多。但由于當(dāng)時法國數(shù)學(xué)的主流是函數(shù)論和分析學(xué)，謝瓦萊關(guān)于類域論的工作在法國國內(nèi)并未引起多大的影響，反倒是其在20世紀(jì)30年代參與發(fā)起的“新秩序”政治組織在法國引起了一些影響。

第四，布爾巴基學(xué)派完全是數(shù)學(xué)家自發(fā)地振興法國數(shù)學(xué)的產(chǎn)物。筆者原本“設(shè)想”是法國政府或數(shù)學(xué)界有組織地將韋伊、埃爾布朗、謝瓦萊等人送到德國去學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)。如果是這樣，這些學(xué)者返回國內(nèi)勢必會在數(shù)學(xué)界引起某些反響，他們在國外游學(xué)期間所取得的成果當(dāng)會受到國內(nèi)數(shù)學(xué)界的關(guān)注。然而，事實并不是這樣。不僅法國數(shù)學(xué)界并沒有對這些年輕數(shù)學(xué)家的成果給予更多的關(guān)注，就連這些“海外學(xué)者”的歸國也并未在巴黎的數(shù)學(xué)圈引起更多的注意，聯(lián)想到后來布爾巴基學(xué)派的名噪天下，這的確有些不可思議。

4 結(jié) 語

從數(shù)學(xué)發(fā)展史上看，不同的數(shù)學(xué)發(fā)展時期有不同的發(fā)展主題(topic)和特征(character)，這既受到數(shù)學(xué)大環(huán)境客觀因素的影響，也受到不同地域的數(shù)學(xué)家主觀因素的影響，是主、客觀因素綜合作用的結(jié)果。謝瓦萊剛進入類域論領(lǐng)域時正處于兩次世界大戰(zhàn)之間，也正是數(shù)學(xué)醞釀新事物、新思想、新變革的年代。

20世紀(jì)頭20年，代數(shù)數(shù)論研究中出現(xiàn)了許多新思想和新方法，如賦值和局部域理論、局部-整體原理、p-進分析、幾何和解析方法的引入等。在類域論領(lǐng)域，希爾伯特的學(xué)生、日本數(shù)學(xué)家高木貞治證明了類域論基本定理，但其方法過于依賴解析方法，因此阿廷便開始努力將其代數(shù)化。20世紀(jì)20年代也正是阿廷創(chuàng)造性的高峰期，他不僅著手推廣類域論的結(jié)果，還證明了一般互反律。哈塞則早在1920年便證明了“局部-整體原理”，并在不久后跟隨亨塞爾的p-進數(shù)工作開始了對局部類域論的研究。同時期諾特則主要關(guān)注超復(fù)數(shù)系的研究，將其與弗洛賓尼烏斯表示論聯(lián)系起來，形成了系統(tǒng)的代數(shù)理論。

正是在此基礎(chǔ)上，埃爾布朗和謝瓦萊跟隨著哈塞和阿廷的工作并在諾特等人的影響下，對類域論產(chǎn)生興趣，并開始對類域論進行算術(shù)化證明。從1929年到1940年謝瓦萊一直堅持不懈地試圖從類域論中消除解析方法，這個過程是一個緩慢的循序漸進的過程。

單純從數(shù)學(xué)角度來說，謝瓦萊開創(chuàng)了類域論研究的新局面。他引入了伊代爾的概念，研究了伊代爾的拓撲性質(zhì)，并借助伊代爾的概念將類域論完全算術(shù)化。他所使用的方法體現(xiàn)了哈塞創(chuàng)立的局部-整體原理，伊代爾概念無疑是對哈塞的局部-整體原理最好的詮釋，丟東涅稱之為“第一個明確的從局部過渡到整體的實例”。謝瓦萊繼承了前人的研究路線，但引入伊代爾并借助微分群使他突破了前人研究路線的限制。他的研究目的更加明確，研究對象以無限阿貝爾擴張為主，并將經(jīng)典類域論的主要定理一舉囊括，這種從特殊到一般情形的發(fā)展不啻是數(shù)學(xué)發(fā)展中最經(jīng)典最鮮明的線索。特別是謝瓦萊對類域論的算術(shù)化過程與數(shù)學(xué)家對互反律的研究交織在一起，不僅從互反律汲取營養(yǎng)，其方法也深刻地影響了互反律，并與朗蘭茲綱領(lǐng)這一數(shù)學(xué)史上最著名的理論有密切聯(lián)系。這啟示我們應(yīng)繼續(xù)深入挖掘謝瓦萊的類域論工作的歷史價值，將其放到學(xué)科交叉背景下，探討其對現(xiàn)代數(shù)學(xué)的影響。