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    對稱群及幫派論

    2018-03-23 10:37:48李科
    求知導刊 2017年33期
    關(guān)鍵詞:數(shù)論素數(shù)

    李科

    摘 要:文章首先從使數(shù)軸具有對稱性的負數(shù)開始,再從距離入手找出了使整數(shù)和奇數(shù)具有對稱性的法則,進而引出素數(shù)對稱群Li(yP)概念,依據(jù)Li(yP)的性質(zhì)將所有素數(shù)對稱群的集合稱為幫B(P)——一個全新的數(shù)學模型,續(xù)而結(jié)合哥德巴赫猜想探討幫的性質(zhì),即發(fā)現(xiàn)幫的素數(shù)DNA的遺傳性和幫的派函數(shù)Pi(i)。

    關(guān)鍵詞:對稱群;數(shù)論;素數(shù);幫派論;幫;DNA

    中圖分類號:O156

    文獻標識碼:A

    在《對稱群與哥德巴赫猜想》一文中為了解決哥氏猜想(1+1)證明的問題引入了一個新的群——“整數(shù)的對稱群”。但由于篇幅及目的等問題沒能就其深刻含義進行進一步的探究,果不其然,剛發(fā)表就有讀者表示看不大明白。這是很正常的,畢竟新的數(shù)學模型(新分支對稱群的集合-幫論)被接受是需要適應(yīng)期的。所以我認為有必要對這個我在高溫假期間創(chuàng)建于海邊的理論做單獨且較為科普式的講解。不多說,詳見下文。

    一、對稱群及幫的概念

    1.對稱群的由來

    我們知道,全體實數(shù)可以用一條數(shù)軸表示,那么全體整數(shù)自然也可用該數(shù)軸表示。具體地說,整數(shù)可以用數(shù)軸上一連串的點表示,如圖1所示。

    圖1中,可以看出當人們引入負數(shù)后0成了數(shù)軸的中心,所有自然數(shù)有了關(guān)于0點的對稱點-負數(shù)(用本文的觀點也稱為0的整數(shù)對稱群)。關(guān)于0點對稱的整數(shù)有無窮多個。但整數(shù)關(guān)于1對稱嗎?關(guān)于2對稱嗎?也就是說為何1和2等整數(shù)不能作為對稱中心(對稱軸)呢?

    當然可以,只是不能在以整數(shù)元素自身作為性質(zhì)判斷了。如果將整數(shù)到對稱中心的距離作為考察性質(zhì),群自然出現(xiàn)了,問題迎刃而解(且不影響0)。比如,1的整數(shù)對稱群的元素為(1,1)(0,2)(-1,3)(-2,4)等,對稱距離分別為0,1,2,3...;3的整數(shù)對稱群有(2,4)等。它們的元素對依舊是無窮多個(無窮群)。而3的素數(shù)對稱群元素只有(3,3);4的素數(shù)對稱群元素只有(3,5);5的素數(shù)對稱群只有元素(5,5)和(3,7);越往后對稱群的元素組可能越大,但由于最小的奇素數(shù)為3,最小對稱軸為3,所以只有正無窮的素數(shù)對稱群才會擁有無窮多個元素(對)。這樣的群的元素往往是有限的(有限群)。至此我們對“對稱群”有了初步的了解。

    2.對稱群概念

    筆者在《對稱群與哥德巴赫猜想》中對于對稱群的定義為:凡是某數(shù)集X中存在元素x關(guān)于特定數(shù)y存在對稱數(shù) τ(x)且τ(x)也屬于數(shù)集X,則稱其為y的某數(shù)集對稱群,記做Li(yX)。其中Li表示對稱群,y為特定數(shù)(對稱軸),X表示某數(shù)集。如整數(shù)對稱群Li(yN+)的x和τ(x)都是整數(shù),奇數(shù)對稱群Li(yO+)的x和τ(x)都是奇數(shù),(奇)素數(shù)對稱群Li(yP)的x和τ(x)都是素數(shù)(這些群的計算不是加或乘,而是180°旋轉(zhuǎn),其逆為反旋轉(zhuǎn))。關(guān)于整數(shù)、奇數(shù)和素數(shù)的對稱群舉例參見表1:

    從表1中可以看出,所有Li(yP)?Li(yO+)? Li(yN+)。雖然該表述可以表達意思,但是卻顯得不夠清晰,因為將一個具有對稱性質(zhì)的群的集合只稱為集合有欠妥當。正如第1小點中所述,所以關(guān)于整數(shù)、奇數(shù)及素數(shù)的對稱群也可簡單定義為關(guān)于固定數(shù)y對稱的同屬性數(shù)集。該數(shù)集若是整數(shù)就稱為數(shù)y的整數(shù)對稱群,以此類推,具體到整數(shù)、奇數(shù)、素數(shù)舉例如下:

    (1)1的整數(shù)對稱群Li(1N+)=(1,1)(0,2)(-1,3)(-2,4)等無窮多元素;

    (2)4的(正)奇數(shù)對稱群Li(4O+)=(3,5)(1,7);

    (3)4的素數(shù)對稱群Li(4P)=(3,5)。

    若將這些群用對稱軸及元素到對稱軸距離的圖形表示會更具形象化,在此列舉幾例,參見圖2:

    從圖2中可明顯看出,特定數(shù)y的各種屬性的對稱群,如同一枚枚晶體懸掛在數(shù)軸上。至此我們可以說:負數(shù)的引入使得數(shù)關(guān)于0對稱了;復數(shù)的引入使得數(shù)關(guān)于數(shù)軸對稱了;對稱群的引入使得數(shù)關(guān)于數(shù)對稱了(可謂第三次數(shù)軸革命,在實數(shù)軸上對稱群只有一個對稱軸,如果引入復數(shù),那將是另一片天地,在此不贅述)。

    3.幫-對稱群的集合

    無論哪種群,若群的對稱軸也具有某一共同性質(zhì),我們將所有對稱軸對應(yīng)的群集合成為“幫”,記做BY(X),讀作Y的X對稱幫。其中B表示幫,X為某數(shù)集性質(zhì),Y為對稱軸集合(為整數(shù)時省略)。所以幫實際是所有具有同一性質(zhì)群的集合。所以關(guān)于所有整數(shù)的整數(shù)對稱群稱為整數(shù)的整數(shù)對稱幫(簡稱整數(shù)的整數(shù)幫);所有整數(shù)的奇數(shù)對稱群稱為整數(shù)的奇數(shù)對稱幫;所有整數(shù)的素數(shù)對稱群稱為整數(shù)的素數(shù)對稱幫;當然所有對稱軸為偶數(shù)的整數(shù)對稱群稱為偶數(shù)的整數(shù)對稱幫。這種表述更為妥當,所以《對稱群與哥德巴赫猜想》找到了所有整數(shù)的素數(shù)對稱群實為證明了整數(shù)的素數(shù)對稱幫的存在定理。那么有關(guān)這個對稱群集合“幫”的研究就可以簡稱為“幫論”了。《對稱群與哥德巴赫猜想》由于側(cè)重點原因而沒有細說有關(guān)幫(整數(shù)的素數(shù)幫)的性質(zhì),以下就幾條重點的加以介紹,以便于更好地理解這一全新概念。

    二、整數(shù)的素數(shù)幫的性質(zhì)

    (一)幫的元素

    由于只有素數(shù)2為偶數(shù),所以文中整數(shù)的素數(shù)幫指的是整數(shù)的奇素數(shù)幫。既然幫是具有同一性質(zhì)對稱軸的對稱群的集合,那么幫的元素自然就是所有對稱群,對稱群的元素才是具體的數(shù)集。有關(guān)幫及對稱群元素的性質(zhì),可以將幫分類:

    若每個對稱群的元素等同于所有對稱群的元素,這個幫就稱為大幫,如整數(shù)的整數(shù)幫是大幫;若對稱群的元素少于所有對稱群的元素,這個幫就稱為小幫,如整數(shù)的素數(shù)幫是小幫。

    若幫的對稱軸增加其對應(yīng)的對稱群元素組也增加的幫稱為遞增幫(整數(shù)的正奇數(shù)幫);反之稱為遞減幫。

    若幫中的對稱群的對稱軸是沿數(shù)軸兩個方向的成為雙向幫(整數(shù)的整數(shù)幫);而只沿單方向的成為單向幫(整數(shù)的素數(shù)幫)。

    總之,有關(guān)幫及元素等不同性質(zhì)的變化可討論幫的各種特性,可根據(jù)具體需要進行探討,此處不贅述。

    (二)素數(shù)幫

    從緒論看到現(xiàn)在,對于對稱群及幫的概念也許有了進一步的了解。但也可能有點轉(zhuǎn)向,為便于深刻理解整數(shù)的素數(shù)幫,請看圖3:

    從圖3中可以清楚地看出什么是對稱軸,什么是素數(shù)對稱群及其與幫的關(guān)系。請認真區(qū)分,下面將借此講述素數(shù)對稱幫的性質(zhì)。

    1.素數(shù)幫的性質(zhì)

    這點似乎毋庸置疑,但由于據(jù)此可以巧證哥德巴赫猜想而不得不提及。其存在性主要是因為素數(shù)的對稱數(shù)無法由已知素數(shù)(對稱軸前素數(shù))因子乘積表示,參見表2(證明參見文獻[1])。

    從表2中可明顯看出最小素因子乘積(奇合數(shù))大于對應(yīng)的2m,且其增大速度遠大于2m的增大速度(如3*3僅僅大于2*4,而3*7已經(jīng)大于2*10),如此必然致使已知素數(shù)因子乘積無法按律表示足夠多的對稱數(shù),不能按律用素數(shù)因子乘積表示的即為素數(shù),只有存在素數(shù)才能使對稱數(shù)完整,即整數(shù)的素數(shù)幫B(P)存在。由整數(shù)的素數(shù)幫B(P)的存在可得B(P)中的任一對稱群Li(yP)的對稱軸兩倍,可用兩個素數(shù)元素p及τ(p)加和表示,而所有整數(shù)(對稱軸)的兩倍就是全體偶數(shù),所以Like-Gold設(shè)想成立(有關(guān)具體證明參見文獻[1])。但其中涉及所謂的律及“遺傳性”有必要在此用幾句話再說清楚點,不然當對稱數(shù)足夠大時m到2m間的奇合數(shù)在不按律的情況下是可以填滿對稱數(shù)位置的。所以整數(shù)的素數(shù)幫中群的遺傳性也是十分重要的且更為直觀的理解。我借助計算機找出30以內(nèi)整數(shù)的素數(shù)對稱數(shù),參見表3:

    顯而易見,表3中可以看出很多關(guān)于對稱數(shù)的規(guī)律,比如:①對稱數(shù)第1列全部為新數(shù)(基因突變),且就是整個奇數(shù)集(對稱軸的兩倍-最小奇素數(shù)3);②當對稱軸到素數(shù)時增加一列,且此列為以該素數(shù)開頭的奇數(shù)集合(相同奇數(shù)相對于第一列下移了(列最小素數(shù)P-最小奇素數(shù)3)/2個單位);③所有的對稱數(shù)都遺傳自對稱軸小于自己的群(表3中選取了部分用斜線鏈接,每個素數(shù)被遺傳的次數(shù)等于以該素數(shù)為對稱軸的對稱數(shù)列數(shù)),等等。這其中就包括所有的素數(shù),所以當從中篩選出整數(shù)的素數(shù)幫時可以說素數(shù)是整數(shù)的素數(shù)幫中群的DNA(就如同把素數(shù)比作合數(shù)的原子)。DNA只能遺傳,我們可以說下一個群中必有已經(jīng)出現(xiàn)過的素數(shù)基因,但它又可能不同于其他已出現(xiàn)的群(遺傳中伴有突變),這和DNA的性質(zhì)完全一致,所以把素數(shù)比作幫中群的DNA很是恰當。所以也可以理解幫為具有同樣遺傳性質(zhì)的群。

    幫中群之所以具有遺傳性,是因為已知素數(shù)的整數(shù)對稱數(shù)必須跟已知素數(shù)對應(yīng)這一根本性質(zhì)決定的(比如3,5,7是連續(xù)的奇數(shù)使得表3中前3列為連續(xù)的奇數(shù);后續(xù)的對稱數(shù)也都必須按DNA規(guī)律遺傳前面的群;等等);而群遺傳的規(guī)律性則是由于已有素數(shù)的位置固定而決定的(對稱數(shù)=行最大奇數(shù)O-列最小素數(shù)P+最小奇素數(shù)3;由伯特蘭·切比雪夫定理可知表3中大括號內(nèi)必有素數(shù);首列兩相連素數(shù)間合數(shù)的個數(shù)小于小素數(shù)行最右端數(shù)到大素數(shù)行最左端數(shù)之間素數(shù)的個數(shù)),該規(guī)律致使整數(shù)前素數(shù)關(guān)于其的對稱數(shù)都具有素數(shù)(從幾何的角度看即為素數(shù)的整數(shù)對稱數(shù)集合的行封閉性),即整數(shù)的素數(shù)幫存在(對稱軸6及以后都有合數(shù),且也可輕易看出1+2的成立等)。

    2.B(P)中Li(yP)的距離函數(shù)Ke(N)

    從Li(yP)的定義可以看出,Li(yP)的元素可能不只一對素數(shù)。但肯定有一對距離對稱軸N最近的一對素數(shù),我們將這對素數(shù)到N的距離定義為距離函數(shù),用符號Ke(N)表示。由此可得到一系列性質(zhì),如Ke(N)=0時所有解為素數(shù),Ke(N)=1的所有解±1就是孿生素數(shù)對(感興趣者可深入研究,不過奇異映射Ke(N)是很矯情的,不易俘獲)。

    3.B(P)中的派系函數(shù)Pi(i)

    任何的幫中都可能出現(xiàn)不同的派系,整數(shù)的素數(shù)幫自然也不例外。為便于從錯綜復雜的幫中揪出派系,我們將表2中群的τ(p)按照正常升序單獨列出并標記各群中元素對的個數(shù)(τ(p)的個數(shù)),參見表4。

    從表4中可以看出表3在找遺傳性中的優(yōu)勢(如果只看出其然而不明其所以然,參見下節(jié)),此外可以輕松地看出B(P)中各Li(yP)的p與τ(p)的對數(shù)(個數(shù))隨著對稱軸的增加而起伏上升,所以在幫論中哥德巴赫猜想顯然成立(且不小于14的偶數(shù)可能都至少有兩組1+1形式)。為易于察覺,以對稱軸為橫坐標,各個群中元素τ(p)的個數(shù)為縱坐標作圖,參見圖4:

    從圖4中可以更加明顯地看出B(P)中各Li(yP)的p與τ(p)的對數(shù)(個數(shù))隨著對稱軸的遞增而起伏上升,且振幅越來越大(似乎某段有上下限)。此外還隱約看出τ(p)的個數(shù)在不規(guī)律的同時似乎又像臺階一樣逐漸抬升(形成了不同的階層),比如:

    第一階層:[1,2],群個數(shù)為4(3,4,5,6的素數(shù)群,橫坐標);

    第二階層:[2,n],群個數(shù)為m(橫坐標7至6+m);

    第三階層:[3,o],群個數(shù)為q(橫坐標7+m至6+m+q);

    ……

    我們把這樣的階層稱之為“派”(也有“派生出來”之意),符號為Pi(i)。i表示第i派系(τ(p)個數(shù)的下限),在數(shù)值上等于Li(P)中所有距離值(正整數(shù));Pi(i)即為第i派中群的個數(shù),如第1派Pi(1)=4。那么派的個數(shù)是無窮多的嗎(又或許當對稱軸達到某個整數(shù)后τ(p)的個數(shù)永遠都會回到某值)?這個猜想在此不贅述,留給大家作為習題思考(Li(34P)的元素為2對,若只有兩個派系其只有兩對元素的群對稱軸有何規(guī)律呢?)。

    至此,大家應(yīng)該明白,整數(shù)的素數(shù)對稱群集合或幫的存在說明哥德巴赫猜想成立;而派猜想的成立將說明第1派中的偶數(shù)(對稱軸乘2)至少有一對1+1,第2派中至少有兩對1+1,第3派中將至少有3對1+1,等等。所以哥猜想的成立在派函數(shù)中是顯而易見的。有關(guān)“幫派論”就講述到此,至于其他運用期待廣大數(shù)學家挖掘(比如所有有理等邊三角形是否是密鋪整個平面的一個幫)。

    4.Li(yP)與Li(yO+)關(guān)系

    為進一步理解表2的重要性或其由來,可參見表5“整數(shù)的素數(shù)群與整數(shù)的奇數(shù)群關(guān)系”:

    從表5中可以看出,所謂偶數(shù)就是群對稱軸的偶素數(shù)倍;它能否由兩個素數(shù)加和表示取決于C群的存在性;表中A群就是整數(shù)的奇數(shù)對稱群Li(yO+),C群就是所述的整數(shù)的奇數(shù)對稱群Li(yP),而B群就是兩者之間的過度對稱群(其元素對為素數(shù)和奇數(shù));若能證明過度群B中的奇數(shù)必有素數(shù)就可說明群C是存在的(C群?B群?A群)。群B的所有對稱數(shù)不就是與已知素數(shù)關(guān)于整數(shù)的對稱數(shù)嗎?這不正是表2嗎?

    三、總結(jié)

    本文首先從發(fā)現(xiàn)使數(shù)軸具有對稱性的負數(shù)開始,再從距離入手找出了使整數(shù)和奇數(shù)具有對稱性的法則;使讀者思維逐步開闊,進而引出整數(shù)的素數(shù)對稱群Li(yP)概念;依據(jù)Li(yP)的性質(zhì)將所有素數(shù)對稱群的集合稱為幫B(P);續(xù)而結(jié)合哥德巴赫猜想探討幫的性質(zhì),即發(fā)現(xiàn)幫的素數(shù)DNA的遺傳性和幫的派函數(shù)Pi(i)。

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