Banach空間中平均非擴(kuò)張集值映射的穩(wěn)定點(diǎn)

陳麗麗　高璐　周晶

摘要：集值映射的不動點(diǎn)理論在近代變分問題、最優(yōu)化問題、經(jīng)濟(jì)均衡問題等研究中發(fā)揮著極其重要的作用， 已成為非線性泛函分析理論的重要組成部分。為了研究Banach空間中平均非擴(kuò)張集值映射的穩(wěn)定點(diǎn)問題， 我們依據(jù)集值映射的不動點(diǎn)理論， 利用漸近穩(wěn)定點(diǎn)序列、漸近中心、漸近半徑等給出了平均非擴(kuò)張集值映射具有穩(wěn)定點(diǎn)的充分必要條件。

關(guān)鍵詞：穩(wěn)定點(diǎn)； 平均非擴(kuò)張集值映射； 漸近穩(wěn)定點(diǎn)序列； 漸近中心； Banach空間

DOI：10.15938/j.jhust.2018.01.025

中圖分類號： O177.2

文獻(xiàn)標(biāo)志碼： A

文章編號： 1007-2683（2018）01-0137-06

Abstract：The fixed point theory of the setvalued mappings has important applications in many branches such as modern variation problems， optimization problems and economic equilibrium problems， and it has been an essential part of nonlinear functional analysis theory. In order to study the problem of the stationary points of the mean nonexpansive setvalued mappings in Banach spaces， we based on Fixed Point Theory of the setvalued mapping， by use of the asymptotic stationary points sequence， the asymptotic center and the asymptotic radius， the necessary and sufficient conditions for the mean nonexpansive setvalued mappings which have the stationary points are obtained.

Keywords：stationary point； mean nonexpansive setvalued mapping； asymptotic stationary points sequence； asymptotic center； Banach space

0引言

20世紀(jì)30年代初， 人們開始關(guān)注集值映射的不動點(diǎn)問題， 將Brouwer不動點(diǎn)定理、Schauder不動點(diǎn)定理等結(jié)果推廣到集值映射的情形。 近四十年來， 集值映射的不動點(diǎn)理論在近代變分問題、最優(yōu)化問題、經(jīng)濟(jì)均衡問題等研究中發(fā)揮著極其重要的作用，數(shù)學(xué)家Debreu正是以集值映射的不動點(diǎn)定理為工具給出Walras完全競爭均衡存在定理的嚴(yán)格證明， 因此于1983年獲得諾貝爾經(jīng)濟(jì)學(xué)獎。 1968年Markin[1]在Hilbert空間中將Brouwer定理推廣到非擴(kuò)張集值映射的情形， 1969年Nadler[2]將Banach壓縮映射原理進(jìn)行了推廣， 1974年Lim[3]利用Edelstein方法給出了一致凸Banach空間中非擴(kuò)張集值映射的不動點(diǎn)定理， 1990年Kirk[4]和 Massa將Lim定理進(jìn)行了推廣， 2003年Benavides利用非緊凸性模研究了非擴(kuò)張集值映射的不動點(diǎn)等問題[5-7]。

集值映射作為一類特殊的多值映射， 在研究其不動點(diǎn)性質(zhì)、算法的構(gòu)造和收斂性條件及不動點(diǎn)序列的選取等問題相比于單值映射更為復(fù)雜， 目前對該理論的研究尚不完備， 對于平均非擴(kuò)張集值映射的穩(wěn)定點(diǎn)存在性等問題尚未解決。 研究發(fā)現(xiàn)穩(wěn)定點(diǎn)的存在性問題很大程度上都依賴于集值映射是壓縮的[8-11]， 近年來， 該問題引起了國內(nèi)外數(shù)學(xué)學(xué)者的關(guān)注， 開始嘗試?yán)脻u近穩(wěn)定點(diǎn)序列等方法來解決廣義非擴(kuò)張集值映射的穩(wěn)定點(diǎn)問題[12-14] （強(qiáng)漸近不動點(diǎn)序列在這里也稱為漸近穩(wěn)定點(diǎn)序列[14]），漸近穩(wěn)定點(diǎn)序列在尋找穩(wěn)定點(diǎn)時扮演了十分重要的角色[15-18]。 本文主要借助Banach空間的幾何性質(zhì)， 將非擴(kuò)張集值映射的穩(wěn)定點(diǎn)問題推廣到平均非擴(kuò)張集值映射的情形， 利用漸近穩(wěn)定點(diǎn)序列、漸近中心、漸近半徑等概念給出了平均非擴(kuò)張集值映射具有穩(wěn)定點(diǎn)的充分必要條件。

1預(yù)備知識

3結(jié)語

本文主要解決了平均非擴(kuò)張集值映射的穩(wěn)定點(diǎn)問題， 討論了滿足各種幾何性質(zhì)的Banach空間中平均非擴(kuò)張集值映射具有穩(wěn)定點(diǎn)的充分必要條件。 我們可以在此基礎(chǔ)上繼續(xù)利用Banach空間的幾何性質(zhì)研究平均非擴(kuò)張集值映射具有穩(wěn)定點(diǎn)的其它充分必要條件。

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（編輯：關(guān)毅）