非球形引力位中J3項(xiàng)對(duì)軌道的影響及應(yīng)用

田家磊，趙東明，張中凱，范昊鵬

(1.信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052；2.信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

非球形引力位中J3項(xiàng)對(duì)軌道的影響及應(yīng)用

田家磊1，趙東明1，張中凱2，范昊鵬1

(1.信息工程大學(xué) 地理空間信息學(xué)院，河南 鄭州 450052；2.信息工程大學(xué) 導(dǎo)航與空天目標(biāo)工程學(xué)院，河南 鄭州 450001)

地球的非球形引力攝動(dòng)是人造衛(wèi)星環(huán)繞地球飛行過(guò)程中所受到的攝動(dòng)中較重要的一項(xiàng)。在人造衛(wèi)星的精密定軌和衛(wèi)星位置的預(yù)報(bào)中，人們往往對(duì)J2項(xiàng)比較重視，但是對(duì)于J3項(xiàng)的研究比較少。為了解J3項(xiàng)的性質(zhì)，文中分析了非球形引力位中J3項(xiàng)對(duì)于衛(wèi)星軌道的影響，通過(guò)嚴(yán)格的公式推導(dǎo)，得到J3項(xiàng)對(duì)軌道偏心率以及軌道傾角的影響，詳細(xì)地介紹利用它形成凍結(jié)軌道的基本原理。通過(guò)數(shù)值實(shí)驗(yàn)對(duì)得到的基本理論以及應(yīng)用進(jìn)行驗(yàn)證。結(jié)果表明J3項(xiàng)是凍結(jié)軌道形成的重要因素。

J3項(xiàng)；凍結(jié)軌道；非球形引力攝動(dòng)；軌道力學(xué)

在地球上空運(yùn)行的人造地球衛(wèi)星、航天飛機(jī)、飛機(jī)、熱氣球等各種飛行器，仍然會(huì)受到地球重力場(chǎng)的作用[1]。如果它們只是受到地球質(zhì)心的吸引力，那么它們的飛行軌道將是以地球質(zhì)心為其中一個(gè)焦點(diǎn)的橢圓。但是由于地球形狀的不規(guī)則和內(nèi)部質(zhì)量分布的不均勻，引力的方向和大小發(fā)生改變，會(huì)造成飛行器的軌道偏離橢圓軌道。這種差別被稱為地球的非球形引力攝動(dòng)。

對(duì)于人造衛(wèi)星來(lái)說(shuō)，地球的非球形引力攝動(dòng)是衛(wèi)星在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中所受攝動(dòng)中比較重要的一項(xiàng)。在低軌衛(wèi)星所受力中對(duì)軌道影響量級(jí)最大的是地球引力和地球的非球形引力[2]。地球的非球形引力攝動(dòng)分為二項(xiàng)，一項(xiàng)是與經(jīng)度無(wú)關(guān)的帶諧項(xiàng)，一項(xiàng)是與經(jīng)度有關(guān)的田諧項(xiàng)。在人造衛(wèi)星的精密定軌(特別是在精度要求不太高的情況的下，如低軌衛(wèi)星百米量級(jí)的定位要求)和衛(wèi)星位置的預(yù)報(bào)中，人們往往會(huì)對(duì)帶諧項(xiàng)比較重視[3]，特別是主要帶諧項(xiàng)—J2項(xiàng)，但是對(duì)于J3項(xiàng)的研究比較少。為了解J3項(xiàng)的性質(zhì)，本文對(duì)非球形引力位中J3項(xiàng)對(duì)于衛(wèi)星軌道的影響進(jìn)行分析。

1 J3項(xiàng)影響分析

對(duì)于質(zhì)心引力場(chǎng)，空間任何一點(diǎn)的引力位表述為

(1)

式中：G為引力常數(shù)，M為質(zhì)點(diǎn)質(zhì)量，r為空間測(cè)量點(diǎn)到該質(zhì)點(diǎn)的距。相應(yīng)的引力加速速度為[4]

(2)

由于地球自轉(zhuǎn)，又非旋轉(zhuǎn)對(duì)稱體，故空間任一固定點(diǎn)的引力位都要隨時(shí)間變化，則相對(duì)于衛(wèi)星運(yùn)動(dòng)的攝動(dòng)函數(shù)的一般表達(dá)式為

F=V-V0=

Slmsinmλ].

(3)

這是星固坐標(biāo)系中的形式，Me是地球質(zhì)量，(r，λ，ψ)是衛(wèi)星在該坐標(biāo)系中的坐標(biāo)分量(星心距、經(jīng)度和緯度)，R是參考橢球的赤道半徑，Plm(sinψ)是締合勒讓德函數(shù)，Clm和Slm是非歸一化的引力位展開(kāi)式的諧系數(shù)。

如果僅考慮地球引力場(chǎng)帶諧調(diào)和項(xiàng)的影響，既假定位函數(shù)是旋轉(zhuǎn)對(duì)稱的，則攝動(dòng)函數(shù)可以表述為[5]

).

(4)

式中：Jl=-Cl0,μ=GMe,Pl(sinψ)是勒讓德多項(xiàng)式。

對(duì)于地球來(lái)說(shuō)，J2=O(10-3)，J3、J4的量級(jí)要更小，由于J4以及之后的項(xiàng)不會(huì)引起與J2、J3影響不同的變化，而且量級(jí)很小，所以分析只考慮J2、J3項(xiàng)。那么攝動(dòng)函數(shù)可展開(kāi)整理為[6]

(5)

根據(jù)長(zhǎng)期項(xiàng)、長(zhǎng)周期項(xiàng)、短周期項(xiàng)分為F1、F2、F3：

(6)

從式(6)中F2可以看出，J3項(xiàng)引起長(zhǎng)周期變化。對(duì)于地球來(lái)說(shuō)，J3=J2(10-3)量級(jí)比較小，所引起短周期攝動(dòng)的振幅很小。另一方面，長(zhǎng)周期攝動(dòng)的振幅是依賴于ω的長(zhǎng)期變化，這有可能會(huì)導(dǎo)致振幅相對(duì)比較大。

2 應(yīng) 用

凍結(jié)軌道是在1978年Orbit Analysis for SEASAT-A文章中第一次提出的，凍結(jié)軌道的構(gòu)造是通過(guò)選擇軌道傾角i、偏心率e和近點(diǎn)經(jīng)度ω，使得e，ω隨著時(shí)間變化保持為常數(shù)，因此也被稱為拱線靜止軌道。近年來(lái)凍結(jié)軌道被越來(lái)越多地應(yīng)用到對(duì)地觀測(cè)衛(wèi)星系統(tǒng)中，因?yàn)樗苁惯b感衛(wèi)星(作為一個(gè)質(zhì)點(diǎn))在不同時(shí)刻經(jīng)過(guò)同一緯度時(shí)具有相同的運(yùn)動(dòng)特性，這就使得遙感衛(wèi)星在不同時(shí)刻經(jīng)過(guò)同一地區(qū)所得到的遙感圖像具有相同的幾何特性[5]。楊威廉[7-8]、劉林[9]和陳潔[10-11]對(duì)于凍結(jié)軌道的設(shè)計(jì)與控制有很多理論和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)。

根據(jù)拉格朗日運(yùn)動(dòng)方程，在J2和J3項(xiàng)作用下的e和ω變化為

(7)

(8)

根據(jù)式(6)、式(7)、式(8)有

(9)

(10)

通過(guò)以上兩式相除得

(11)

對(duì)式(11)積分，得到由J3項(xiàng)引起的對(duì)e的長(zhǎng)周期攝動(dòng)為

ω.

(12)

同樣的方法可得到長(zhǎng)周期攝動(dòng)為

ω.

(13)

通過(guò)式(12)、式(13)可以清楚地看出，可以通過(guò)對(duì)軌道傾角i、偏心率e和近地點(diǎn)幅角ω的初始值進(jìn)行特定組合的選擇，能夠使得e，ω隨著時(shí)間變化保持為常數(shù)，以成為凍結(jié)軌道。

如果一組參數(shù)滿足式(9)、式(10)的右端都為0，那么這一組參數(shù)就滿足了凍結(jié)軌道的條件。根據(jù)程序可以搜尋表1中4組參數(shù)。

表1 4組凍結(jié)軌道參數(shù)

通過(guò)程序模擬了第二組條件下，軌道的演變,如圖1～3所示。

圖1 偏心率隨時(shí)間的變化趨勢(shì)

圖2 近地點(diǎn)幅角隨時(shí)間的變化趨勢(shì)

起始時(shí)間給的軌道參數(shù)為軌道初始值，在攝動(dòng)力的作用下軌道發(fā)生變化，即反映在參數(shù)的變化，由于考慮的攝動(dòng)力為保守力，并非耗散力，在穩(wěn)定一段時(shí)間之后呈現(xiàn)明顯的周期變化。由上面3個(gè)圖可以看出：偏心率和近地點(diǎn)幅角隨時(shí)間的變化大致符合正弦曲線；偏心率和近地點(diǎn)幅角的變化都很小(偏心率的變化在5×10-5范圍內(nèi)，近地點(diǎn)幅角的變化在1.5°范圍內(nèi))?？梢缘贸鲞@組參數(shù)滿足軌道凍結(jié)的條件。

3 結(jié)束語(yǔ)

本文分析了非球形引力位中J3項(xiàng)對(duì)于衛(wèi)星軌道的影響。對(duì)于地球來(lái)說(shuō)，雖然J3=J2(10-3)量級(jí)比較小，但是J3項(xiàng)引起的長(zhǎng)周期變化是比較顯著的。通過(guò)推導(dǎo)，得到了J3項(xiàng)對(duì)軌道偏心率以及軌道傾角的影響，介紹了利用它形成凍結(jié)軌道的基本原理，并進(jìn)行了實(shí)驗(yàn)驗(yàn)證，實(shí)驗(yàn)效果較好(偏心率和近地點(diǎn)幅角的變化都很小)，結(jié)果表明J3項(xiàng)是凍結(jié)軌道形成的重要因素。

[1]陸仲連.地球重力場(chǎng)理論和方法[M].北京:解放軍出版社,1996.

[2]周建,呂志偉.地球重力場(chǎng)模型對(duì)低軌衛(wèi)星軌道積分的影響[J].測(cè)繪工程，2012,21(2):14-16.

[3]馬劍波,劉林,王歆.地球非球形引力位中田諧項(xiàng)攝動(dòng)的有關(guān)問(wèn)題[J].天文學(xué)報(bào),2001,42(11):436-443.

[4]劉林,胡松杰,王歆.航天動(dòng)力學(xué)引論[M].南京:南京大學(xué)出版社,2006.

[5]楊威廉.凍結(jié)軌道及其應(yīng)用[J].宇航學(xué)報(bào),1990,11(1):23-30.

[6]張玉祥.人造衛(wèi)星測(cè)軌方法[M].北京:國(guó)防工業(yè)出版社,2007.

[7]楊威廉.基于Brouwer平根數(shù)的凍結(jié)軌道[J].中國(guó)空間科學(xué)技術(shù),1998,18(5)：22-29.

[8]楊威廉.火星衛(wèi)星的凍結(jié)軌道研究[J].航天器工程,2011,20(3):20-25.

[9]劉林,劉世元,王彥榮.關(guān)于大行星(或月球)軌道器的凍結(jié)軌道[J].飛行器測(cè)控學(xué)報(bào),2003,22(2).

[10]陳潔.凍結(jié)軌道衛(wèi)星軌道設(shè)計(jì)與控制方法研究[D].長(zhǎng)沙:國(guó)防科學(xué)技術(shù)大學(xué),2004.

[11]陳潔,湯國(guó)建.太陽(yáng)同步衛(wèi)星的軌道設(shè)計(jì)[J].上海航天,2002,19(4):46-50.

[責(zé)任編輯：張德福]

TheinfluenceandapplicationoftermJ3innon-sphericalgravitationalpotentialtotheobit

TIAN Jia-lei1，ZHAO Dong-ming1，ZHANG Zhong-kai2，F(xiàn)AN Hao-peng1

(1.School of Geospatial Information，Information Engineering University，Zhengzhou 450052，China；2.School of Navigation and Aerospace Engineering，Information Engineering University，Zhengzhou 450001，China)

The non-spherical gravitational perturbation of the earth plays an important role in the movement of satellites’ circling around the earth.In the research of satellite precision orbit determination and satellite position forecast，J2has been highlighted a lot，yet the termJ3has been neglected.In order to know about the characters ofJ3，its influence on the orbit in non-spherical gravitational potential is analyzed.And the effect on orbital eccentricity and inclination are obtained through rigorous formula derivation.The basic principle of frozen orbit formation is introduced in details as well，as the application verified by numerical experiment.The final results indicate thatJ3is one of the important elements of frozen orbit formation indeed.

termJ3；frozen orbit；non-spherical gravitational perturbation；orbit dynamics

2013-05-31

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(41174026；41104047)

田家磊(1988-)，男，碩士研究生.

P228

：A

：1006-7949(2014)01-0050-03