一類非線性系統(tǒng)的魯棒擴展卡爾曼濾波算法

湯代佳 尚東方 章敏

摘 要為了提高對非線性系統(tǒng)狀態(tài)的估計精度，針對傳統(tǒng)濾波算法的不足，提出一種基于不確定矩陣表示的魯棒擴展卡爾曼濾波方法。研究了一類噪聲相關(guān)的非線性系統(tǒng)，首先對其非線性函數(shù)線性化并用不確定矩陣描述線性化產(chǎn)生的誤差高階項，然后推導(dǎo)出濾波器的估計誤差協(xié)方差的表達式，接著利用兩個差分方程構(gòu)造該協(xié)方差的一個動態(tài)上界，再計算最優(yōu)的濾波器增益，最后通過計算機仿真驗證所提魯棒擴展卡爾曼濾波算法的有效性。

【關(guān)鍵詞】魯棒濾波 非線性系統(tǒng) 協(xié)方差上界 擴展卡爾曼濾波

1 引言

狀態(tài)估計是指以非直接的方式，根據(jù)傳感器的測量信息在一定的估計準則下獲取研究目標的內(nèi)部狀態(tài)。近年來，隨著計算機技術(shù)和傳感器技術(shù)的不斷發(fā)展，狀態(tài)估計理論在目標跟蹤、模式識別、無源定位及故障診斷等諸多領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。合理的濾波器設(shè)計是實現(xiàn)精確狀態(tài)估計的關(guān)鍵因素，卡爾曼濾波器由于實現(xiàn)簡單、造價低廉等優(yōu)點而被廣泛采用。然而，由于機動目標的移動通常都是非線性的，而經(jīng)典的卡爾曼濾波僅適用于線性系統(tǒng)，因而要求人們探索和研究新的濾波方法。近年來，學(xué)者們提出了擴展卡爾曼濾波技術(shù)，并將其成功應(yīng)用到非線性領(lǐng)域。

擴展卡爾曼濾波的基本思想是利用泰勒展開將所研究的非線性系統(tǒng)線性化，保留線性項，舍棄高階項，然后再利用卡爾曼濾波。雖然該方法能夠?qū)崿F(xiàn)狀態(tài)估計，但舍棄高階項損失了信息，導(dǎo)致估計精度不高，對一些對非線性較嚴重的系統(tǒng)，甚至?xí)?dǎo)致濾波器發(fā)散。為了減少線性化帶來的影響，文獻[12]針對一類參數(shù)不確定系統(tǒng)，通過保留高階線性化誤差項，提出新的擴展卡爾曼濾波方法。在此基礎(chǔ)上，文獻[13]進一步考慮了測量丟失和隨機非線性的影響，文獻[14]則提出了利用近似泰勒展開的二階項進行濾波器設(shè)計的思想。需要指出的是，上述系統(tǒng)都假設(shè)系統(tǒng)噪聲和測量噪聲是互不相關(guān)的白噪聲，但實際系統(tǒng)中，噪聲相關(guān)非常普遍，很大程度上限制傳統(tǒng)濾波器的應(yīng)用，同時相關(guān)的噪聲也為設(shè)計新的濾波器帶來困難。

鑒于此，本文針對一類系統(tǒng)噪聲和測量噪聲相關(guān)的非線性系統(tǒng)展開狀態(tài)估計方法的研究，利用不確定矩陣描述線性化誤差，結(jié)合分析相關(guān)噪聲導(dǎo)致的交叉項給出濾波誤差協(xié)方差的一個上界，在此基礎(chǔ)上設(shè)計這類非線性系統(tǒng)的魯棒卡爾曼濾波器。

2 問題描述

考慮一類非線性離散時間系統(tǒng)：

（1）

（2）

其中、和分別表示目標的狀態(tài)、輸入和傳感器測量輸出，和分別為系統(tǒng)噪聲和測量噪聲，Bk、和Ck是合適維數(shù)的矩陣，wk和vk的統(tǒng)計特性為：

（3）

本文我們設(shè)計如下形式的濾波器：

一步預(yù)測：

（4）

測量更新：

（5）

其中是狀態(tài)xk的估計值，是xk+1的一步預(yù)測值，Kk+1是待設(shè)計的濾波器增益，系統(tǒng)狀態(tài)的初值為。

3 濾波器設(shè)計

3.1 模型變換

記k時刻xk的濾波誤差和xk+1的預(yù)測誤差分別為和，由（1）和（4）可得：

（6）

由于（6）中含有非線性函數(shù)，為了計算濾波誤差協(xié)方差，將在點做泰勒展開：

（7）

其中

，是泰勒展開的高階項。進一步的，高階項可表示為：

其中Fk是尺度矩陣，Lk為設(shè)計濾波器增加了自由度，不確定的時變矩陣表示線性化誤差，滿足：

因此，（6）可重新寫為：

（8）

進一步的，測量新息可表示為：

（9）

因此，我們有：

（10）

由（8）和（10），可得相應(yīng)的預(yù)測誤差協(xié)方差：

（11）

和濾波誤差協(xié)方差：

（12）

其中

由式（11）和（12）可看出，不確定項導(dǎo)致無法直接計算預(yù)測誤差協(xié)方差和濾波誤差協(xié)方差的解析解，同時相關(guān)噪聲導(dǎo)致的交叉項Dk和Gk+1為設(shè)計濾波器增益Kk+1帶來了困難。為了刻畫濾波器的性能，我們將找出濾波誤差協(xié)方差的一個上界，并在此基礎(chǔ)上設(shè)計合適的濾波器增益。

3.2 濾波器增益設(shè)計

在本小節(jié)我們將依次給出和的上界，接著設(shè)計相應(yīng)的濾波器增益Kk+1使得該上界最小。在給出主要結(jié)果之前，我們引入以下兩個有用的引理。

引理1：給定矩陣A，H，E和F，滿足FFT≤1。令X是一個對稱正定矩陣，γ是任意一個滿足的常數(shù)，我們有如下不等式成立：

（13）

引理2：對任意向量和標量，有如下不等式成立

（14）

定理1：考慮濾波器（4）和（5）的預(yù)測誤差協(xié)方差和濾波誤差協(xié)方差。若存在標量、和矩陣，（），滿足如下兩個離散的黎卡提方程：

（15）

（16）

和不等式，其中初值的為，則矩陣和分別是和的上界，即：

證明：假設(shè)在k時刻有和成立，接下來將證明在k+1時刻，有成立。

首先，由引理1和式（11）可得：

（17）

然后，由引理2可知：

（18）

故由（17）和（18）可得

（19）

再由式（11）、（15）和不等式（19）可知

進而，根據(jù)式（12）和（16）可知：

（20）

得證。

在定理1中，濾波器增益Kk+1可取任意維數(shù)合適的矩陣，接下來，我們將設(shè)計合適的Kk+1使得濾波誤差協(xié)方差的上界最小。

定理2：考慮系統(tǒng)（1）和濾波器（4）-（5），濾波器增益Kk+1取：

時，可使上界最小，其最小值表達式為：

（21）

證明：為了得到的最小值，我們對矩陣的跡關(guān)于Kk+1求導(dǎo)，得到：

整理可得：

即：

將Kk+1代入（16），即得的最小值（21）。

4 計算機仿真

本節(jié)給出狀態(tài)估計的仿真，考慮沿直線移動的動態(tài)系統(tǒng)，目標的狀態(tài)為，其中x1，k和x2，k分別表示該目標的位移和速度，非線性函數(shù)f（xk）的表達式為：

，

其他參數(shù)分別為：

，，，系統(tǒng)噪聲，測量噪聲，θk是均值為 方差為 的高斯白噪聲，初值和。為了說明所提算法的有效性，我們同樣給出傳統(tǒng)的擴展卡爾曼濾波的曲線圖，仿真結(jié)果如圖1-4所示，其中圖1和圖2分別給出了目標的兩個狀態(tài)分量的真實值和基于擴展卡爾曼濾波和魯棒擴展卡爾曼濾波的估計值，圖3和圖4分別給出兩種濾波器對狀態(tài)分量估計的均方誤差。從圖1和圖2可以看出本文提出的魯棒擴展卡爾曼濾波能較好的估計系統(tǒng)狀態(tài)，從圖3和圖4可以看出，相比于傳統(tǒng)的擴展卡爾曼濾波，魯棒擴展卡爾曼濾波方法具有更高的估計精度。

5 結(jié)束語

為了獲得更好的狀態(tài)估計結(jié)果，本文針對一類系統(tǒng)噪聲和測量噪聲相關(guān)的非線性系統(tǒng)，提出了一種改進的魯棒擴展卡爾曼濾波方法，與傳統(tǒng)算法相比，所提新方法保留了線性化時產(chǎn)生的誤差高階項，因而具有較好的魯棒性，仿真結(jié)果顯示了新方法的有效性。

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作者單位

1.深圳市廣寧股份有限公司 廣東省深圳市 518000

2.深圳大榆樹科技有限公司 廣東省深圳市 518000

3.上海電機學(xué)院電氣學(xué)院 上海市 201306